Sigma-Delta微加速度計非理想因素建模與系統級設計*

劉云濤，王 穎

(1.哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，哈爾濱 150001;2.中國科學院微電子研究所，北京100029)

加速度計是一種可以將加速度物理信號轉化成能夠測量的電信號的儀器，具有μgn水平的高精度加速度計被廣泛應用于導航、制導、空間微重力測量，以及自動化工業中［1－3］。隨著 MEMS技術的發展，以及硅微加速度計的商業和軍事價值的提高，電容式微加速度計成為微機電系統領域和微傳感器領域內研究熱點［4］。

高性能的微機械加速度計通常利用靜電力反饋方式提高系統的靈敏度、線性度、帶寬和動態范圍［5］，靜電力反饋方式可分為模擬反饋和數字反饋。Sigma-Delta(ΣΔ)調制器是實現數字靜電力反饋系統的最有效方式。在微機械加速度計中，敏感結構的機械帶寬通常較窄，因此可以很容易地獲得很高的過采樣率(OSR)，從而有效地抑制噪聲，提高傳感器系統性能。相比于模擬反饋方式，ΣΔ調制技術可以提供直接的數字輸出，采用一位數字反饋可以大大降低靜電力非線性問題，更為重要的是這種方式消除了模擬反饋中由于質量塊偏離嚴重而產生的靜電力吸引問題，大大提高了系統可靠性［6］。

然而，閉環ΣΔ微加速度計系統是一個非常復雜的混合信號反饋系統，它的模塊工作在多個域下，包括機械的和電學的，連續時間和離散時間的，模擬和數字的，線性和非線性的。另外，系統中機械的和電學的非理想因素的存在對系統性能都會產生影響，所有這些都使得模擬和仿真整個閉環系統變得非常復雜。雖然如此，對包含非線性及非理想因素的系統的仿真分析對于確定系統中主要參數對性能的影響，為傳感器設計提供指導和驗證性能極為重要。本文將分析微加速度計系統中的主要非理想因素，建立非理想因素的模型，并在此基礎上，采用Matlab的Simulink工具進行ΣΔ微加速度計系統級設計，為微加速度計接口電路設計和傳感器整體性能優化提供指導。

1 ΣΔ微加速度計基本結構

ΣΔ微加速度計就是利用ΣΔ調制技術實現數字閉環反饋的，隨著微機電系統技術的發展，ΣΔ調制技術被引入到微機械傳感器設計中。由于微加速度計的敏感結構可以看作質量－彈簧－阻尼的振動系統，具有二階傳輸特性，其傳輸函數如式(1)所示［7］:

該傳輸函數具有兩個極點和低通頻率響應特性，如果把敏感結構包圍在反饋環中，敏感結構就起到二階積分器作用，進而可以作為ΣΔ調制器中的積分器。圖1是閉環ΣΔ微機械加速度計的基本結構，敏感結構除了提供差分電容變化檢測外加加速度信號外，還可利用其二階低通特性在閉環系統中起到噪聲整形的作用。

圖1 閉環微機電ΣΔ加速度計的基本結構

與機械結構接口的前端電路檢測差分電容變化，并轉換為電壓輸出，因此其噪聲性能和靈敏度對于整個系統性能至關重要。環路濾波器H(z)對兩極點的敏感結構提供補償，確保系統具有足夠的穩定裕度，同時H(z)也可以通過插入電學積分器提供額外的噪聲整形，成為高階結構調制器。調制器的階數定義為系統開環傳輸函數的極點個數，由于敏感結構具有兩個極點，因此僅以敏感結構作為積分器的調制器為二階結構，如果環路中含有L個電學積分器，則該調制器的階數為L+2。在微機電ΣΔ調制器中，系統的階數僅表明前置通路的極點個數，并不能反映噪聲整形的能力。

為了獲得更好的信噪比、更低的噪聲密度，通常在環路濾波器中采用級聯積分器構成高階調制結構。然而對于高階結構，增加的極點導致系統相位迅速衰減，產生了穩定性問題。

2 非理想分析與建模

在ΣΔ微加速度計系統中存在著各種機械的和電學的非理想因素，這些非理想因素主要包括敏感結構固定電極運動、時鐘抖動、開關熱噪聲、運算放大器噪聲。

2.1 固定電極運動

電容式微加速度計中，活動電極在外力作用下發生位移而產生差分電容變化。事實上，除了活動電極運動外，在外力作用下，固定電極也會產生運動，對系統引入了誤差。

感應模式下，在外加加速度作用下，固定電極的偏移量是非常小的，因為作用在電極上的力等于電極質量與加速度的乘積，該值遠遠小于作用在質量塊上的力。然而在反饋模式下，由于靜電力是相互吸引的作用，作用在電極和質量塊的力是相等的，此時電極的位移量就只由自身的剛性決定。

