一類四階Neumann邊值問題解的存在性

黃永峰

(昌吉學院數學系,新疆昌吉 831100)

由上式知,

0 引 言

近年來,高階邊值問題因其在物理及工程學中較高的應用價值而受到廣泛的關注.一些學者研究了高階邊值問題正解的存在性,得到了一些較好的結果[1,2].在研究中,學者們利用錐拉伸或錐壓縮定理以及不動點指數理論在非線性項滿足超線性或次線性條件獲得結論.此外,還有學者利用臨界點理論及Morse理論研究了高階邊值問題解的存在性[3-6].特別地,文獻[4]利用臨界點理論和Morse理論并結合局部環繞定理得到了四階帶參數Dirichlet邊值問題解的存在性,文獻[6]運用鞍點定理及臨界點理論得到了四階帶參數的Neumann邊值問題的解的存在性.基于以上的研究工作,本文考慮如下的問題,

1 預備知識

令 E=C[0,1]為[0,1]上的連續函數并按范數 ‖u‖C=tm∈[a0x,1]|u(t)|構成的實Banach空間, L2[0,1]為[0,1]上所有平方可積的函數構成的實Hilbert空間,其范數為,

設 Gi(t,s)為線性邊值問題,

由此知,邊值問題在 C4[0,1]中的解等價于下列方程,

在 C[0,1]中的解.

易知,G(t,s)為連續的,且邊值問題的解等價于積分方程,

令,

在 C[0,1]中的解.

定義算子 K,

則邊值問題在C4[0,1]中的解當且僅當其為算子方程,u=Kf→u,在 C[0,1]中的解.

為了證明需要,下面給出一些臨界點理論及局部環繞的基本定義和引理.

定義1[7]設D是實Banach空間E中的開集,泛函J:D→R1在D上是Frechet可微,若有,u0∈D,使得J′(u0)=0,則稱,u0是泛函J的一個臨界點.

定義2[7]設 E實Banach空間,J∈C1(E, R1).如果,{un}? E,J(un)→c,J′(un)→θ,n→∞,蘊涵{un}有收斂子列,則稱泛函J滿足(PS)c條件.如果對于所有的c均滿足(PS)c條件,則稱泛函J滿足PS條件.

定義3[8]設J(θ)=0,E=V⊕X,dimV＜+∞,X為實Banach空間.如果存在ρ＞0,使得,

那么稱J在θ點局部環繞.

定義4[8]設 u0是泛函J的一個孤立臨界點, J(u0)=c,U是u0的一個鄰域,且在U中,J除u0外沒有其他臨界點,稱,

Cq(J,u0)=Hq(Jc∩U,(Jc∩U){u0}),q=0,1,2,…,為J在u0的第 q個臨界群,其中,Hq(X,Y)為第 q個奇異相對同調群,其系數為整數群.若至少有一個臨界群是非平凡的,則稱 u0是J的一個同調非平凡臨界點.

引理1[9]算子方程,u=Kf→u,在 C[0,1]中有解,當且僅當,v=K1/2f→K1/2v,在L2[0,1]中有解.

引理2[3]如果泛函,

有一個臨界點,u∈L2[0,1],則邊值問題在 C4[0, 1]中有一個解.

引理3[8]假設J∈C1(E,R1)滿足 PS條件,且在θ點局部環繞,則θ為J的一個同調非平凡臨界點.

2 主要結論及證明

引理4[6]假設(H1)及(H2)滿足,那么存在M∞＞0使得,

取{un}∈L2[0,1],使得 ‖un‖→∞,且有J(un)≤C,其中,C ∈R為常數.定義 vn= un/‖un‖,取其子列不妨仍記為{vn},使得存在 v0∈L2[0,1],有{vn}弱收斂到 v0,且 ‖v0‖≤1.同時,由 K1/2的全連續性知,K1/2vn→K1/2v0于 L2[0, 1],同時有,

引理5 假設(H1)及(H2)滿足,那么有:

(i)J在L2[0,1]是強制的,即 J(u)→+ ∞,‖u‖→∞;

(ii)J滿足PS條件.

證明 (i)假設(H1)及(H2)滿足,令,

則由引理4知,

由上式知,

故,(Kv0,v0)=λ0‖v0‖2.v0=±ρ0e0,ρ ∈(0,1],K1/2v0(t)≠0,t∈[0,1],并有,

因此,當 n→∞時,

由上式的矛盾知假設不成立.因此,J在L2[0, 1]是強制的.

定理1 假設 f(t,0)=0,對(H1)、(H2)和(H3)滿足,那么邊值問題至少有2個平凡解.

證畢.

3 應用舉例

考慮邊值問題,

其中,

通過計算知,

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