傳送帶知識的“梯級”復習

袁培耀

中國石油天然氣管道局中學，河北省廊坊市065000

摘要：傳送帶是重要的機械裝置，問題特點表現為水平傳送帶的勻速、加速、減速傳動，斜面傳送帶的向上、向下傳動；解決問題的中心環節是分析相對運動，畫出必要的運動情境圖，確定相對位移或路程；解決問題的主要知識和規律是運動學知識、牛頓運動定律、動能定理。

關鍵詞：傳送帶；滑動摩擦力；相對位移；相對路程；摩擦熱

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2009)3(S)-0046-3オ

傳送帶是一種重要的機械裝置，是物理知識在生產中的具體應用，通過傳送帶知識的“梯級”復習，可以綜合考查運動學、動力學、功能、動量等知識。

1 水平傳送帶勻速傳動的情景

例1 如圖1所示，皮帶傳動裝置的兩輪間距L=8m，輪半徑r=0.215m，皮帶呈水平方向，離地面高度H=0.8m。若一物體以初速度v0=10m/s從平臺沖上皮帶，物體與皮帶間動摩擦因數μ=0.6，(g=10m/s2)求：（1）皮帶靜止時，物體平拋的水平位移多大？（2）若皮帶逆時針轉動，輪子角速度為72rad/s，物體平拋的水平位移多大？（3）若皮帶順時針轉動，輪子角速度為72rad/s，物體平拋的水平位移多大？お

解析 （1）皮帶靜止時，物體在皮帶上做勻減速運動，加速度大小為a=μg=6m/s2，物塊離開傳送帶時v1=v20-2aL=2m/s，離開傳送帶后的飛行時間為t=2Hg=0.4s，故平拋位移為s1=v1t=0.8m。

（2）皮帶逆時針轉動時，物體的受力情況及運動情況與（1）相同，所以落地點與（1）相同，故s2=s1=0.8m。

（3）皮帶順時針傳動時，v皮=ωr=14.4m/s＞v0，物體相對皮帶向左運動，將受向右的摩擦力，其加速度為a=μg=6m/s2。若一直勻加速到皮帶右端時，其速度為v2=v20+2aL=14m/s＜v皮，物體離開傳送帶時的速度即為v2，故s3=v2t=5.6m。

點評 在解決傳送帶問題時，容易走入陷阱的是傳送方向與物體運動方向相反情景，其原因就是對摩擦力方向的確定原則理解不準確所致。摩擦力方向總與物體間相對運動的方向相反，而不是與物體的運動方向相反。

2 水平傳送帶勻速傳動的情景

例2 一水平的淺色傳送帶上放置一煤塊（可視為質點），煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ，初始時，傳送帶與煤塊都是靜止的?，F讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運動，當其速度達到v0后，再以此速度做勻速運動，經過一段時間，煤塊在傳送帶上留下一段黑色痕跡后，煤塊相對于傳送帶不再滑動，求此黑色痕跡的長度。

解析 根據傳送帶上有黑色痕跡可知，煤塊與傳送帶間發生了相對運動，煤塊的加速度a=μg＜a0。設經歷時間t，傳送帶由靜止加速到速度為v0，煤塊則由靜止加速到v，有v0=a0t，v=at，由于a＜a0，則v＜v0，煤塊將繼續受到滑動摩擦力作用，經過時間t′，煤塊的速度由v增加到v0，有v0=v+at′，此后煤塊與傳送帶之間不再發生相對滑動。因此，在煤塊速度從0增加到v0的過程中，對傳送帶有s0=12a0t2+v0t′，對煤塊有s=v202a,傳送帶的痕跡長為l=s0-s，綜合上述各式得l=v20(a0-μg)2μa0g。

說明 在煤塊與傳送帶速度相等前，由于煤塊一直相對傳送帶滯后，故痕跡長度、物帶相對位移、物帶相對路程三者相等。

3 水平傳送帶勻減速傳動的情景

例3 將一底部涂有白色顏料的小鐵塊A，輕放在以v0=2m/s勻速傳動的足夠長的水平傳送帶上，在傳送帶上留下一長度為s0=4m的劃痕。若傳送帶勻速運動中突然改做加速度為a0=1.5m/s2的勻減速運動，且直至速度為零，并且在傳送帶開始減速運動的同時，將另一相同的小鐵塊B輕放在傳送帶上，則小鐵塊B停止在傳送帶的位置與自身劃痕起點的距離是多少？

解析 由傳送帶勻速運動的情景可知，只要物帶間有相對運動，物體運動的加速度大小由s帶-s物=4m解得，恒為a=0.5m/s2。

在傳送帶突然改做勻減速運動的同時放上物塊B，B開始一段時間將做勻加速運動，當與傳送帶速度相等后，因a0＞a，物體將超前于傳送帶而做勻減速運動，傳送帶停止后，物體繼續減速，最終停止，其運動位移關系如圖2所示。お