當有外加力作用時，質量塊產生了位移量為y的偏移，固定電極的上下極板受到的靜電力分別為:

式中，ε為介電常數，A為固定電極和活動電極兩極板的重合面積，d0為固定電極和活動電極的初始距離，vr為施加在固定極板的高頻激勵信號，Vfb為施加在敏感電容中間極板的反饋電壓。

敏感質量塊受到的靜電力為:

因此在閉環系統中，考慮上下電極在靜電力作用下產生形變的敏感結構數學模型如圖2所示，圖中mm為敏感質量塊質量，mc為上下電極質量，km為機械彈簧彈性系數，kc為極板的彈性系數。

圖2 考慮固定電極運動的敏感結構模型

2.2 時鐘抖動

時鐘信號本身存在相位噪聲，而相位噪聲會造成時鐘信號的上升沿和下降沿的瞬間不確定，從而導致采樣時刻的不確定，這種采樣時刻的不確定性就稱作時鐘抖動［8］。時鐘抖動會導致采樣不均勻，使量化器輸出的量化誤差功率提高。由于開關電容電路是一個采樣數據系統，在每個時鐘周期內實現采樣電容與積分電容之間的電荷轉移，所以一旦模擬信號被采樣，時鐘信號的波動是不會對電路性能產生影響的，因此時鐘抖動對開關電容電路的影響僅僅是發生在對信號的采樣時刻，也就意味著時鐘抖動與調制器的結構和階數都沒有關系。

在ΣΔ微加速度計中，采樣電容為敏感結構的可變電容，輸入信號為加速度信號，根據微加速計信號檢測原理，接口電路前端電荷積分器的輸出為

式中C0為敏感結構靜態電容，Cf為接口電路前端電荷積分器的反饋電容。采樣開關導通時對驅動信號vr的采樣過程就等效于對加速度信號a的采樣，因此時鐘抖動的作用可表示為對輸入信號a的影響。

時鐘抖動誤差是抖動統計特性和調制器輸入信號的函數，假設輸入是幅值為A，頻率為fin的正弦信號x(t)，采樣頻率為fs，且采樣時間的誤差是δ，則產生的誤差為

這樣當存在時鐘抖動時信號的實際輸入為:

根據式(7)，含有時鐘抖動的輸入信號模型如圖3所示。

圖3 時鐘抖動模型

2.3 開關熱噪聲

熱噪聲是由于載流子的隨機熱運動引起的，熱噪聲屬于寬帶白噪聲。采樣開關熱噪聲由開關電容的時間常數和運放的帶寬決定，在每一次采樣過程中，開關熱噪聲也同時被采樣到采樣電容上，引起輸出誤差。對于一個導通電阻為Ron的開關，被采樣到采樣電容上的總的熱噪聲可表示為［9］:

k為波爾茲曼常數，T為絕對溫度，4kTRon為開關導通電阻的噪聲功率密度。開關熱噪聲也直接疊加在輸入信號上，因此受開關熱噪聲影響的輸入信號為:

這里n(t)表示高斯隨機分布，根據式(9)含有開關熱噪聲的輸入信號模型如圖4所示。

圖4 含有開關熱噪聲的輸入信號模型

2.4 運算放大器噪聲

運算放大器噪聲是系統的主要噪聲源，在傳感器接口電路的設計中采用相關雙采樣或斬波穩定技術，可以有效地降低1/f噪聲和運放失調，因此運算放大器的噪聲主要為運放的熱噪聲，運算放大器的熱噪聲可表示為

b為采樣過程中噪聲折疊導致的放大倍數，Vn為運放的輸入參考熱噪聲

如果用一個隨機信號產生噪聲，運算放大器噪聲的模型如圖5所示。

圖5 運算放大器噪聲模型

3 ΣΔ微加速度計系統設計

ΣΔ調制器主要包括三種結構:單環結構、前置求和結構(interpolative結構)、級聯結構(MASH結構)［10－11］。單環結構是最適用于微機械力平衡反饋系統的結構方式。由于敏感質量塊的運動速度是不可控的，并且傳感器輸出是一個非常微弱的信號，由于噪聲注入的影響，感應節點處的反饋是不希望存在的，因此帶有多路反饋的interpolative結構不適用。另一方面，微加工制作的傳感器具有很大的不確定性，加工過程中溫度、空氣中電荷以及其它環境因素都可能對敏感結構性能產生影響。因此在設計階段，傳感器的特性還不確定，其二階量化噪聲整形能力依賴于其結構參數，因此依靠精確的量化噪聲消除方式的MASH結構也不適用。

