冪的“變”“湊”曲

徐向榮

冪的運算是整式運算的基礎，因此學好冪的運算就是為后面繼續學習夯實基礎.本文重點介紹冪的運算中常用的技巧：“二變二湊”.

技巧一：變底數

例1 若2x+5y=3，求4x·32y的值.

解：4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.

例2 設x=3m，y=27m+2，用含x的代數式表示y，則y=________.

解：y=（33）m+2=33m+6=33m·36=（3m）3·36=x3·729=729x3.

【點評】例1將底數4和32換成2為底，再利用冪的乘方和同底數冪乘法法則得到22x+5y，利用整體代換的方法求出結果為8.例2將27換成33，將冪的乘方法則和同底數冪乘法法則順向和逆向使用，從而得到y=729x3.

技巧二：變指數

例3 若a=2555，b=3444，c=6222，請比較a，b，c的大小，用“>”連接.

解：a=2555=25×111=（25）111=32111，

b=3444=34×111=（34）111=81111，

c=6222=62×111=（62）111=36111.

因為81>36>32，所以b>c>a.

例4 3-108與2-144的大小關系是_______.

解：3-108=（3-3）36=■36，2-144=（2-4）36=■36，

因為■<■，所以3-108<2-144.

【點評】例3，例4都是先將指數化為相同的數，再比較底數的大小，找到指數的最大公約數，熟練地正向和反向使用冪的乘方法則是關鍵.

技巧三：湊出“1”

例5 計算■2012×（1.5）2013×（-1）2013.

解：原式=■2012×■2013×（-1）=-■×■2012×■=-■.

例6 計算-■2011×2■2012的值.

解：原式=-■2011×■2011×■

=-■×■2011×■=-■.

【點評】例5逆用積的乘方法則以及冪的乘方公式湊出“1”，例6先定積的符號為負，再用例5的方法湊出“1”使運算變得簡便.

技巧四：湊整體

例7 已知10m=20，10n=■，求9m÷32n的值.

解：因為9m÷32n=32m÷32n=32m-2n=32（m-n），

而10m=20，10n=■，所以10m÷10n=20×5=100，

所以10m-n=102，所以m-n=2，所以9m÷32n=32（m-n）=32×2=34=81.

例8 已知a2+a=1，求2 013a3+4 025a2-a的值.

解：原式=2 013a3+2 013a2+2 012a2-a

=2 013a（a2+a）+2 012a2-a

=2 013a+2 012a2-a

=2 012a2+2 012a

=2 012（a2+a）

=2 012.

【點評】例7在變底數為3后就缺m-n的值，所以利用已知條件借助同底數冪的除法構造m-n這個整體，從而順利解題.例8借助提取公因式反復構造a2+a，利用a2+a=1反復整體代換，使解題變得簡便.