初中數學課堂拓展提升的若干對策

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(城南中學 浙江江山 324100) (蓮都區花園中學 浙江麗水 323000)

初中數學課堂拓展提升的若干對策

●范達江●劉新華

(城南中學 浙江江山 324100) (蓮都區花園中學 浙江麗水 323000)

數學教學的實施是理解教材、用好教材的過程，通過教材的學習來達成相關的教學目標.教材是重要知識點的簡約化，往往言簡意賅，有的限于篇幅，相關的一些內容、方法并沒有一一列舉，常常導致學生產生困惑.教師要充當教材與學生聯系的橋梁，要認真解讀、深度理解教材，挖掘教材中隱性的知識、思想、方法，科學高效地實施拓展提升，借以彌補教材的局限性，充分發揮教材應有的功能，提升教師解讀、處理教材的能力和水平.那么常見的拓展提升策略有哪些呢？

1 拓展提升的策略

拓展提升的實施有利于教師、學生的發展，有利于教材功能的充分發揮，然而課堂中如何實施拓展提升？筆者將結合教學實踐中的案例，從新舊知識的比較、變式教學、跨學科的綜合、數學學習中的錯誤分析、聯系生活實際等5個方面談談拓展提升之若干策略.

1.1 在新舊知識的比較中拓展提升

學習新知識時，常將新知識與相關的舊知識進行對照和比較，從而達到對新知識的掌握.這就是數學學習中的類比遷移.

案例1在上浙教版九年級上冊第1.2節“反比例函數的圖像與性質”這一課時，課前筆者出示如下問題：

(1)下列函數分別叫什么函數？你能畫出它們的圖像嗎?

(2)一次函數的一般形式是什么？反比例函數的一般形式是什么?

(3)前面我們是怎樣研究一次函數的圖像和性質的？研究的方法是什么？研究的內容是什么？可以用同樣的方法來研究反比例函數的圖像和性質嗎？

設計意圖問題(1)是創設情境，讓學生去思考、比較新舊知識，面對新知識:反比例函數圖像，學生立即陷入思維盲點，產生認知沖突，激起學生強烈的求知欲.問題(2)是讓學生從函數解析式來比較新舊知識，為下一步進行類比研究它們的圖像和性質作好鋪墊.問題(3)是通過學生回憶、思考一次函數的圖像和性質，使學生類比得到反比例函數圖像和性質的研究方法，讓學生感到學習新知識與學習舊知識同出一轍.

這樣的問題設計，基于學生已有的知識經驗，做好學前的先行組織，把學習舊知識的方法自然流暢地遷移到學習新知識中來，符合學生的認知規律.

在完成反比例函數圖像和性質的探究后，再出示問題：比較一次函數與反比例函數的圖像和性質，你發現它們有什么異同點？從畫法、形狀、性質等方面引導學生合作交流，然后師生互動、共同歸納出它們的異同點.

點評通過對該問題的思考，學生對新舊知識的進一步比較，深化對反比例函數的圖像和性質的理解和掌握.這樣的拓展，更側重于學生學習能力、數學思想的培養.

1.2 在變式教學中拓展提升

通過對例題、習題的變式訓練，提升學生的開放意識和發散思維.

圖1

案例2浙教版八年級上冊教材第47頁作業題第2題：如圖1，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC，則△ABP≌△PDC.試說明理由.

教學中，筆者對該題作如下變式：

1.如圖2，點E是線段BC的中點，分別以B,C為直角頂點的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同側.

(1)AE和ED的數量關系為______，AE和ED的位置關系為______；

(2)在圖3中，△EGF是△EAB經過相似變換得到，相似比是1∶2，H是EC的中點.求證：GH=HD，GH⊥HD.

(2012年河北省數學中考試題)

2.如圖4，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的3條直線a,b,c上，且a和b之間的距離為2，b和c之間的距離為3，則AC的長是______.

圖4 圖5

3.如圖5，在矩形ABCD中，AB=2AD,E為AD的中點，EF⊥EC交AB于點F，聯結FC.

(1)求證：△AEF∽△DCE;

(2)求tan∠ECF的值.

