基于商空間理論的可重構機床粒計算方法研究

曾法力，李愛平，謝 楠

（1.同濟大學現代制造技術研究所，上海200092；2.同濟大學中德工程學院，上海200092）

為使制造企業能適應迅速變化的市場環境，出現了可重組制造的制造模式［1］.當市場環境發生變化時，可重組制造系統能夠基于現有自身系統在系統規劃與設計規定的范圍內，通過改變可重構機床的模塊化構件，或通過移動、更換和添加可移動性設備，或以邏輯重構方式生成虛擬制造單元，達到根據變化動態快速地調整生產過程、功能和能力，實現短的系統研制周期、低的生產和重構成本、高的經濟效益和更小的冗余生產能力.

可重構機床（reconfigurable machine tools，RMTs）是可重構制造系統的重要組成部分［2］，它與普通機床的最大區別在于用戶能夠根據不同的加工任務及時調整機床的模塊組成、配置，以滿足不同零件的加工需求.制造生產線上的加工設備類型和數量可根據新工藝需求進行重構，其重構過程由客戶需求驅動，因此，模塊劃分和配置規劃是可重構機床的重要重構基礎.劉征［3］提出了產品總體概念設計的知識獲取，從過程設計、產品信息表達、模塊粒度特征與生成等方面進行了深入的歸納和研究總結.Y Koren和R Landers［4］開發了一個可重構機床概念設計原型，該原型可以通過預留的接口，添加或拆除主軸模塊使機床的資源得到優化.L Liao和Lee［5］合作研究開發了一種用可重構機床的粒度庫和專家系統，其目標是通過轉換機床的配置來加工不同的零件.R Katz［6］提出了可重構機床的設計原則及不同的配置方式.劉晨［7］提出了用工藝知識論域、屬性函數和工藝知識論域結構的三元組描述工藝設計過程中知識以及工藝知識元素之間關系的方法，并討論了運用語義匹配、分類操作、關聯規則和聚類分析等多種數據挖掘方式進行基于知識粒度的知識獲取發現方法；王玉新［8］建立了創新增強型功能－行為－結構（function－behavior－structure，FBS）功能分解與結構匹配的商空間模型，但沒有形成完整的配置重構體系.

本文根據客戶需求任務，提出了一種基于商空間粒度計算理論的可重構機床配置規劃模型的概念及其表達方法，以適應加工不同類型的產品.基于商空間理論的可重構機床粒計算方法是可重構機床配置規劃多任務集成，利用商空間粒度模型對可重構機床進行相關粒度劃分操作和快速配置規劃，極大提升了可重構技術的動態特性和高效能力.

1 商空間理論與粒度計算

商空間理論利用結構化的思維方式、問題求解方法以及結構化的信息處理模式，形成了一套研究復雜對象的方法，通過該方法可以對詳細信息進行由粗到細、由表到里的研究.商空間理論根據粒度調整時定義的合并法和分解法，使研究對象按需要方便地進行粒度粗細變化，在合適的粒度空間基礎上，對復雜系統進行經濟無冗余的配置規劃.

商空間理論是一個三元組（X，f，T），其中X為研究的論域，X上的每個元素為x，對應的屬性函數值為f（x），即在X上有屬性函數f：X→Y，其中Y可以是多維的，各維可以是實數域，也可以是其他的集合，最后用X上的拓撲T來描述X中各元素之間的關系.對X取一個等價關系R，根據R構造對應的商集及屬性函數和結構.由拓撲學中的商拓撲得到商集上的結構——商拓撲.按定義商拓撲［T］為

式中：p：X→［X］為自然投影；p－1為p的逆變換.

所謂粒（粒度）就是將性質相似的元素歸結成一個新的元素.將一個子集看成一個元素，就是將子集中的元素都看成是等同的.由這些新元素構成的集合，稱為商集.對產品進行粒度分析和粒計算，即對產品取不同的粗、細粒度進行分析研究各商空間之間的關系，各商空間的合成、綜合、分解和商空間中的推理.

