用于骨科手術機器人的電磁定位方法*

師曉宙，胡 超 ，向望華，宋 霜，王小靜

(1.天津大學精密儀器與光電子工程學院，天津 300072; 2.教育部光電信息技術科學重點實驗室，天津 300072; 3.中科院先進技術研究院，廣東 深圳 518055)

隨著科學技術的發展，計算機輔助骨科手術(Computer Assisted Orthopaedic Surgery)已經成為新的研究和應用的熱點［1］。依靠計算機的輔助，骨科手術變得更加精確、安全，同時由于機器人的應用，使得很多醫生難以完成的操作得以順利實施。輔助機器人對手術器械運動的精度要求非常嚴格，因此系統必須要有精確的定位。在定位技術方面，常用的有光學定位［2－3］、超聲定位［4］、X 射線定位［5］和磁定位［6－12］等。光學定位的精度高，但是存在光線反射、物體遮擋等問題;X射線定位可以提供精度較高的二維、三維圖像，但是該方法需要從不同角度獲取圖像，并且使醫生和患者承受長時間的X射線輻射，給病人帶來很大的副作用;超聲定位的測量范圍大，檢測簡單，但是容易受溫度、濕度的影響，精度較低。

由于人體是非導磁體，其磁導率和真空磁導率相近，所以人體的介入對于靜(或低頻變化)磁場幾乎沒有影響，從而在手術環境中磁定位可以得到很高的精度。磁定位有永磁體定位和電磁定位。永磁體定位具有體積小、不需電源和控制電路等特點，但容易受地磁場和周圍磁場的干擾，影響精度，且要求定位空間上沒有磁性材料的器械，否則會有干擾影響結果，甚至會使定位失敗。本文采用的電磁定位應用電磁感應的原理，能夠克服環境靜磁場的影響，受外界干擾小，并且可以通過控制電流和線圈的方向來獲得不同的磁場分布，因而更加方便;同時通過特定的磁場交變信號調制方法，能大大降低周圍磁性材料的器具對定位結果的影響，保證定位的精度和魯棒性;同時利用LM的最優化算法，保證計算的精度和速度。我們設計了基于交變電磁信號的定位跟蹤系統，應用于骨科手術機器人的植釘手術過程。下面是該系統的介紹。

1 電磁定位模型

理論上，通電導體周圍的磁場分布可由畢奧－薩伐爾定律推出，當源點O到場點P的距離r遠大于通電線圈的尺寸R時，可將線圈近似為磁偶極子［13－16］。

如圖1所示，電磁線圈(磁偶極子)在場點P處的磁感應強度為

圖1 載流線圈

由磁偶極子模型做進一步推導，如圖2所示，點O=(a，b，c)T為磁偶極子的位置，H0=(m，n，p)T為磁體方向。從式(1)可以推出，點P=(x，y，z)T處的磁感應強度為［12］

其中BT是和磁場大小相關的一個常量，

圖2 磁偶極子模型

在發射線圈中加入交流電，即會產生變化的磁場。依據電磁感應定律，通過導體回路的磁通量隨時間發生變化時，回路中就有感應電動勢產生。我們以線圈作為接收器，通過接收線圈的磁通量發生變化時，接收回路產生感應電動勢。

由式(3)、式(4)可知，由于線圈有固定的尺寸和匝數，所以S和n為常數，感應電動勢E與B的變化率成線性關系。通過測量E的大小，可計算出磁感應強度B的大小。

如圖3所示，在發射線圈所處的位置定義一個坐標系(發射坐標系XYZ)，一個發射線圈可以等效為一個磁偶極子，它產生的磁感應強度按發射坐標系XYZ可以分解為三個正交的分量Bx'By'Bz'。將三個正交的接收線圈作為一組接收器，對應一個發射線圈，一組接收器將沿著接收線圈自身的正交方向感應到三個磁感應強度BxByBz。

圖3 發射接收模型

B'xB'yB'z通過坐標旋轉，即先繞X軸旋轉α度角，再繞Y軸旋轉β度角，最后繞Z軸旋轉γ度角，可得到BxByBz。(α，β，γ)表示接收器的角度信息。

旋轉矩陣

將式(2)展開，有

則

n為發射線圈的編號。

BnxBnyBnz可由接收線圈的感應電動勢計算得到，發射線圈的位置(a，b，c)和磁體方向(m，n，p)均為已知，由式(9)、式(10)、式(11)、式(12)可以確定三個方程，而目標的方向和角度信息需要確定六個參數(x，y，z，α，β，γ)，因此至少需要六個方程，即兩個發射線圈和一組接收線圈，才能夠得到目標的信息。