(2012年四川省南充市數學中考試題)

圖6

(2011年四川省內江市數學中考試題)

點評變式1是變換背景，把原題的條件強化，再作等價變換重新回到原題的“K”字形特征中，幾何模型為全等三角形；變式2抓住“K”字形的特征，利用條件，添加輔助線，構造“K”字形；變式3弱化條件，豐富“K”字形的特征，幾何模型由全等三角形變成相似三角形；變式4是繼續弱化條件，把“K”字形特征變成一般情形，幾何模型仍是相似三角形.

從變式1至變式4始終體現“K”字形解決問題，“K”字形的結構以及所用幾何模型由簡單到復雜，從特殊到一般，由2個全等直角三角形到2個相似三角形，最后變成2個普通三角形相似，問題所用背景也逐步由簡單到復雜，知識點的橫、縱向的聯系逐步加強.整個教學設計中特殊到一般、轉化的數學思想得到了充分體現，教學問題梯度明顯，層次分明，學生思維訓練呈螺旋式上升.

1.3 在跨學科知識的綜合中拓展提升

發揮數學基礎學科的作用，與橫向學科的聯系，實現跨學科的綜合.

圖7

案例3在復習一次函數及其圖像時，教師出示一道科學題：如圖7，畫出質量相等的甲、乙2種固態物質在相同熱源時溫度隨時間變化的圖像，根據圖像分析下面說法，正確的是：

A.甲、乙在熔化時吸熱相等

B.甲、乙的熔點相同

C．甲、乙在固態時升高相同的溫度，甲吸熱多

D．甲、乙在液態時升高相同的溫度，甲吸熱多

點評該題是筆者所任教學校九年級2013年5月的一個中考模擬題.據科學教師反映，該題的得分率很低，主要是學生看不懂函數圖像.該題雖是一道科學題，其實用到的都是數學知識，只要學生結合函數圖像認真讀題，并思考解決如下問題：你能講出甲、乙圖像中的3段分別表示什么物質狀態?圖像中直線傾斜角正切的大小與比熱的大小有關系嗎?有怎樣的關系？物質吸熱的大小與哪些量有關?公式能寫出來嗎？在本題中，物質吸熱與比熱成什么函數關系？通過學生獨立思考，合作交流，師生互動交流，許多學生很快就得出答案是D.課后，許多學生感覺到科學題放在數學課堂上會很輕松.原因何在呢？主要是因為用數學的視角審視科學問題，自覺地運用數學知識以及數形結合、分類討論、轉化、方程、函數等思想方法解決科學問題，讓數學與科學學科之間的聯系更為緊密，數學與科學之間達到你中有我、我中有你的融合局面，顯然會讓我們的學習事半功倍.

1.4 在數學學習的錯誤分析中拓展提升

課堂中學生出現這樣或那樣的錯誤是正常的，教師要善于把它當作一種教學資源來挖掘.

(1)從學生的錯誤開始分析，追根溯源，找到錯誤癥結所在，暴露學生錯誤的思維過程.

案例4某工廠在生產某產品時，產品的累計產量與月份x滿足y=ax2+bx的函數關系，已知1月份的產量為3萬噸，2月份的產量為5萬噸.

(1)求該函數解析式;

(2)問3月份的產量是多少萬噸？

大多數學生都把x=1,y=3和x=2,y=5分別代入解析式，然后求出a和b的值，直接把x=3代入解析式得到的值即當作3月份的產量.當教師指出學生的解法錯誤時，許多學生再次仔細檢查原方程組的解，并堅持他們的解法是對的，然后筆者要求學生認真再次讀題，強調題中的關鍵詞“累計”，這時一部分學生馬上知道自己的錯誤了，趁熱打鐵，教師馬上讓學生互相交流錯誤的癥結之所在，最后學生們才“心悅誠服”.

點評不怕學生的錯誤，給學生以空間，讓學生錯誤的思維過程能得到暴露，讓學生自己去審題，自己發現錯誤思維的癥結，是標本兼治的極好的糾錯方式.

(2)分析學生的錯誤方法,得出用錯誤方法可以做的新問題.

案例5在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則BC的長等于多少？

點評這樣的拓展，讓學生明確在學習數學時一定要知其然，更要知其所以然，不能只知大概，就生搬硬套，而要真正從數學的本質上去把握.

