一種利用動態模量主曲線估算抗拉強度主曲線的方法①

王小英，尹欣梅，汪 越，黃 穎，周紅梅

(中國航天科技集團公司四院四十二所，襄陽 441003)

0 引言

目前，為獲得發動機中推進劑藥柱結構完整性分析所需的靜態力學參數，如應力松弛模量主曲線、抗拉強度主曲線等，需通過靜態大型材料試驗機來測定，費時且成本非常高。動態力學分析所需樣品量很小，測試成本和時間均大大低于靜態試驗，因而動態力學分析在推進劑中得到廣泛應用。為尋找動態力學與靜態之間的關系，廣大學者先后提出了一系列利用動態復模量求靜態應力松弛模量的近似轉換公式［1］。Husband利用動態力學分析確定出發動機服役壽命和力學性能退化程度［2］。Villeneuve等用動態力學和單軸拉伸力學分析研究了2種固體推進劑在高溫(60℃)加熱老化后的貯存性能，認為推進劑動態儲能模量和單向拉伸最大延伸率之間存在一定相關性［3］。張昊［4］曾詳細比較了兩類固體推進劑動態儲能模量主曲線與靜態應力松弛模量和最大抗拉強度主曲線的對應關系，認為動、靜模量主曲線存在一常數差關系。沈庭芳［5］指出，動、靜模量主曲線應相差關于加載時間的函數項，而非常數項。楊根［6］利用一維線性粘彈性理論中動態儲能模量與靜態應力松弛模量的關系，導出了一種計算固體推進劑修正應力松弛模量的數值方法。

綜合現有文獻可知，已有多種采用動態模量主曲線估算靜態應力松弛模量的方法，但利用動態模量主曲線估算抗拉強度主曲線的文獻目前還沒有報道，而抗拉強度主曲線是判斷發動機在給定載荷作用下推進劑能否滿足結構完整性要求的必需數據。因此，本文擬找出動態儲能模量(簡稱動態模量)主曲線、靜態應力松弛模量(簡稱靜態松弛模量)主曲線和抗拉強度主曲線三者之間關聯，并給出由動態模量主曲線估算抗拉強度主曲線的結果。

1 靜態與動態模量關系理論分析

固體推進劑屬于典型的粘彈性材料，根據一維線性粘彈性理論，動態儲能模量與靜態松弛模量具有如下理論關系［7］:

式中 E(t)為靜態應力松弛模量;ω為角頻率;E'(ω)為動態儲能模量;Ee為平衡模量。

測試動態模量主曲線時，實際測試頻率ω不可能達到無窮大，只能達到某個最大值ω'，因此式(2)變為

由于式(3)的無窮積分理論上是一個收斂函數，且通過DMA實測觀察多種推進劑E'(ω)·sinωt/ω函數隨頻率變化曲線，見圖1。將曲線部分放大，觀察該函數均為一逐漸衰減為零的函數，且基本上處于X軸以下，因此其與X軸圍成的面積為負值。這也說明文獻［6］依據E'(ω)曲線，通過數值積分得出有限頻率內的結果，但其舍棄了后面部分的積分。因此，通過計算得出的靜態模量大于實際值。

由于式(3)很難積分出，因此尋求近似轉換公式。沈庭芳［5］對某推進劑擬合得出動、靜態模量之間存在以下關系:

對式(4)進行轉化，得

即動、靜態模量相差一個關于時間t(實際計算時需加入移位因子的換算)的函數。對于不同的推進劑，函數的表現形式和取值應不同。

圖1 t=1 s時動態儲能模量主曲線Fig.1 Master curves of dynamic storage modulus at 1 s

2 實驗

實驗樣品為某高能固體推進劑，組成為PET/NG/TEGDN/RDX/AP/Al/TDI。

靜態力學性能采用Instron 4502材料試驗機測試;靜態松弛模量主曲線數據采集時間為2～1 000 s，測試溫度為－40～50℃;抗拉強度主曲線測試為恒溫、恒速拉伸，測試溫度為－60～70℃，拉伸速率為0.5～500 mm/min。

