隨機收入下的對偶風險模型*

彭之光

（重慶大學數學與統計學院，重慶 400044）

1 模型介紹

符號和基本假設與上面一致，該模型即為隨機收入的盈余過程.為簡單起見，考慮時間間隔服從Erlang（2）分布，收入服從幾何分布的對偶模型.

為使模型的破產概率有意義（否則模型必然破產，即破產概率為1），有如下條件:

其中λ1，λ2是Erlang（2）分布的參數，μ是幾何分布的期望，λ為前面提到的poisson過程參數:λ=1.

2 關于破產概率的方程

首先引入如下函數和符號［1］:m（u），初始資金為u的破產概率;對于i=0，1，2，S1=W1，S2=W1+W2（Erlang（2）），定義mδ，i（u）=E［e－（τ－t）I（τ＜ ∞ ）|Si=t，U（t）=u］，知m（u）=m0，0（u）=m0，2（u）.對于i=0，根據W1（幾何分布）的無記憶性有:

接下來定義如下生成函數，將式（6）兩邊同時乘以su，并取u=0，1，…，∞的形式，以無窮級數的形式相加有:

在此假設f（i）服從幾何分布，取t=u+i+1，則u+1=t－i，其中:

最后，得到下面兩個方程:

將這兩個方程寫成矩陣形式有:

考慮如下方程:

式（10）等價于|A（s）|=0.

定理1 對任意δ≥0，式（11）在單位圓內存在一個根.

證明 設ξ為以α為圓心，以1－α為半徑的圓.考慮下面的方程:（sq1－1）（sq2－1）（s－α）=sp2p1（1－α）.

對任意s∈ξ，有:

由儒歇定理，知道:（sq1－1）（sq2－1）（s－α）和sp2p1（1－α）在單位圓內有同樣數目的根，易知α不是式（11）的根.可知有一個根ρ在ξ內.

3 函數 mδ，i（0）

到現在為止得到3個方程:

其中m0（0）為當u=0時的破產概率.

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［3］BAO Z.the expected discounted penalty at ruin in the risk process with random income［J］.Applied Mathematics and Computation，2006;179:559-566

［4］LI S.On a class of discrete time renewal risk models［J］.Scandinavian Actuarial Journal，2005（4）:241-260

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