給定論域X和其上一個等價關系R（等價關系是一種最為簡單地將論域進行劃分的方式），關系R關于論域的劃分X／R為一組等價類集合，稱每個等價類為一個顆粒，那么X／R為一個顆粒集合.X／R是對論域X的一個顆?；?關系R對于論域X的劃分可以用下面的二元組來表示，即

式中：X為論域，是一個非空集合；R?X×X為一等價關系.

關系R將論域X劃分為多個等價類，每一個等價類在該粒度下作為一個基本運算單位，也就是在目前給定的知識庫中，該等價類中的元素是無法區分的.針對不同的層次空間模型、對象相應的屬性、結構和粒度模型，商空間和粒度關系如圖1所示.

圖1 商空間與粒度的原理Fig.1 Principle of quotient space and granularity

分析或求解問題（X，f，T）即對論域X的大小粒度進行簡化歸約，使其產生一個新的較大粒度的論域［X］，那么把原問題（X，f，T）變成新的層次上的問題（［X］，［f］，［T］），即從比較粗粒度［X］去分析討論問題.

針對不同的粒度世界，對問題（X，f，T）從不同的粒度（角度、層次、結構）進行研究是指由等價關系R產生商集［R］，然后研究相應問題（［X］，［f］，［T］）.其中［f］，［T］分別代表商集［X］上對應的商屬性函數和商結構，稱（［X］，［f］，［T］）為（X，f，T）的商空間.

2 基于商空間的粒度劃分

2.1 粒度的劃分和選擇

粒度的劃分和選擇是實現模塊化制造的基礎，所劃分的模塊應具有獨立的功能，并具有一定的通用性，有連接關系的模塊應具有對應的接口特征，可互換的模塊應具有相同的功能和接口特征，還應滿足模塊之間位置關系和運動關系的要求.

粒度劃分的核心問題是確定功能分解的層次與規模，方法包括設計問題的分解、子功能成為獨立模塊的條件分析、子功能之間相關度的計算、模塊的形成、模塊劃分結果的評價等步驟，具體如下：

（1）構建子功能的運動學模型.

（2）分析產品族工藝特點，并構建了產品工藝約束，將總功能信息分解成一系列的子功能，構建子功能之間的拓撲關系.

（3）定義子功能之間相關度，綜合考慮相關度之間的權重，得到子功能之間的相關矩陣以后，采用截矩陣法進行模塊劃分.將所需的每個功能映射為模塊庫中的一系列模塊或模塊的組合.

（4）判斷每個子功能是否滿足獨立模塊條件以及是否有兩個以上的子功能滿足相同的獨立模塊條件，計算出最優的粒度和模塊組合.

功能模塊分解的粒度以及在相應層面中子功能模塊的個數，取決于客戶的需要和任務.但尋求最優粒度和最佳配置規劃是最為重要的步驟之一.對給定的系統，可以從3個方面構建商空間［9］.

（1）論域劃分法.給定一個等價關系R，由R得到相應的商集［X］，然后由［X］構造對應的商空間（［X］，［f］，［T］）.

（2）屬性劃分法.設屬性函數f＝（f1，…，fn），fi＝X→Yi，i＝1，…，n.對Yi取粒度得值域的商集［Yi］，設其對應的等價關系為 ［Ri］，定義X上的等價關系Gi：x～y?fi（x）Rifi（y），這樣就得到X上的一個等價關系Gi，由此可以得到對應的商空間（［X］，［f］，［T］）.

（3）結構劃分法.設問題為（X，f，T），取T的粗拓撲T1，構造問題（X，f，T1），即為原問題的粗粒度分析.

（4）約束劃分法.設問題（X，f，T）有n個約束條件C1，C2，…，Cn，可以根據Ci進行劃分.

2.2 粒度優化策略

機床模塊粒度的劃分直接影響配置的光滑度和經濟性.模塊物理重組或組合是指對設備的添加、減少或者替換；機床模塊的邏輯重組是指動態地完成軟件、控制器的重組.通過改變物理重組和邏輯重組可以改變機床的生產能力和功能，靈活快速地完成新的生產任務.