動態力學性能采用DMA2980動態熱力學分析儀測試，振動模式為強迫非共振，振幅15 μm，形變模式為單懸臂梁彎曲，樣品尺寸為3 mm×10 mm×30 mm，質量約2 g，恒溫頻率掃描，溫度范圍－50～65℃，頻率1～16 Hz。

3 實驗結果與分析

3.1 動態儲能模量與靜態松弛模量主曲線的關系

將動態儲能模量與靜態松弛模量主曲線放入同一坐標系中進行比較，見圖2(左y軸、下x軸為動態模量坐標，右y軸、上x軸為靜態松弛模量坐標)。由圖2可見，動、靜模量差異并非一常數。將兩者之差重新作圖，如圖3所示。由圖3可見，2條模量主曲線隨著頻率的增加初始增加較快，后期變化很小。將其進行曲線擬合，得 lgE'(ω)－ lgE(t)=0.48 －0.13 ×0.5lgt，作為一般情況，則

由式(6)可見，隨著時間t的增加，關于時間t的函數部分接近于0。因此，粗略計算時，動、靜模量主曲線主要相差一個常數，同時說明文獻［4］即是不考慮時間因素時的結果。

圖2 動態儲能模量、應力松弛模量主曲線Fig.2 Master curves of dynamic storage modulus and static relaxation modulus

圖3 動態儲能模量、應力松弛模量主曲線差值隨時間變化Fig.3 Diversity of dynamic and static modulusmaster curves against time

依據動態下相應頻率對應的儲能模量值和式(6)擬合應力松弛模量，擬合值與實際測試結果對比見圖4。由圖4可看出，由動態模量主曲線擬合出的靜態松弛主曲線基本一致。該結果進一步驗證說明動、靜模量差異并非為常數值，而是關于時間t的函數。

圖4 動態模量主曲線擬合靜態松弛主曲線Fig.4 Utilize dynamic modulus master curves simulate static master curves

同時，對比了動態與靜態水平位移因子αT，結果見圖5。由圖5可看出，動態儲能模量和應力松弛模量的αT值非常接近，說明同一溫度下靜態測試時間和動態測試頻率值基本相當，且動態和靜態力學性能應存在一定關聯。

圖5 不同溫度下的水平位移因子αT比較Fig.5 Comparison of horizontal shift factor αTin differente temperatures

3.2 抗拉強度的計算

高能固體推進劑是顆粒填充粘彈性材料，初始存在很多空洞和缺陷。因此，應用適合該類材料的Griffith方程，建立材料抗拉強度與模量、裂紋的關系式:

式中 γ為材料表面能;c為裂紋半徑;E為彈性模量。

對同一推進劑配方，γ與c基本相同，因此σ∝E1/2，故推進劑在不同溫度、拉速下的抗拉強度之比應和相應的模量(時間t函數)均方根比相對應。由于材料的模量和強度均與環境溫度有關，因此抗拉強度需乘以溫度折算量 Ts/T［8］，故得

將式(6)代入式(8)，得

式(9)表示，在一定溫度范圍內，若已知推進劑在某一參考溫度Ts下的動態力學性能和某一加載速率下的強度σ，由式(9)可計算其再任意溫度和加載速率下的抗拉強度，從而作出抗拉強度主曲線圖。具體計算方法和步驟:

(1)首先給出某推進劑樣品動、靜模量主曲線，得出兩者關系，即求 a、b、c的值，粗略計算也可只求 a值，關于t的函數值為0。

(2)根據拉伸速度v，求頻率ω。根據圖5，可假設試樣動態角頻率ω與相應溫度下的試樣靜態拉伸時的應變速率R相等，則R=v/l，式中l為試樣長度，再加上動態水平位移因子即可。

