基于累積前景理論和隨機加權法的隨機多準則決策方法

胡軍華，楊 柳

（中南大學商學院，長沙 410083）

0 引言

在現實世界中，因為環境的不確定性和復雜性，隨機多準則決策問題廣泛存在。在隨機多準則決策問題中，準則值概率分布有確定、模糊確定和部分完全不確定三種情況。對于概率分布確定的隨機多準則決策方法的研究比較多，如隨機優勢方法、隨機多目標可能度方法SMAA等；對于概率模糊確定的隨機多準則決策方法的研究近年來也逐漸興起，如基于區間粗糙算子的粗糙隨機多準則決策方法，基于期望值-混合熵的區間概率模糊隨機多準則決策方法；而概率部分完全不確定的隨機多準則決策方法的研究比較少，該方法對缺失值的處理，通常利用回歸分析和基于貝葉斯推理等方法，采用可能值進行填充。隨機加權法[1]是在Bootstrap法基礎上，通過對觀測數據的重新抽樣產生再生樣本，進而估計分布參數的一種有效方法。隨機加權法對概率密度函數未知的隨機多準則問題進行處理時，可以有效估計出其分布特征，將概率未知問題轉化為概率已知的決策問題，再利用相應的方法進行處理。

然而，目前大多數隨機多準則決策問題多建立在期望效用理論和完全理性人假設的基礎上。而實際上，由于個體認知的局限和知識的匱乏，使得決策者并非完全理性人。因此，Kahneman和Tversky提出了前景理論（Prospect Theory,PT）[2]和累積前景理論（Cumulative Prospect Theory,CPT）[3]，徹底摒棄了理性人假設，通過模型參數的調整來反映行為主體的風險偏好。近年來，考慮決策者風險偏好的隨機多準則決策問題引起了一些學者的關注，如Lahdelma和Salminen[4]將前景理論中的成對線性無差異函數和SMAA結合，提出了一種SMAA-P方法。王堅強和周玲[5]利用前景理論的計量模型，探討了概率和準則值均為區間灰數的灰色隨機多準則決策問題。

在上述研究基礎上，本文將隨機加權法應用于隨機多準則決策中，考慮決策者的主觀風險偏好態度，針對準則權重未知、準則值部分缺失的隨機多準則決策問題，提出一種基于累積前景理論和隨機加權法的信息不完全的多準則決策方法。

1 累積前景理論和隨機加權法

1.1 累積前景理論

累積前景理論中，前景值V由價值函數v和決策權重函數π共同決定，表示為：

Kahneman和Tversky[3]給出了一種能較好滿足決策者面臨收益時風險規避和面臨損失時風險尋求的偏好特征的價值函數形式，具體表達式如下：

其中，x是決策方案相對于參考點的差值，x為正時，表示收益，x為負時，表示損失，α、β分別為風險偏好和風險厭惡系數。Kahneman和Tversky認為0＜α,β＜1，α=β=1時，決策者可被視為風險中立者。λ為損失規避系數，λ＞1表示決策者對于損失更加敏感。

本文中，收益和損失的決策權重函數采用文獻[7]給出的形式，分別為：

Prelec[6]給出了w+和w-的函數形式：

其中，γ+＞0，γ-＞0，?＞0。

1.2 隨機加權法

Efron于1979年首次系統提出了Bootstrap方法[7]。該方法不需要對給定的樣本數據的分布作任何假設，通過對樣本數據抽樣來模擬其分布，是一種充分提取樣本數據本身信息的非參數統計推斷方法。Bootstrap法[8]的基本思想是：已知來自總體分布F的隨機子樣X=(X1,X2,…,Xn)，R(X,F)為某個事先選定的隨機變量，它是X和F的函數。要求根據子樣的觀測值x=(x1,x2,…,xn)估計R(X,F)的分布特征，如概率密度函數、分布函數、均值或方差等。Bootstrap法就是用樣本X=(X1,X2,…,Xn)構造出F的極大似然估計（一般用樣本X的經驗分布函數Fn來近似）；然后從中抽取大小為n的簡單子樣i=1,2,…,n，稱為Bootstrap子樣；最后，用的分布來迫近R(X,F)的分布，稱為Bootstrap分布。

