如何理解二元一次方程（組）的有關概念

楊波

二元一次方程組是刻畫現實世界和實際生活問題的一個有效數學模型，是初中數學的重要組成部分. 它是在我們掌握了一元一次方程有關知識的基礎上展開的，也是我們今后進一步學習方程和一次函數、二次函數的基礎.要學好二元一次方程組，必須深刻理解二元一次方程（組）的有關概念.

一、 二元一次方程的概念

含有2個未知數并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程.二元一次方程與我們之前學過的一元一次方程一樣都是整式方程，方程中的未知數叫“元”，一個方程有幾個未知數，就稱這個方程為幾元方程.方程中含未知數的項的最高次數叫做方程的次數，最高次項是幾，就稱這個方程為幾次方程.

例1 判斷下列方程是不是二元一次方程.

（1） 2x-3y+2z=7；（2） ■+y=-9；（3） xy-1=5；（4） x2-4y=12.

【解析】（1） 二元一次方程必須也只能含有2個未知數，方程2x-3y+2z=7中含有3個未知數，所以它不是二元一次方程.它是三元一次方程.

（2） 二元一次方程是整式方程.方程■+y=-9中，雖然它含有2個未知數，但■不是整式（以后我們會學到，它叫分式），所以它不是二元一次方程.它是分式方程.

（3） 二元一次方程中的“一次”指的是含未知數的項的次數，而不是未知數的次數.方程xy-1=5中，雖然含有2個未知數，并且每個未知數的次數都是1，但xy這個單項式的次數是2次，所以它不是二元一次方程.它是二元二次方程.同樣，方程x2-4y=12中，未知數x的最高次數是2，所以，它也不是二元一次方程，而是二元二次方程.

例2 若方程（m2-9）x2-（m-3）x+2y=2是關于x、y的二元一次方程，則m的值是（ ）.

A. ±3 B. 3 C. -3 D. 9

【解析】在此方程中，（m2-9）x2的次數是2，根據二元一次方程的概念，這一項不能存在，所以（m2-9）x2=0，即m2-9=0，m=±3.又因為當m=3時，（m-3）x=0，此時方程中就沒有含x的項了，所以（m-3）x≠0，即m≠3，所以m=-3，應選C.

二、 二元一次方程（組）的概念

含有2個未知數的兩個一次方程所組成的方程組叫做二元一次方程組.與一元一次方程的概念一樣，這也是個描述性的定義.具體理解要注意以下幾點：

1. 組成方程組的各個方程不必都同時含有2個未知數.如x+y=35，x+1=7也是二元一次方程組，盡管第二個方程是一元一次方程.

2. 方程組中只能含有2個未知數.如x+y=3，x+z=5雖然含有2個二元一次方程，但當中含有3個未知數，因此，它不是二元一次方程組，而是三元一次方程組.

3. 二元一次方程組不一定是由2個二元一次方程合在一起的.方程可以超過2個，定義中的“兩個一次方程”是特指，因為它最常見.如x+y=3，2x-3y=8，3x-y=2雖然是由3個二元一次方程組成，但是方程組中只有2個未知數，因此，它也是二元一次方程組.

三、 二元一次方程的解

適合二元一次方程的一對未知數的值叫做這個二元一次方程的一個解.理解這個概念要注意以下兩點：

1. 二元一次方程的“一個解”是指“一對數”，即是適合于方程的一對未知數的值.如x=2，y=3是方程x+y=5的一個解，而不能說是“兩個解”或“一組解”.也就是說只有當x=2時，求出y=3，并且寫成x=2，y=3時才是方程x+y=5的一個解.

2. 任何一個二元一次方程都有無數個解.如在x+y=5中，當x=1時，可以代入求出y=4，這時x=1，y=4也是方程x+y=5的一個解.這個方程的解我們還可以列出許多，比如x=-1，y=6，x=1.5，y=3.5等.事實上，每當x取一個值，y都會有一個唯一的值與它相對應.當然，如果我們給未知數的取值加上限制條件，那么方程就沒有無數個解了.如x+y=5，如果我們加上“x、y都取正整數”的條件限制，那么此方程只有如下4個解：x=1，y=4，x=2，y=3，x=3，y=2，x=4，y=1.

四、 二元一次方程組的解

二元一次方程組中的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解.理解這個概念要注意以下兩點：

1. 方程組的各個方程中，同一未知數的值必須相同.即符合第一個方程的“一個解”也是第二個方程的“一個解”，此時，這個解就是此方程組的解.但是，符合第一個方程的“一個解”不一定是第二個方程的解，這就需要我們在檢驗時要把解同時代入到兩個方程去檢驗才能作出正確的判斷.

例3 下列各對數是二元一次方程組x+3y=11，3x+2y=12的解的是（ ）.

A. x=3，y=3. B. x=5，y=2. C. x=4，y=0. D. x=2，y=3.

【解析】根據二元一次方程組的解的概念，我們需要把各組數逐個代入到每個方程中才能正確地作出判斷.x=3，y=3既不是第一個方程的解也不是第二個方程的解；x=5，y=2是第一個方程的解，但不是第二個方程的解；x=4，y=0是第二個方程的解，但不是第一個方程的解；x=2，y=3既是第一個方程的解，也是第二個方程的解，是公共解.因此選D.

2. 二元一次方程組的解有3種情況：唯一解，無數個解，無解.對于二元一次方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2.

① 當■≠■時，方程組有唯一解；

② 當■=■=■時，方程組有無數解；

③ 當■=■≠■時，方程組無解.

例4 判斷下列二元一次方程組的解的情況.

（1） x+2y=5， ①2x+4y=10.② （2） x+2y=5， ①2x+4y=12.②

【解析】（1） 方程2x+4y=10兩邊同時除以2，得到方程x+2y=5，與方程①完全相同，此時，不管給出方程①的任何一個解，對于方程②都是同樣的.此時，這個方程組有無數解.

（2） 方程2x+4y=12兩邊同時除以2，得到方程x+2y=6，與方程①相比，兩個方程等號的左邊完全一樣，而右邊卻不同.對于代數式x+2y，不可能同時有2個不同的結果.所以，這個方程組無解.

總之，我們在理解這些基本概念時，最好要在具體實例的基礎上去深刻理解，只有這樣，才能做到概念清晰，解決問題時才能判斷準確、迅速，從而夯實自己的數學基礎.