王維青
(太原師范學院 物理系,山西 太原 030031)
毛細管中液面升降時能量轉化分析
王維青
(太原師范學院 物理系,山西 太原 030031)
應用變質量體系的運動微分方程,對毛細管中液面升降時能量轉化情況進行了分析.
毛細管;表面張力;重力勢能
毛細管插入能潤濕玻璃的液體中管內液面會上升,插入不能潤濕玻璃的液體中管內液面要降低.液面升高或降低,重力勢能就要增加或減少,增加的重力勢能從何而來,減少的勢能又到哪里去了?也即能量如何轉化,一般教科書限于篇幅,并不過多分析,但文獻[1]的課后思考題中有這樣的問題.這類問題的提出,顯然對學生綜合應用物理知識解決問題很有益處.
液體和固體的接觸面上有一個厚度為分子作用半徑的附著層,對于液體能潤濕固體的接觸面來說,見圖1(a),由于內聚力F1小于附著力F2,附著層內分子受到的合力方向與F2同向,此時附著層中的分子要進入液體中需克服分子引力做功,說明附著層中的能量要比液體中的能量低,或者講附著層中的液體分子具有負的表面能.由玻耳茲曼能量分布律我們知道,在外界條件一定的情況下,分子總是優先地占據低能量的狀態.所以液體內部分子盡量向附著層內跑,這樣氣、液、固接觸處就形成如圖1(a)所示的彎月面向上的形狀.若F1>F2則相反,附著層中的能量比液體中的能量高,就有盡量減少附著層內分子的趨勢,最后達到穩定時,就形成如圖1(b)所示的表面形狀.
圖1 液體潤濕不潤濕固體時情況
如圖2(b)所示,半徑為r毛細管插入可潤濕的水中,形成凹液面,由于表面張力的存在,使凹液面下B點的壓強小于大氣壓強,PB 圖2 毛細管剛插入可潤濕的液體中 圖3 可潤濕毛細管的液體在管中上升時情況 取如圖3(a)所示的坐標系,由于液體未進入毛細管前是靜止的, ∴u=0 因為要求的是能量,可把(1)式變化為: 力在x方向的投影: 把(3)、(4)式代入(2)式的左邊,可得:初始:x=0,v=0;到力的平衡位置時x=h,v=v,上式積分: 其中,方程右邊的質量為液體處于力平衡時的質量: 由積分的結果,可知,(6)式右邊第一項為重力做的負功,也為,重力勢能的增量;第二項為表面張力做的正功.顯然,表面張力做功,一半用于重力勢能增加,另一半由(6)式的左邊可知,轉化為動能了.液體在力的平衡位置時,動能不為零,也即速度不為零.顯然由于慣性,液體要繼續向上運動,到速度為零時,重力又比表面張力大了,在力的作用下液體又向下運動,這樣就形成了振蕩,定量分析如下. 為討論方便,把x軸的坐標原點選在力的平衡位置處,則(3)式變為: 把(7)式及(4)式代入由(1)式,可得其動力學方程為: 可見,另一半動能似乎可近似地看成是用于簡諧振動了,但考慮到液體的粘滯阻力,最終是耗散為熱能了. 半徑為r毛細管插入不潤濕的水銀中,形成的是凸液面,如圖4,由于表面張力的存在,使凸液面下B點的壓強大于大氣壓強,pB>po.這樣毛細管內的液體就要向下運動,直到下降到h滿足pB=po+ρg h為止.此時,毛細管內的液面在C處,以B點所在處為上表面,以C所在處為下表面,隔離出一個底面半徑為r的液柱,顯然,隨液柱下降,其質量是減小的.但由于液柱下面的液體仍在毛細管內,隨液柱一起運動.所以(1)式中的u=v.由圖4(b)所示的坐標,可得質量的表達式: 其受到的三個力如圖所示,因pB=pC,所以實際液柱僅受到重力,即: 圖4 不潤濕毛細管的液體在管中下降時情況 將(12)式、(13)式代入(1)式,并整理可得: 初始:x=,v=0;到力的平衡位置時x=h,v=v,上式積分: 結果說明,重力做正功,使重力勢能減小,減小的能量變成動能.即在力平衡位置時速度不為零,由慣性液體繼續向下運動,直到速度為零時,B點所在處的壓強又比h深處大, 使液體又受到向上的力,結果同樣在平衡位置振蕩.因在力平衡位置時,小液柱的質量為零了,所以要得振動方程就不能以C處為液柱的下底面了.取毛細管的下端處為小液柱的下底面,還看圖4(b),這樣,又有u=0,但液柱受到的合力: 將(16)、(17)式代入(1)式,可得: 不考慮粘滯阻力時,仍可近似為簡諧振動. 總之,毛細管內液面升高時,表面張力做正功,使重力勢能增加;液面下降時,似乎表面張力應做負功,使重力勢能減小,但這里選取的研究對象正好使上下液面的壓力抵消.若小液柱的下底面沒選在力的平衡位置,如選在A處,顯然表面張力是要做功了. 〔1〕秦允豪.熱學[M].北京:高等教育出版社,1999:304. 〔2〕陳世民.理論力學簡明教程[M].北京:高等教育出版社, 2008:109. O 35 A 1673-260X(2010)07-0014-023 毛細管中液面下降時能量分析