基于多階段向量場的活動輪廓模型*

劉國奇 周智恒

(華南理工大學 電子與信息學院，廣東 廣州 510640)

活動輪廓模型是一種重要的圖像分割方法，它分為參數活動輪廓模型［1］(輪廓曲線采用參數形式顯式表示)和幾何活動輪廓模型［2］(輪廓曲線由水平集函數的零水平隱式表示).活動輪廓模型把圖像目標邊界的提取看作是能量優化問題，模型中輪廓曲線的能量由內部能量和外部能量組成.內部能量保證演化曲線的光滑性，外部能量基于圖像數據定義，使輪廓曲線沿著能量最小化方向運動.運用變分法［3］最小化能量函數得到的輪廓曲線的演化方程，可以看作是力平衡方程，即在內力和外力作用下，輪廓向目標邊界處演化直到內外力達到平衡狀態，其中外力起主導作用.

梯度向量流(GVF)方法［4］通過擴散方程擴大了外力場的捕獲范圍，增強了克服噪聲以及收斂到凹形邊界的能力，但在邊界處外力的幅度較大，遠離邊界處外力的幅度逐漸減小直到為0，這阻礙了輪廓曲線收斂到深凹形邊界.法向梯度向量流(NGVF)方法［5］和偏向法向梯度向量流(NBGVF)方法［6］在提取凹形邊界方面取得很大進展.通過向量場的各向異性擴散，NBGVF 方法在向邊緣切方向擴散的同時偏向邊緣法方向擴散，有助于保護邊緣和使輪廓曲線收斂到凹形邊界.然而，對于復雜的凹形邊界，邊緣的法線方向因擴散而導致外力相互影響，不可避免地出現沖突的部分，從而導致“平衡點”［7-9］問題.同時，輪廓曲線若在演化時過早收斂，則無法收斂到復雜凹形邊界.

向量場卷積向量流(VFC)方法［10］通過定義的向量場核函數與圖像的邊緣映射做卷積得到向量場卷積外部力，不但保持了GVF 方法捕獲范圍大、對噪聲不敏感的優點，而且和GVF 方法相比，VFC 方法中定義的核函數因采用卷積運算而極大地提高了生成VFC 向量場的效率.但對于復雜的深凹形邊界，邊界各點處產生的外力相互作用，特別是復雜凹形邊界產生的力被其他邊界產生的力抵消或淹沒時，會出現“平衡點”［7-9］問題，使得輪廓曲線停留在不理想的位置.

靜磁場活動輪廓(MAC)模型［7］中目標邊界先由邊緣檢測算子大致檢測出來，然后把邊界看作電流，由電流產生磁場，將輪廓曲線上的點看作是帶電粒子，粒子在磁場中運動，并在磁場力作用下被吸引到邊界.靜磁場是基于物理模型提出的動態力場，會隨著輪廓曲線的變化而變化.因此，MAC 方法可以提取到復雜的幾何形狀邊界，但提取的目標邊界精度依賴于邊緣檢測算子，且在演化過程中曲線采用高維的水平集表示方式，容易因數值不穩定而提取到不相關的邊界.

為準確地提取到復雜的幾何形狀邊界(尤其是復雜的凹形邊界)，文中提出了一種新的向量場活動輪廓模型.

1 新的基于向量場的活動輪廓模型

基于NGVF 和NBGVF 方法的法向插值思想，文中利用輪廓曲線的法線方向建立輪廓曲線樣本點到目標邊界點的一個映射，進而生成多階段的向量場來提取復雜的凹形邊界.首先，基于輪廓曲線的法線方向，建立輪廓曲線樣本點與目標邊界點之間的映射.然后，由該映射產生的向量場與傳統向量場加權平均得到新的向量場，輪廓曲線在該向量場中演化到收斂狀態.最后，判斷處于收斂狀態的輪廓點是否全部位于邊界特征點.若全部收斂到目標邊界特征點，則完成目標邊界的提取;否則，未收斂到目標邊界的輪廓點繼續重復以上步驟，直到提取到全部的目標邊界點為止.