(3)采取類比改編習題，嘗試訓練糾錯的方式，通過若干同類問題的解答，達到糾錯之目的.

教師可從學生的錯誤中得到啟發，進行辨析、比較，從而產生新的方法、最佳的方法或新的注意點等，這也是獲取拓展提升時機的重要方式.

案例6如圖8，已知AB=AC,∠EAB=∠DAC，∠C=∠B，請說明AD=AE.

解答該題時，許多學生在證明△EAC≌△DAB時，把∠EAB=∠DAC這個條件直接作為角相等的條件，對于初學幾何的人來說這種錯誤較為普遍，屢教不改，實在讓人頭疼.教師采取類比改編習題、嘗試訓練的方式出了以下幾道題：

1.如圖8，已知AE=AD,EC=BD,∠E=∠D,請說明∠EAB=∠DAC;

2.如圖9，已知AB=DE,BC=EF,AF=DC，則∠EFD=∠BCA,請說明理由;

3.如圖10，D,F是線段BC上的2個點，AB=CE，AF=DE，BF=CD,請說明△ABF≌△ECD.

圖8 圖9 圖10

點評這些題目都有共同的特點，不能直接用作全等的條件,經過等式的性質變化后，可以使全等三角形的對應邊或對應角相等.通過這樣的類比訓練，自然讓學生明白了錯誤的原因，從而大大減少了學生的出錯率.面對錯誤，重要的是采取積極的態度，站在一個新的角度對其進行整理，設計類似的練習，將有很好的糾錯效果.把學習錯誤改變為學生糾錯訓練的方法，不僅糾正了學生的學習錯誤，而且拓展了課堂教學資源.

1.5 在聯系生活實際中拓展提升

數學來源于生活而又服務于生活，我們的身邊處處有數學.

案例7隨著人們經濟收入的不斷提高及汽車產業的快速發展，汽車已越來越多地進入普通家庭，成為居民消費新的增長點.據交通部門統計，2010年底衢州城區小汽車擁有量為40 000輛，而截止到2012年，全市的汽車擁有量已達48 400輛.

(1)求2010年底至2012年底衢州市汽車擁有量的年增長率.

(2)為了保護環境，緩解汽車擁堵狀況，從2013年起，衢州市交通部門擬控制汽車總量，要求到2014年底全市汽車擁有量不超過62 004輛；另據統計，衢州市從2013年起每年報廢的汽車數量是上年底汽車擁有量的10%.假定在這種情況下每年新增汽車數量相同，請你計算出衢州市每年新增汽車數量最多不能超過多少輛.

點評該題是一道學生身邊的較為實用的題，它讓學生感覺到數學與生活實際是密切相關的.解答該題需用到方程、不等式等數學模型，學生只有具備較強的數學建模能力，才能順利解決問題.在聯系生活實際中拓展，讓學生感覺到數學來源于實際生活，而又服務于實際生活，提升學生用數學的意識.

2 小結

實踐證明：拓展提升是構建高效課堂的重要抓手.課堂上科學地實施拓展提升，尊重知識的發生發展規律，尊重學生的身心發展規律和認知發展規律，相信我們的數學課堂會富有內涵，富有數學味.

教學中實施拓展提升，學習數學由課內向課外延伸，開闊學生的知識視野，拓寬學生的思路，讓學生在探求知識的過程中培養創造意識和實踐能力.把課堂與實際生活、橫向學科結合起來，突出數學的基礎地位和培養學生用數學的意識.對于數學教材的多角度適度拓展、變式，可以開發學生智力，加深學生對知識的理解，增強學生探究的熱情和興趣，培養學生發散性思維和開放性意識，提升學生的問題意識和解決問題的能力.

[1] 教育部.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011：8-10.

[2] 楊光偉.中學數學教學案例教學論[M].杭州：浙江教育出版社，2004.

[3] 周立志.巧用課堂中的典型錯誤提升課堂效率的若干策略[J].中學教研(數學)，2013(4)：9-11.

[4] 鄒振興.一道錯題引發的一段心路歷程[J].中學數學教學參考，2013(3)：72.