機械系統的粒度劃分在不同的系統中，粒結構有不同層次的描述.通過分層遞階地構建歸一化等腰距離函數，實現了從分層遞階結構到模糊等價關系的遞歸構建，并利用等價關系的交運算與并運算實現了不同層次商空間的分解與合成，粒度層次劃分如圖2所示.

圖2中λ為閾值，對應相應的商空間為X（λ）.設X上的分層遞階結構｛X（λ）｜0≤λ≤1｝，如果所有λ按照從小到大排列形成一個序列0≤λ1＜λ2＜…＜λk≤1，則對應的商空間序列為｛X（λ1），X（λ2），…，X（λk）｝.根據機床分解粒度，描述所有機床部件的重構配置過程并建立相應的描述模型，確定部件的一系列重構操作及其影響因素（包括各部件自身重構的并發操作、串行操作以及異步操作，以及整個生產過程中其他資源對某一部件重構的時序約束關系），根據成本函數，機床的動態重構算法如下：

（1）確定機床的可重構操作，并建立相應的重構描述模型.

（2）在研究單個階段的配置易重構性基礎上，尋找一條系統全局意義下精度最高且經濟可行的最優配置路徑，使得所有階段的整體配置性能達到最佳.

圖2 分層遞階結構Fig.2 Hierarchical structure

3 基于商空間理論的可重構機床粒計算

3.1 粒計算

基于模塊化設計思想，利用已有的設計方案和相關知識，快速分解重構新配置機床產品.首先對待加工零件進行工藝分析、聚類，從而提出對機床產品的結構和功能要求.根據系統粒度確定商空間集合，不同的模塊對應不同的粒度元素，其連接屬性對應模塊連接方式.對可重構機床建立商空間模型，依據功能關系建立約束條件，基于模塊空間關系對初始圖粗粒度進行粒度變換，建立一一映射關系，使功能結構模塊在不同的粒度層面可以快速轉換.建立粒度分解和商空間關系，組成可重構機床內在聯系.檢索可重構機床數據庫，如果沒有合適粒度的機床配置單元，則使用模塊化技術進行快速設計.查詢機床配置單元系統模塊，如果無合適粒度配置單元，則以已存在的相似模塊為基礎，進行擴展重構設計.對各個模塊進行生成組合，構建最合適的機床配置方案.對機床進行分解粒度劃分、組合分析、粒度配置分析和綜合評價，確認劃分和配置規劃合理性，流程如圖3所示.

圖3 基于商空間粒度計算的可重構機床配置規劃模型Fig.3 Configuration layout model based on quotient space theory of the granularity computing of reconfigurable machine tools

3.2 商空間粒度理論分析

當用一般可重構理論與方法對可重構機床進行劃分重構時，如果客戶需求發生變化，需要耗費大量資源對已有機床結構進行分析、配置和重構，不能建立動態配置規劃方法實時響應市場需求.

利用商空間粒度計算理論與方法可以動態地對相關可重構機床進行合理粒度計算，當產品需求發生變化時，對相關特征粒度配置單元進行重構，建立動態合理的粒度配置單元與目標可重構機床之間的實時動態映射關系，構建多需求多體重構配置機床，可以極大減少重構斜升時間和配置資源的浪費，優化的粒度分析可以有效縮短模塊配置裝配時間和減少對企業資源的利用.圖4為一般重構分析方法與商空間粒度理論分析方法的對比.

圖4 商空間粒度理論的對比分析Fig.4 Contrastive analysis of quotient space theory of the granularity

3.3 實例分析

以某大型企業箱體類產品族為例，由于材質和Z軸加工距離的變化，機床未重構配置規劃前，有40多個子模塊，需要單獨分析研究，所得模塊組合配置方案有成千上萬種，沒有適當的粒度計算分析，系統的配置規劃很復雜.