(3)根據角頻率，從動態儲能模量主曲線中求出參考溫度下lgE'(ω1)值。

(4)將lgE'(ω1)及相應參數值代入式(9)，求出推進劑在任意溫度和拉伸速度下的強度值。

(5)以強度對數值為縱坐標，頻率對數值為橫坐標，作出主曲線圖。

算例:已知某高能固體推進劑20℃、100 mm/min的拉速下強度為0.82 MPa，根據公式估算出其在各個不同溫度不同拉伸速率下強度值(限于篇幅，只列出0℃不同拉速下的擬合值，主曲線要求的應力乘以溫度折算量的結果也同時列出，見表1)，最終主曲線結果見圖6。

表1 利用推進劑動態模量主曲線擬合0℃不同拉伸速度下應力值Table 1 Unitilize dynamic modulus master curves simulate static master curves of different pull speeds under 0℃

圖6 利用動態模量主曲線擬合抗拉強度主曲線Fig.6 Utilize dynamic modulus master curves simulate tensile strength master curves

本例中動態主曲線測試頻率最低為0.2 rad/s，測試溫度范圍也小于抗拉強度主曲線的測試。因此，利用動態模量擬合得出的抗拉強度主曲線值域范圍小于實測值，但在測試范圍內擬合值和實測值基本相同。

3.3 抗拉強度主曲線的應用

由動態模量主曲線估算出的抗拉強度主曲線，不僅可用于常規力學結構完整性分析，還可用于發動機點火階段完整性評估。眾所周知，發動機在點火過程中內部壓強迅速升高，推進劑藥柱將受到較大沖擊力，相當于受極快速拉伸載荷(一般大于10 000 mm/min)。在該條件下，推進劑的準靜態快速拉伸試驗目前是無法完成的，此時即可借助于動態測試法。因為動態主曲線是一條頻率譜，因此可得到寬頻率范圍的動態性能。

根據動態性能與靜態抗拉強度主曲線的對應關系，即可確定出藥柱是否具備承受點火高頻沖擊的力學性能。例如，某固體推進劑在低溫－40℃下點火，點火時間為0.1 s，則相當于點火瞬間應變頻率為10 Hz。根據該頻率值，由圖6可得此時推進劑抗拉強度對數值為0.58 MPa(去掉對數為3.8 MPa)，若發動機藥柱完整性理論計算結果低于該值，則推進劑藥柱滿足結構完整性要求;反之，發生破壞。

另外，從服役發動機中僅取少許樣品測試動態模量主曲線，根據動態模量主曲線估算出抗拉強度主曲線，還可用于考察推進劑藥柱綜合老化性能。

4 結論

(1)通過理論分析，動態和應力松弛模量主曲線應存在一定的關系，通過實驗驗證，得出動態儲能模量與應力松弛模量相差一個關于時間的函數。對于不同的推進劑，函數的表現形式和取值不同。

(2)依據某高能固體推進劑動、靜模量主曲線關系，由動態模量主曲線擬合出靜態模量主曲線，并與實測值比較，結果較接近，說明所建函數關系有效。

(4)利用動態模量主曲線計算出的抗拉強度主曲線，可方便確定出推進劑藥柱是否具備承受點火沖擊的力學性能，以滿足結構完整性要求。

［1］趙伯華，沈庭芳，沈月萍.動態力學實驗診斷應力松弛模量的研究［J］.北京理工大學學報，1995，15(3):339-343.

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［3］Villeneuve S，Lessard P.Correlation of tensile and dynamic mechanical analysis results in ageing studies of rocket propellants［C］//25 th ICT，Karlsruhe，1994.

［4］張昊，龐愛民，彭松.固體推進劑貯存壽命非破壞性評估方法(II)——動態力學性能主曲線監測法［J］.固體火箭技術，2006，29(3):190-194.

［5］沈庭芳，高鳴，趙伯華.應力松弛模量與復模量轉換計算的工程方法［J］.兵工學報，1995(3):40-44.

［6］楊根，彭松，張峰濤，等.固體推進劑動態儲能模量主曲線計算應力松弛模量研究.推進技術，2010，31(5):581-586.

［7］楊挺青，羅文波，徐平，等.黏彈性理論與應用［M］.北京:科學出版社，2004.

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