1.1 輪廓曲線樣本點到目標點之間的映射

參數化的輪廓閉曲線C 通常由離散點表示為

式中，c(0)=c(P)，P 為輪廓曲線上點的總個數.基于相鄰輪廓點的距離，輪廓點可以通過插值或刪減方法自適應地增加或減少.為更好地刻畫邊界點特征，文中用Harris 矩陣［11］來描述目標邊界點.原始的用于檢測孤立角點的Harris 矩陣定義為

對Rlogmax進行二值化處理后，若輪廓點處的Rlogmax=1，則該點被認為是邊界特征點;反之，則不是.

設輪廓曲線C 上任一點c(i)在輪廓的內法線方向為Ni，若初始輪廓在目標邊界的外部，則可按內法線方向搜索目標特征點.由于圖像的邊界點和角點由Rlogmax很好地刻畫，按內法線方向可搜索到Rlogmax非0 的特征點(即對應的一個目標邊界特征點B(i))，因此，活動輪廓點與目標邊界特征點之間的映射為

1.2 多階段向量場

通過輪廓的法線方向建立映射時，輪廓曲線的高曲率部分的法線可能產生交叉，所以要盡量避免這種情形的發生，使初始化的輪廓曲線光滑.若輪廓點c(i)和c(j)的法線相交于點k，則重新定義映射為

基于該映射，輪廓上點c(i)按其法線方向Ni映射到點B(i)，這兩點確定一個向量l(i).l(i)的方向是輪廓在c(i)處的法線方向Ni，c(i)和B(i)之間的線段為l(i)，l(i)上每一點的方向也賦值為Ni.基于新定義的映射產生的向量場可以驅使活動輪廓向目標邊界移動，但在目標邊界處，由于沒有使得輪廓曲線停止在目標邊界處的作用力，故容易出現邊界泄露問題.當輪廓在目標邊界附近時，傳統的向量場可以準確地定位目標邊界.設Eext為外部能量，則有如下定義:

式中，Gσ1(x，y)是標準差為σ1(σ1通常設置為1)的高斯核函數(x，y)為圖像灰度.在邊界處，Eext較小;在圖像平坦區，Eext趨于0.

文中將基于映射產生的向量場v1和傳統向量場v2加權平均，得到一個新的向量場v(如圖1 所示):

圖1 v、v1 和v2 示意圖Fig.1 Schematic diagrams of v，v1 and v2

對標準化的Rlogmax進行二值化處理后，若輪廓點處的Rlogmax均為1，則說明輪廓點全部收斂到邊界特征點.收斂到特征點的精度可由收斂到邊界特征點數與輪廓點總數的比值給出.對于復雜幾何邊界，輪廓曲線在文中提出的向量場中演化到收斂狀態后不能完全收斂到目標邊界.于是根據輪廓點處的Rlogmax值可判斷出未收斂到目標邊界的輪廓點(其Rlogmax=0).對于這些點，按照上述方法建立新的映射和向量場，直到輪廓點處的Rlogmax均為1 或輪廓曲線在新的向量場中不再發生變化為止.

如圖2 所示，輪廓在采用文中方法生成的第一階段向量場中演化(圖2(b)中虛線)后，收斂曲線中大多數點停留在目標邊界處，另一些點因邊界的復雜性而未能捕獲到目標邊界.接著，采用文中方法生成第二階段向量場(如圖2(c)所示).未收斂的輪廓部分繼續向目標邊界演化(如圖2(d)所示)，收斂部分由于傳統的向量場作用停留在目標邊界處.經過兩個階段的向量場演化，復雜的目標邊界被準確地提取出來.

圖2 采用文中模型提取復雜凹形邊界的示意圖Fig.2 Schematic diagram of extracting complex concave boundary by using the proposed model

2 實驗結果

為了測試文中提出的基于向量場方法的有效性，采用文中方法與NBGVF、VFC、MAC 方法對合成圖像和真實的大腦腫瘤圖進行仿真，并比較其仿真結果.其中，式(2)和(7)均采用標準差為1 的高斯核函數，式(8)中的參數K 取為0.01.