設物體B加速階段所用時間為t1,末速度為v1，則有v1=at1=v0-a0t1，解得t1=1s，v1=0.5m/s，傳送帶位移s┐1=v0t1-a0t21/2=1.25m，物塊位移s┪1=at21/2=0.25m。傳送帶從v1減速至零階段的位移為s┐2=v21/2a0=1/12m。物體從v1減速至零階段的位移為

s┪2=v21/2a=0.25m。

由圖2可知，B停處與劃痕起點間的距離Δs=s┐1+s┐2-s┪1-s┪2=5/6m。

說明 整個過程，物體相對傳送帶既有滯后階段，又有超前階段，故物帶間的相對位移為Δs=5/6m，劃痕長度為Δs+s┪2=6.5/6m，物帶間的相對路程為Δs+2s┪2=4/3m，三者不相等。

點評 明確物體速度和傳送帶速度的關系是解決問題的前提，而正確分析物體與傳送帶間的摩擦力則又是正確確定速度關系的基礎，所以，理解物體間運動的相對性是解決此類問題的關鍵。

4 斜面傳送帶勻速傳動的情景

例4 傾角為θ=37°的傳送帶以v=4.0m/s的速度按圖3所示方向勻速傳動，已知傳送帶上下兩端相距s=7m，今將一質點木塊A無初速的放于傳送帶上端，木塊A與傳送帶間的動摩擦因數為0.25，求：（1）木塊從上端到下端所需的時間，（2）木塊與傳送帶間相對滑動的位移，（3）木塊到達下端時的速率。

解析 物體剛放上傳送帶時，相對于傳送帶向上滑，所受滑動摩擦力沿帶面向下，為動力，物體將在傳送帶上向下勻加速運動，由牛頓定律得加速度a1=g(sinθ+μcosθ)；設經過時間t1速度達到v=4.0m/s，通過的距離為s1。綜合解得：t1=0.5s，s1=12a1t21=1m，可知物體仍在傳送帶上。又因μmgcosθ＜mgsinθ，之后，物體將超前于傳送帶相對傳送帶向下滑，所受滑動摩擦力沿帶面向上為阻力，以加速度a2=g(sinθ-μcosθ)完成剩余的s2=6m的位移，由s2=v t2+12a2t22，解得t2=1s，故總時間t=t1+t2=1.5s。

由相對運動的特點，物體滑至下端的過程中，相對傳送帶的位移為Δs=s-vt=1m（整個過程物體相對傳送帶的路程為7m)。再由v2璽-v2=2a2s2，解得v璽=8.0m/s。

點評 傳送帶問題最典型的是相對性特點。對于斜面傳送帶，還要注意明確物體運動和傳送方向的關系（向上傳送或向下傳送），并且能自覺地比較mgsinθ與μmgcosθ的關系，以正確地確定物體在傳送帶上的運動形式（如：例4中若μmgcosθ＞mgsinθ，則第二段過程將是物體隨帶勻速運動）。其次，要摒棄頭腦中摩擦力是阻力的錯誤概念，以便正確地使用摩擦力。

5 傳送帶與動量、能量知識的綜合應用

例5 如圖4所示，質量M=1.0kg的木塊隨傳送帶一起以v=2.0m/s的速度向左勻速運動，木塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.50。當木塊運動至最左端A點時，一顆質量為m=20g的子彈以v0=3.0×102m/s水平向右的速度擊穿木塊，穿出時子彈速度v1=50m/s。設傳送帶的速度恒定，子彈擊穿木塊的時間極短，且不計木塊質量變化，g=10m/s2。求：（1）在被子彈擊穿后，木塊向右運動距A點的最大距離；（2）子彈擊穿木塊過程中產生的熱能；（3）從子彈擊穿木塊到最終木塊相對傳送帶靜止的過程中，木塊與傳送帶間由于摩擦產生的熱能。お

解析 （1）設木塊被子彈擊穿時的速度為u，子彈擊穿木塊過程動量守恒，有mv0-Mv=mv1+Mu，解得u=3.0m/s。

設子彈穿出木塊后，木塊向右做勻減速運動的加速度為a，根據牛頓第二定律μmg=ma，解得a=5.0m/s2。木塊向右運動到離A點最遠時，速度為零，設木塊向右移動最大距離為s1，則有u2=2as1，解得s1=0.90m。

（2）根據能量守恒定律可知子彈射穿木塊過程中產生的熱能為E=12mv20+12Mv2-12mv21-12Mu2，解得E=872.5J。

（3）設木塊向右運動至速度減為零所用時間為t1，然后再向左作加速運動，經時間t2與傳送帶達到相對靜止，木塊向左移動的距離為s2。根據運動學公式v2=2as2，解得s2=0.40m，t1=ua=0.60s，t2=va=0.40s。木塊向右減速運動的過程中相對傳送帶的位移為Δs左=vt1+s1=2.1m，產生的熱能為Q1=μMgΔs左=10.5J，木塊向左加速運動的過程中相對傳送帶的位移為Δs右=vt2-s2=0.40m，產生的熱能為Q2=μMgΔs右=2.0J，所以整個過程中木塊與傳送帶摩擦產生的熱能為Q=Q1+Q2=12.5J，或Q=μMg(Δs左+Δs右）=12.5J。

點評 只要物體和傳送帶間有相對滑動，就一定會產生熱量，且一定有Q熱=f?s相，其中s相為物體與傳送帶間的相對路程，所以正確的確定物帶間的相對路程，是順利解決有關能量問題的重要因素。

(欄目編輯陳 潔)