等額還貸計算方法研討

丁昌春，吳明官，姬忠光

(黑龍江省水利水電勘測設計研究院，哈爾濱150080)

1 問題的提出

每個社會成員或集體等單位，當一次性貸款(F)后，在銀行規定的還貸期限(m=n×t)內，按指定的計息周期(1/t=日、月、季、年等)、利率(i=r/t)，等額還款的情況下，如何計算還貸本息，直接影響到各單位和個人的切身利益。即在一次性貸款后，具體的還款方式對還貸者具有較大的影響，如:等額本息(A)還款、等額本金(F/m)還款、單利法、復利法、時段末結算、時段中結算等。

在水利工程經濟評價中，為了弄清不同還款方式對還貸者帶來的具體影響，詳細推導了單利法、復利法還貸計算公式及相互關系等，目的是方便廣大還款者事先主動了解和掌握不同貸款前提條件及各種方法之間的差別等有關內容。

1.1 等額本息還款

根據等額本息還款方法，分析逐年的本利和Ek表達式如下:

1.2 等額本金還貸

根據等額本金還款方法，分析逐時段還貸利息Sk表達式如下:

2 單利法還貸利息計算公式

從上述等額本金還貸利息Sk表達式中可以看出，當不考慮復利(利息再取利息)的情況下，單利法等額本金還貸利息總額計算公式推導過程如下:

公式(2)就是單利法等額本金還貸利息總額計算公式，該法的計算公式比較簡單易用，故直接采用即可。

3 復利法還貸計算公式

3.1 等額本息還款額計算

3.1.1 時段末結算

從上述等額本息還款Ek表達式中可以看出，當考慮時段末結算的情況下，復利法等額本息還款額(A)計算公式推導過程如下:

式(4)就是目前我國銀行系統給購房者放貸中，最常用的年等額本息還款額(A)的計算公式。

由式(4)求得年等額本息還款額A的基礎上，計算本利和E、不同計息周期(1/t=日、月、季、年等)相應的平均還款額P。

方法1:平均法

式(7)就是在先求得時段長為年的還貸本息情況下，還貸期內平均等額本息還款的計算方法，簡稱:平均法。

方法2:直接法

式(8)就是在一年計息t次的情況下，目前銀行系統常用的等額本息還款的計算方法，簡稱:直接法。

3.1.2 時段中結算

從上述等額本息還款的本利和Ek表達式中可以看出，當考慮時段中結算的情況下，復利法等額本息還款額(A°)計算公式推導過程如下:

由式(5)代入式(11)得:

式(12)就是時段中結算的等額本息還款額(A°)的計算公式。

3.1.3 等額本息還款時機成果比較

因此，式(13)和式(14)就是時段中結算的年等額本息還款額(A°)和時段末結算的年等額本息還款額(A)關系式。

因為，(1+r)/(1+r/2)＞1，所以，年等額本息還款額計算成果，時段末(A)大于時段中(A°)成果。

3.2 等額本金還貸計算

從上述等額本金還貸利息Sk表達式中可以看出，當考慮復利(利息再取利息)的情況下，還貸利息總額計算較復雜，具體的推導過程如下:

由式(4)代入式(15)得:

因為，

所以，

由式(18)代入式(17)得:

式中:Sm=(F－(m－1)/mF)i+Sm－1i=F(1－(m－1)/m)i+Sm－1i

式(20)和式(4)代入式(19)得:

公式(21)就是等額本金復利法還貸利息總額計算公式。

由式(21)求得等額本金還貸利息總額S的基礎上，計算本利和E、不同計息周期(1/t=日、月、季、年等)相應的平均還款額P。

3.3 等額本金還貸復利法近似公式

由于復利法等額本金還貸利息總額計算公式較復雜，故通過分析復利法和單利法的關系，推導出復利法簡化后的近似公式。

復利法S≈A單利法≈AX

又從式(24)可以看出，若還貸計息周期取月(m=年數n×12)、日(m=年數n×365)時，m值很大，即2i/m/(m+ 1)/(1－i)2≈0，則復利法簡化后的近似公式如下:

式(24)和式(25)就是時段末結算的復利法等額本金還貸利息總額簡化的近似公式。

當i=r/t，m=nt時，由式(25)得:

當t→∞時，對式(26)求極限后得:

式(27)就是計息周期(1/t)趨近于零時，時段末結算的復利法等額本金還貸利息總額計算公式。

4 分析與討論

4.1 計息周期

若計息周期為(1/t)(即1 a計息t次)，則E=F(1+r)n就要修改為:

4.2 等額本金還款

一次性貸款后，等額本金還款的時機，對還貸利息總額也有一定的差別，即規定時段內，可以取時段末、時段中。

4.2.1 單利法

從上述等額本金還貸利息Sk表達式中可以看出，當不考慮復利(利息再取利息)的情況下，時段中結算的單利法等額本金還貸利息總額計算公式推導過程如下:

4.2.2 復利法

同樣可以推求時段中結算的復利法等額本金還貸利息總額計算公式如下:

S°≈(1－2i/m/(m+1)/(1－i)2)/(1－i)X°(31)

4.2.3 等額本金還款時機成果比較

公式(30)就是計息周期內時段中結算的單利法等額本金還貸利息總額計算公式(X°=Fim/2)，與時段末結算的單利法等額本金還貸利息總額計算公式(X=Fi(m+ 1)/2)，比較(X－X°=Fi(m+1)/2－Fim/2=Fi/2)或( X/X°=Fi(m+1)/2/Fim/2=1+1/m)結果，時段末結算的單利法等額本金還貸利息總額X比時段中結算的單利法等額本金還貸利息總額X°多Fi/2或比值為1+1/m，也就是差第一時段后半個時段的利息。公式(31)的分析結論(S/S° =Fi(m+1)/2/Fim/2=1+1/m)與公式(30)分析結果相同。

4.3 等額本息還款與等額本金還款的差別

一次性貸款額F=40萬元，在銀行規定的還貸期限(n =20年)內，按指定的計息周期(1/t=1/12=月)、年利率(r =4.9%)，采用復利法等額還款、時段末結算的情況下，等額本息(A)還款和等額本金(F/m)還款的具體差別分析如下:

4.3.1 等額本息(A)還款

平均法:P=E/(n t)=63.650894萬元/(20×12)= 0.2652萬元/月。

直接法:P1=F(r/t)(1+r/t)nt/((1+r/t)nt－1)=40萬元×6.54444×10－3=0.26178萬元/月。

4.3.2 等額本金(F/m)還款

4.3.3 差別分析

因此，同樣采用復利法等額還款，但由于采用的等額不同，等額本息(A)還款和等額本金(F/m)還款的具體差別較大，從上述的例子可以看出，等額本息(A)還款與等額本金(F/m)還款的本利和E、每月的還款額P，分別差3.0672萬元、127.8元/月;相對差為5.13%，a=P1/P2=1.0513≈1 +r=1.049。

4.4 分析結論

由于等額還款時機，取時段末和時段中的還貸利息總額，時段末的大于時段中的成果;無論是取時段末或時段中的還貸利息總額，單利法小于復利法;等額本息還款和等額本金還款時，采用平均法還貸本息大于直接法計算成果，而且等額本息還款額大于等額本金還款額。因此，真正落實貸款時，還貸者角度看，盡量爭取時段中結算、單利法、直接法和等額本金還款的成果，更有利于還款者。

從計息周期分析成果中可以看出，存款者角度看，在確定存款額和年利率、存款年限、一次性還本付息的條件下，計息周期越小，本利和越大，越有利于存款者。

另外，從等額本息(A)還款與等額本金(F/m)還款的本利和E、每月的還款額P的差別分析成果中可以看出，目前我國銀行系統給購房者放貸時，為什么采用等額本息(A)還款方式，很顯然，在相同的貸款條件下，等額本息(A)還款比等額本金(F/m)還款方法，更有利于銀行。

5 算例

一次性貸款總額F=100萬元，銀行規定的還貸年限n =20 a，指定的年利率r=7.05%。分別計算規定時段取年、半年、季度、月、旬、日的等額還貸情況下的利息總額和平均每時段的還款額。具體成果詳見表1和表2即可。

以20 a還貸期限的100萬元，采用直接法放貸計算，按照每月均等的還款方式，年利率為7.05%時，月均還款額P，等額本金還款為7134元/月、等額本息還款為7 783元/月，相差649元/月;本利和E，等額本金還款為171.2122萬元、等額本息還款為186.792萬元，相差15.5798萬元，相對差為9.1%。

從表2中可以看出，復利法的普通公式和簡化公式，當規定的時段縮小到月時，還貸利息總額非常接近;當規定時段縮小到日時，復利法和單利法的還貸利息總額也很接近，相對差約0.2‰;當規定時段繼續縮小到零時，復利法和單利法的還貸利息總額均等于S=X=nFr/2。

［1］吳恒安.財務評價、國民經濟評價、社會評價、后評價理論與方法［M］.北京:中國水利水電出版社，1998.

表1 不同計息周期等額還款額計算成果比較表 萬元/t

表2 等額本金還貸利息總額計算成果對比表 萬元