基于以上原因，本文采用單環結構進行系統設計。ΣΔ微機械加速度計系統由信號輸入、敏感結構、增益、環路濾波器、反饋等部分組成。信號輸入部分包含了時鐘抖動和采樣開關熱噪聲;敏感結構由質量塊和上下電極三個傳輸函數構成;增益為質量塊位移到電荷積分器的輸出電壓增益;環路濾波器包括前置補償和電學積分器。結合前文中分析的非理想因素及所建立的模型，并考慮機械噪聲，所設計的四階ΣΔ微加速度計系統的Simulink模型如圖6所示，如果將該圖中的電學積分器部分去掉，該系統就變為二階ΣΔ加速度計系統。

圖6 微機械ΣΔ加速度計系統的Simulink模型

4 仿真結果與分析

在該系統中，假設時鐘抖動為10 ns，開關熱噪聲為10 nV/Hz1/2，運放輸入熱噪聲為50 nV/Hz1/2，固定極板的彈性系數為2 000 N/m，前置補償系數α=0.5，積分器增益b1=b2=0.5。輸入為幅值±1 gn、250 Hz正弦信號，在256 kHz采樣頻率、128倍過采樣率(OSR)下，二階和四階ΣΔ微加速度計的輸出頻譜如圖7所示。

圖7 微機械ΣΔ加速度計Simulink仿真輸出頻譜

由仿真結果可知，四階結構的信號－噪聲－諧波失真比(SNDR)為92.7 dB，有效位(ENOB)為15.10位。二階結構SNDR為70.1 dB，ENOB為11.36位，很顯然該值遠低于ΣΔ調制器的理論計算值。對于采用1位量化的調制器，其系統本身具有很高的線性度，因此SNDR的損耗主要由高量化噪聲造成。在這里敏感結構雖然具有兩個極點，但這兩個極點都位于諧振頻率附近，因此其提供的噪聲整形能力非常弱。另外，從圖7可以看出，二階和四階結構的頻譜帶寬外噪聲和頻率的關系分別為30 dB/dec和50 dB/dec，該值分別相當于1階以及二、三階之間ΣΔ調制器的噪聲整形能力。在二階結構的頻譜圖中，在信號的倍頻點出現很多諧波(tones)，這說明量化器的輸出和輸入信號相關性很高，量化噪聲不再是白噪聲。而四階結構由于額外的電學積分器加入，使得量化噪聲被隨機分布在整個頻帶內，消除了諧波。

為了驗證所建立模型在電路優化中的作用，采用0.5 μm CMOS工藝完成了二階和四階ΣΔ微加速度計接口電路的晶體管級設計［12］，并利用敏感結構的Spice模型進行仿真，晶體管級電路與系統級的Simulink模型中取相同的參數。圖8為二階和四階系統的晶體管級Hspice仿真結果，結果表明二階系統的SNDR為68.5 dB，ENOB為11.1位，四階系統的SNDR為89.2 dB，ENOB為14.5位?？梢娀诒疚乃⒌南到y中非理想模型的系統級仿真結果與整體傳感器的晶體管級仿真結果極為接近，而相比于Simulink的仿真，采用Hspice的電路級仿真需要消耗漫長的仿真時間，因此，本文所建立的系統模型可以大大簡化傳感器的參數優化過程。

圖8 微機械ΣΔ加速度計晶體管級Hspice仿真輸出頻譜

5 結論

本文考慮了電容式ΣΔ微加速度計中的敏感結構固定極板運動、時鐘抖動、開關熱噪聲、運算放大器噪聲等非理想因素，建立了適用于Simulink環境仿真的模型，并在此基礎上完成了一種單環結構的ΣΔ微加速度計系統級設計和仿真。仿真結果表明，本文所建立的模型可以準確的表現出系統的性能，并可以大大縮短仿真時間，簡化系統優化過程。

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