2.1 合成圖像仿真

用一個帶有長20 像素、寬4 像素的凹形區域的圖像進行實驗，結果如圖3 所示.如圖3(b)所示，VFC 方法不能完全收斂到凹的區域，因為它缺乏足夠的驅使輪廓曲線向凹形區域演化的外部力.通過選取最佳參數，NBGVF 方法經過多次迭代后最終收斂到凹形邊界.MAC 方法采用高維的水平集方式進行演化，演化過程中曲面不光滑容易導致曲線(曲面的零水平集)拓撲發生變化，使得演化過程很難在圖中清楚顯示，最終的結果如圖3(d)所示.MAC方法雖然能夠收斂到凹形邊界，但提取到的目標邊界精度不夠好，而文中方法能更準確地收斂到圖像的凹形邊界(見圖3(a)).

圖3 收斂到凹形區域的實驗結果Fig.3 Experimental results of convergence to a concave region

對于復雜形狀的凹形邊界，NBGVF、VFC 方法分別通過各向異性擴散［12-14］和定義的核函數與邊緣映射f(f=-Eext)的卷積來增大捕獲區域，隨著捕獲范圍的擴大，不可預知的外力場沖突很容易在復雜的邊界附近產生.如圖4 所示，對于帶有復雜形狀幾何邊界的圖像，NBGVF 和VFC 方法均停止在不合理的位置，MAC 方法的提取精度不夠穩健且提取出雙邊界(見圖4(d))，因此需要做后續處理.

圖4 收斂到復雜凹形邊界的實驗結果Fig.4 Experimental results of convergence to a complex concave boundary

2.2 真實圖像仿真與量化比較

活動輪廓模型常被用于真實圖像邊界的提取，尤其是醫學圖像［15］.為了評估文中方法對提取的目標邊界的準確性，文中采用真實大腦腫瘤圖像(見圖5)進行測試.這些大腦腫瘤核磁共振成像(MRI)圖像由美國馬薩諸塞州總醫院形態分析中心提供(http:∥www.cma.mgh.harvard.edu/ibsr/)，其真實腫瘤目標邊界由專家組通過半自動分割方法得到，可用于量化分析;這些圖像的背景與腫瘤灰度對比度均不同，且腫瘤邊界復雜度也不同，具有代表性.在大腦腫瘤圖像仿真實驗中，用作比較的幾種方法均采用相同的閾值化預處理［9］，對圖5(c)所示真實大腦腫瘤圖像3 進行仿真，結果如圖6 所示.VFC 和NBGVF 方法沒有完全收斂到腫瘤邊界;MAC 方法成功地提取了腫瘤邊界，但因受到噪聲和演化曲面數值不穩定的影響而提取到一些無關的邊界;文中方法通過多個階段的演化能夠提取到復雜的邊界，從而使提取到的腫瘤邊界更精確.

圖5 真實的大腦腫瘤圖像Fig.5 Real brain tutor images

圖6 真實大腦腫瘤圖像的仿真結果Fig.6 Simulation results of a real brain tutor image

為進一步比較這幾種方法的分割效果，文中采用Tanimoto 度量(T)來量化這幾種方法的分割精度:

式中，Sc為提取到的目標邊界圍成的區域，Sg為真實腫瘤邊界圍成的區域，A(ScSg)為Sc與Sg的公共區域面積，A(ScSg)為Sc與Sg的總區域面積.

這幾種方法對圖5 所示真實大腦腫瘤圖像的分割精度如表1 所示.T 值越大，說明分割精度越高.表1 表明，文中提出的向量場方法具有較好的準確性與穩健性.相比于NBGVF、VFC 和MAC 方法，文中方法提取到的腫瘤邊界更精確.

表1 幾種方法的分割精度量化比較Table 1 Quantitative comparison of segmentation accuracy among several methods

3 結語

文中提出了基于多階段向量場的活動輪廓模型，該模型法可以提取到復雜凹形的目標邊界.合成及真實圖像的仿真實驗驗證了該方法在提取復雜凹形邊界的有效性，該方法同樣適用于真實圖像的目標邊界提取.

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