1987年，鄭忠國在Bootstrap方法的基礎上提出的一種新的統計分析法—Bayesian Bootstrap方法，又稱隨機加權法[1]，其基本思想是：采用蒙特卡洛模擬法從Diricklet分布中重復抽取N組隨機變量，通過給每個試驗樣本隨機加權產生再生樣本來模擬總體分布，從而獲得小樣本數據統計分布的均值與方差。設某先驗信息服從未知分布F，未知分布的均值為u，方差為σ2。X=(x1,x2,…,xn)為來自于某未知分布F的樣本，令未知分布的均值為u和方差為σ2與收集到的樣本數據獲得的均值Xˉ和方差s2存在一定的誤差，記：對于分別構造隨機加權統計量：

其中Vi(V1,V2,…,Vn)為服從D(1,1,…,1)分布的隨機變量。存在如下統計特征：

利用Bayesian Bootstrap對子樣進行估計的具體步驟如下：

（1）通過計算機隨機產生M組服從Dirichlet分布D(1,1,…,1)的隨機變量…,M)，記V(j)的聯合分布為，按如下方式產生：隨機抽取n-1個獨立同分布且服從U(0,1)的樣本v1,v2,…,vn-1，再按從小到大的順序重新排序使得=1,2,…,n)，則V(j)的聯合分布就是

（2）計算出M組隨機加權子樣(j=1,2,…,M)。其中:

（3）分布參數u,σ2的估計分別為:

2 隨機多準則決策方法

某一隨機多準則決策問題，有m個備選方案供選擇，記 為A={a1,a2,…,am}，n個 評 價 準 則 ，記 為C={c1,c2,…,cn}，各準則間相互獨立，準則的權向量為ω=(ω1,ω2,…,ωn)，有0≤ωj≤1且由于客觀世界的不確定性，方案ai(i=1,2,…,m)關于準則cj(j=1,2,…,n)的評價值Xij為隨機變量，其概率密度函數未知，我們需要根據有限的樣本信息推斷相應的總體特征。準則cj(j=1,2,…,n)下的參照點為hj(j=1,2,…,n)，則有如下定義：

定義1方案ai關于準則cj的評價值為連續型隨機變量按如下處理方式將連續型隨機變量離散化：把區間[uij-3σij,uij+3σij]均勻分為N等份，每等份為Δij=((uij+3σij)-(uij-3σij))/N=6σij/N，zijk=(uij-3σij)+k?Δij(K=0,1,…,N)，取值為zijk(k=0,1,2,…,N)的概率為：

因此，隨機變量Xij的取值序列為(zij0,zij1,…,zijN)，相應的概率為(pij0,pij1,…,pijN)。備選方案方案ai(i=1,2,…,m)關于準則cj(j=1,2,…,n)下的前景值：

基于累積前景理論和Bayesian Bootstrap的隨機多準則決策方法步驟如下：

步驟1：中心極限定理從數學上證明了受大量相互獨立的隨機變量綜合影響的隨機變量往往服從或近似服從正態分布，因此，我們假設備選方案ai(i=1,2,…,m)在準則cj(j=1,2,…,n)下的準則值Xij服從正態分布其中uij和未知。根據Bayesian Bootstrap法，模擬備選方案ai(i=1,2,…,m)在準則cj(j=1,2,…,n)下的準則值Xij的均值uij和方差，進而得到準則值Xij的概率密度函數fij。

步驟2：按式(1)-(7)計算備選方案服從正態分布的方法計算備選方案ai(i=1,2,…,m)在準則cj(j=1,2,…,n)下的前景值vij，得到前景值矩陣V=(vij)m×n

步驟3：將前景矩陣V=(vij)m×n進行規范化處理，得到列和歸一化矩陣R=(rij)m×n，其計算公式為：

顯然有0＜rij≤1,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。

步驟4：依據規范化矩陣R=(rij)m×n，計算準則cj的熵值Ej：

步驟5：依據得出的Ej，計算準則cj的熵權ωj：

步驟6：按簡單加權平均算子計算備選方案ai(i=1,2,…,m)的綜合前景值Vi：

按綜合前景值對備選方案進行排序和擇優。綜合前景值V越大，方案越優。

3 算例分析

汽車大修是為了徹底恢復汽車完好技術狀況和延長汽車使用壽命而進行的作業，汽車大修可靠性是衡量汽車大修質量的重要指標之一。一般從如下3個方面評價大修汽車的可靠性：c1-平均首次故障里程（MTTF，km），c2-平均故障間隔里程（MTBF，km），c3-故障率（D，次1000km-1）。MTTF是指汽車故障前的平均工作里程，MTEF-是指汽車在兩次相鄰故障間的平均工作時間，反映了無故障的平均時間。D表示故障的頻繁程度。但是在可靠性試驗中，多數情況下不能對研究總體進行全數試驗，而是從總體中抽取樣本進行試驗，然后跟據樣本試驗結果的統計量對總體進行估計?，F有4中不同型號的汽車ai(i=1,2,3,4)需要大修，試根據如下測試數據（如表1所示），選出可靠性最高的汽車進行維修。