因此需要配置能快速響應生產產品的可快速重構機床，其主要功能模塊包括床身部、橫梁部（過渡件）、立柱部、主軸箱部、滑座工作臺部和刀庫部6大部件.圖5按照產品層、系統層、模塊層、分模塊層將加工中心進行模塊分層分解.

圖5 可重構機床粒度分層Fig.5 Granular delamination of reconfigurable machine tool

對產品缸體缸蓋加工工序進行聚類分析，結果如圖6所示.從該工藝聚類結果可知，缸體缸蓋的加工特征可分4類：矩形面、矩形陣列盲孔、通孔、矩形陣列螺紋盲孔，其中二階通孔和通孔同屬一類加工特征.該聚類結果比一般聚類結果更加快捷簡單，能有效劃分模塊加工特征，為商空間模塊單元映射關系建立基礎.

可重構機床在機械系統層面可以分為床身、立柱、主軸、工作臺、滑臺滑座和刀庫等6大部分，其中床身又可分為床身本體、滾珠絲杠、導軌，不同的父模塊又由幾十個子模塊組合而成，其粒度變化生成如圖7所示.

定義可重構機床商集［X］對應機械系統商空間為（［X］，［f］，［T］）.

（1）論域X＝｛x1，x2，x3，…，xn｝，為可重構機床子模塊.

（2）R1，R2，…，Rn，為論域X上對應等價關系集合.

（3）［X］＝｛［X1］，［X2］，［X3］，［X4］，［X5］，［X6］，［X7］｝.

（4）M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7為各商集對應的子模塊.

圖7對商集論域Xki進行不同層粒度操作變換，由圖7a可知，論域Xk2在該粒度要進行變異，對Xk2進行比例縮放操作模塊替換，可對應提升主軸的加工Z軸方向的行程，原機床可加工缸體零件相關特征，通過實體可重構機床變換，該可重構機床可加工缸蓋零部件相關特征；圖7b對論域Xk5進行遷移替換，原來的工作臺只有一個托盤，通過替換Xk5，更換旋轉托盤可以進行對換加工；圖7c對可重構機床的論域Xk7進行了裂變粘貼操作，對位于可重構本體的箱體邊的刀庫進行嵌入操作，可有效提升機床的加工能力，減少換刀時間和斜升時間；圖7d為論域集合模型的動態配置方案，對圖7e的商空間論域進行物理映射得到圖7d的空間子模塊集合.

對可重構機床進行商空間粒度計算分析和對物理模型進行表達，可有效提升機床重構效率.（［X］，［f］，［T］）可在論域空間［X1］，［X2］，［X3］，［X4］，［X5］，［X6］，［X7］中粒度劃分為M1（［X1］），M2（［X2］），M3（［X3］），M4（［X4］），M5（［X5］），M6（［X6］），M7（［X7］）.圖8是對應的可重構機床模塊粒度劃分模型.

圖8 基于商空間的可重構機床粒計算結果Fig.8 RMTs granular computing result based on quotient space

通過商空間理論粒度計算方法，結合計算機數據庫等高效的映射關系，可以實時展示可重構機床的粒度劃分和動態配置過程，建立一種新的工藝聚類與重構模塊之間的映射關系，可以方便的對機床動力配置進行重構，從而為機床的可重構配置規劃奠定基礎.

4 結論

本文對建立可重構機床商空間粒計算方法的關鍵問題進行了研究，運用商空間理論中的論域和粒度閾值對應關系提出了基于商空間的可重構機床粒度計算方法，通過不同層面粗細粒度的轉換，能夠滿足不同層次不同任務的需求.實現了體系結構組元模型在系統配置規劃中的快速粒度分解、組合等物理操作，建立了功能分解與結構匹配的商空間模型，全面表達了可重構機床在配置規劃中粒度分解的相關特征和目標任務的相關變化，實現了可重構機床的模塊快速優化分解.基于商空間理論的可重構機床粒計算方法可以充分利用商空間模型和粒計算動態特性對重構設備進行重構規劃，建立一種新的工藝聚類與重構模塊之間的映射關系，方便對機床配置進行重構，從而為機床的可重構配置規劃奠定基礎.

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