從一道中考題談起

周莎

問題 （2012四川達州）若關于x、y的二元一次方程組2x+y=3k-1，x+2y=-2的解滿足x+y>1，則k的取值范圍是____________ .

【解答】方法一：解方程組2x+y=3k-1，x+2y=-2.得：x=2k，y=-k-1.

因為關于x、y的二元一次方程組2x+y=3k-1，x+2y=-2的解滿足x+y>1，

所以2k+（-k-1）>1，解得k>2.

方法二：方程組2x+y=3k-1，①x+2y=-2. ②

①+②得：3x+3y=3k-3，即：x+y=k-1.

因為關于x、y的二元一次方程組2x+y=3k-1，x+2y=-2的解滿足x+y>1，

所以k-1>1，解得k>2.

【點評】本題既能夠考查同學們對二元一次方程組解法的掌握，也能夠考查同學們對一元一次不等式組解法的掌握.同時，本題將二元一次方程組與一元一次不等式融為一體，能夠較好地滲透整體的數學思想，使含有3個未知數的方程組、一元一次不等式問題轉化為只含有一個待定系數的一元一次不等式問題.

【思考】方法一，從基礎知識和基本能力的角度，直接根據所給方程組求得含有待定系數的方程組的解，再分別代入含有未知數的不等式中，建立含有待定系數的不等式，從而確定待定系數的取值范圍.方法二，能夠較為靈活地根據方程組中對應未知數的系數關系，巧妙地將方程組中的兩個方程相加，再應用整體的數學思想，從而使得問題巧妙轉化，也使得問題的解答簡捷、明快.

變式1 若關于x、y的二元一次方程組3x+y=1+a，x+3y=3的解滿足x-y<2，則a的取值范圍是（ ）.

A. a>4 B. a<4

C. a>6 D. a<6

【解答】解方程組3x+y=1+a，①x+3y=3. ②

①-②，得：2x-2y=a-2，

因為關于x、y的二元一次方程組3x+y=1+a，x+3y=3的解滿足x-y<2，即2x-2y<4，

所以a-2<4，解得a<6.所以，本題正確應該選D.

變式2 關于x、y的二元一次方程組5x+3y=23，x+y=p的解是正整數，則整數p的值為_______.

【解答】解方程組5x+3y=23，x+y=p得：x=■，y=■.

因為關于x、y的二元一次方程組5x+3y=23，x+y=p的解是正整數，

所以■>0，■>0.解得4■

分別把p為5、6、7代入原方程組的解中，只有p=5、7時方程組的解是正整數，

所以，本題正確應該填：5或7.