表1 大修汽車可靠性試驗記錄

根據上述方法對上述4類汽車進行可靠性評估，具體步驟如下：

（1）假設上述4類汽車在各個指標下的準則值Xij均服從正態分布根據Bayesian Bootstrap方法模擬準則值的經驗分布，模擬次數M=5000，模擬結果如表2所示：

表2 備選方案在各準則下的經驗分布

（2）根據1991年實施的“汽車產品質量檢驗方法”（QCn29008.4-91），汽車的MTTF、MTBF和D的參照點分別為2500.0km,1500.0km和5.8次1000km-1，按照第三節步驟2中計算備選方案服從正態分布的方法計算備選方案ai(i=1,2,3,4)在準則cj(j=1,2,3)下的前景值vij，其中，我們采用曾建敏在文獻[9]中的建議值，即α=1.21，β=1.02，λ=2.25。前景理論中決策權重函數的參數γ+、γ_和?采用文獻[10]的建議值，即γ+=0.8，γ_=0.8，?=1，得到前景值矩陣V=(vij)3×4，如表3所示。

表3 各方案在各準則下的前景值

（3）按公式（8）和（9）對前景矩陣V=(vij)3×4進行規范化處理，得到規范化矩陣R=(rij)3×4：

（4）根據式（10）計算準則cj(j=1,2,3)的 熵 值Ej(j=1,2,3)：

E1=0.5008，E2=0.3968，E3=0.5732

（5）根據式（11）計算準則cj(j=1,2,3)的 熵 權ωj(j=1,2,3)：

ω1=0.3264，ω2=0.3945，ω3=0.2791

（6）按式（12）計算備選方案ai(i=1,2,3,4)的綜合前景值Vi，得到V1=28.5134，V2=30.9992，V3=38.8680，V4=39.1287。因此，這4種大修汽車中可靠性最高的是a4，可靠性從高到低的順序依次為a4?a3?a2?a1。

4 結論

本文研究了準則權重完全未知、準則值部分缺失的多準則決策問題，納入決策主體的風險偏好，提出了一種基于累積前景理論和隨機加權法的信息不完全的多準則決策方法。該方法在考慮決策者風險態度的同時，通過Bayesian Bootstrap模擬準則值的經驗分布函數，量化決策信息的不確定性，更科學地為不確定情況下的判斷與決策提供指導，降低了決策風險，提高了決策質量。在實際決策過程中，可以根據決策個體的風險偏好特征，適當調整模型參數，以便更合理的輔助行為主體做決策。

[1]鄭忠國.隨機加權法[J].應用數學學報,1987,(2).

[2]Kahneman D,Tversky A.Prospect Theory:an Analysis of Decision Under Risk[J].Econometrica,1979,47(2).

[3]Tversky A,Kahneman D.Advances in Prospect Theory:Cumulative Representation of Uncertainty[J].Journal of Risk and Uncertainty,1992,5(4).

[4]Lahdelma R,Salminen P.Prospect Theory and Stochastic Multicrite?ria Acceptability Analysis[J].Omega,2009,37(5).

[5]王堅強,周玲.基于前景理論的灰色隨機多準則決策方法[J].系統工程理論與實踐,2010,30(9).

[6]Prelec D.Compound Invariant Weighting Functions in Prospect Theo?ry[M].Cambridge:Cambridge University Press,2000.

[7]Efron B.Bootstrap Methods:another Look at the Jackknife[J].The An?nals of Statistics,1979,7(1).

[8]陳紅.Bootstrap方法及其應用[J].青島大學學報:工程技術版,1997,12(3).

[9]曾建敏.實驗檢驗累積前景理論[J].暨南大學學報(自然科學版),2007,28(1).

[10]Prelec B D.The Probability Weighting Function[J].Econometrica,1998,66(3).