2 定位算法

得到方程之后，要通過合適的算法來計算位置參數(x，y，z)和方向參數(α，β，γ)。這里，我們選用Levenberg-Marquardt算法。

Levenberg-Marquardt(LM)算法是廣泛應用的最優化算法，融合了梯度下降法和高斯－牛頓迭代。LM算法的關鍵是用模型函數f對待估參數向量L在其鄰域做線性近似，忽略掉二階以上的導數項，從而轉化為線性最小二乘問題，它具有收斂速度快等優點。

定義:B為傳感器測得的數據，L為目標參數，則

目標函數為B－f(L)，LM算法是要找到最佳的L使上述目標函數為最小，算法過程如下:

對于很小的‖δL‖，由泰勒展開得:

其中J為雅克比矩陣?f(L)/?L。

LM算法是迭代的，每一步都希望找到一個δL令

最小，這樣轉化為一個求解線性最小二乘問題。即

解方程即可得到δL。其中JTJ為Hessian矩陣的近似。

為了提高LM算法的收斂速度，令

其中

I為單位矩陣，ui＞0稱為阻尼因子，它可以調節迭代的速度，還可以消除N的奇異性。

在最開始迭代的時候，ui=k［JTJ］ii，k?1 為常數。當前迭代值距離最優解遠的時候，增大ui使得收斂速度加快;當前迭代值距離最優解近的時候，減小ui的值以提高精度。

在迭代過程中，若

則用δL更新L，同時減小ui的值，進入下一次迭代;否則增大ui的值，重新計算 δL。直至滿足中止條件。

中止條件包括以下:

1:‖JTε‖＜ε1

2:‖δL‖＜ε2

3:‖εTε‖＜ε3

4:count=countmax

其中 ε1ε2ε3為遠小于 1 的常數，count為當前迭代次數，countmax為允許的最大迭代次數。

3 仿真和實驗結果

考慮到電路中的噪聲和電磁信號的衰減，為了保證定位的精度，適當增加發射線圈個數，并在不同位置放置，保證信號的接收。由式(12)可知，每增加1個發射線圈，可以增加3個方程。對此利用MATLAB軟件對系統做出仿真，找出最適合的發射線圈個數。

圖4 仿真模型

在實驗中，將發射線圈在同一平面內放置，每3個發射線圈正交放置在一起，即一組發射線圈處于同一位置，但角度不同。3組發射線圈的位置為(0，0，0)(0，1，0)(0.5，0.5，0)，單位為米。9 個發射線圈的磁體方向分別為(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1)(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1)(1，0，0)(0，1，0)(0，0，1)。接收線圈在1 m×1 m×1 m的空間內隨機放置。

首先將接收線圈隨機放置在一個位置，然后增加發射線圈的個數，從2個逐個增加到9個，對應的方程從3個增加到27個。每增加一個發射線圈，通過所得方程組和LM算法計算接收線圈的位置和角度，實驗結果如圖5圖6所示。

圖5 位置誤差隨方程數的變化

圖6 角度誤差隨方程數的變化

為了驗證仿真的準確性，我們做了進一步的仿真。發射線圈分別取2個、5個、9個，接收線圈在1 m×1 m×1 m的空間內隨機放置，計算50個位置下不同方程個數對應的位置和角度誤差。圖7、圖8為仿真結果。

圖7 6、15、27組方程的位置誤差，50個位置

圖8 6、15、27組方程的角度誤差，50個位置

從仿真實驗中可以發現隨著方程數的增加，目標位置和方向的精度在不斷提高。仿真的位置誤差平均為0.3 mm，方向誤差0.002弧度。

根據仿真的結果，在實驗中我們采用了3組發射器，每組發射線圈由3組正交的線圈組成，發射器的位置和仿真實驗相同。在發射器中輸入交流信號，選用研華公司的PCI 1747U采集信號，信號經過處理校正后利用VC++進行數據計算和方向位置的顯示。實驗結果表明，位置誤差平均為1.3 mm，方向誤差平均為0.002 2弧度。圖9、圖10、圖11為實驗數據。

圖9 計算結果和位置方向顯示

圖10 實驗結果：位置誤差，30個位置

圖11 實驗結果：角度誤差，30個位置

4 結論

這里針對計算機輔助骨科手術提出了電磁定位的方法，基于磁偶極子模型，利用電磁感應定律，通過LM算法進行計算，得出目標在位置上(x，y，z)和方向上旋轉角度(α，β，γ)的信息。仿真結果顯示，在采取27組方程的情況下可以得到很好的定位精度。經過實驗驗證，位置誤差平均為1.3 mm，方向誤差0.001 2弧度。今后將繼續分析發射線圈的位置分布和接收線圈的定位范圍，從系統硬件設計及磁場模型分布的優化等方面來減小誤差和干擾，提高系統精度。

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