一類多目標規劃問題的混合型對偶*

趙 潔，陳 林，趙克全

（重慶師范大學數學學院，重慶 400047）

近年來，非光滑多目標優化已成為優化領域中的研究熱點.此處利用Clarke的非光滑理論［1］，在非光滑B－預不變凸性條件下建立了一類非光滑多目標規劃問題的混合對偶模型的弱對偶和強對偶定理.結果對文獻［2－4］中部分結果進行了改進與推廣.

1 預備知識

定義1［1］實值函數f:Rn→R稱為在點u∈Rn局部Lipscitz，若存在K＞0使得對于所有x，y∈U（u）都有|f（x）－f（y）|≤K‖x－y‖.若Rn上的每一點都是局部Lipscitz，則函數f是局部Lipscitz.

考慮下面的多目標規劃問題（MP）和混合對偶模型（MD）:

2 主要結論及其證明

證明 設不是（MP）的弱有效解，則存在∈D，有在上為B－預不變凸函數又因為）在上是B－預不變凸函數，hs（s∈S2）在上是B－預不變凹函數，有

下面考慮混合型對偶問題（MP），建立弱對偶和強對偶定理.

定理3（強對偶定理）為（MP）的弱有效解，（MD）滿足K-T約束規格，存在使得）是（DMNOP）可行解，有（MP）和（MD）的目標函數值相等.進一步，若弱對偶條件成立，則）是（MD）的弱有效解.

［1］CLARKE F H.Optimization and Nonsmooth Analysis［M］.NewYork:John Wiely，1983

［2］李延忠，鄒杰濤，王作全.B-凸函數下多目標規劃的 Mond-Weir對偶和 Wolf對偶［J］.吉林大學學報:自然科學版，1999（1）:38-40

［3］趙克全.B-預不變凸函數在多目標規劃中的對偶問題［J］.重慶師范大學學報:自然科學版，2008，25（2）:1-3

［4］趙克全，羅杰，唐莉萍.一類非光滑規劃問題的 Mond Weir和Wolf對偶［J］.重慶師范大學學報:自然科學版，2010，27（1）:1-5