張 軍
(江蘇省鎮江市丹徒區教育局教研室,江蘇 鎮江 212001)
伽利略對變速運動問題研究時,堅信自然界的規律是簡潔明了的.他從這個信念出發,猜想落體一定是一種最簡單的變速運動,而最簡單的變速運動,它的速度應該是均勻變化的.但是,速度的變化怎樣才算“均勻”呢?他考慮了兩種可能;一種是速度的變化對時間來說是均勻的,即v與t成正比,另一種是速度的變化對位移來說是均勻的,即v與x成正比.后來發現,如果v與x成正比,將會推導出十分復雜的結論.所以,伽利略開始以實驗來檢驗v與t成正比的猜想是否是真實的…….
以上文字是人教版高中物理必修1第2章第6節——“伽利略對自由落體運動的研究”中一些內容.伽利略指出:如果v與x成正比,將會推導出十分復雜的結論.那么,十分復雜的結論究竟是什么呢?
設某一物體做速度的變化對位移是均勻的運動.則(1)物體的位移如何隨時間變化?(2)物體的速度如何隨時間變化?(3)此物體受力的特點如何?
解析:(1)由題意可得,v與x成正比,寫成等式
積分可得
將t=0時,x=x0代入得c2=x0,所以物體的位移隨時間變化的表達式為
(2)對(1)式進行求導
其中v0=kx0是t=0時物體的速度,物體的速度隨時間變化的表達式為
(3)由v=kx得
即物體所受合外力與物體的速度成正比.
由(2)式得物體所受力隨時間變化的表達式為
由(4)式可知t=0時物體所受力F0=kmv0.因為(3)式可知物體所受合外力與物體的速度成正比,如果t=0時物體的初速度為v0=0,則F0=0,導致加速度a0=0,物體就不能運動,所以t=0時,初速度和初位移都不能為0,這時加一合外力與物體的速度成正比,這樣物體就做“速度的變化對位移是均勻的”運動了.
(1)物體所受合外力的大小與物體的速度成正比,方向和速度方向一致.
日常生活中很難見到物體所受合外力與物體的速度成正比的動力,現舉一例.
例1.一汽車額定功率為100kW,質量為5000kg,設汽車的功率與速度之間的關系為P=62.5v2,阻力不計.求:
①汽車保持這樣功率與速度關系運動所能達到的速度;
② 上述過程中汽車所做的功;
③ 汽車保持這樣功率與速度關系運動的距離.
解析:① 將P=100kW代入P=62.5v2,得維持P=62.5v2所達到的最大速度v=40m/s.
② 忽略汽車啟動的速度,即取v0=0,則由v0=kx0得,啟動的位移x0=0.汽車所做的功
③ 由P=62.5v2,P=Fv得F=62.5v,即物體所受合外力與物體的速度成正比.
再由牛頓第二定律得
當然,應用理論推導中得到的公式(1)或(2),還可以求出上述過程所經過的時間.
(2)物體所受力的大小與物體的速度成正比,方向和速度方向相反.
物體所受力的大小與物體的速度成正比的阻力,這類例子較多,如① 一小球在以一初速度在水平光滑的平面上運動,設所受阻力滿足F=-kv;② 一小球以一初速度豎直進入某油液中,設小球的密度與油液密度相等,所受阻力滿足F=-kv;③ 一金屬棒垂直水平導軌放置,以一初速度做切割磁感線運動,所受的安培力也滿足F=-kv.
下面以金屬棒受安培力為例舉一例說明.
圖1
例2.如圖1所示,水平光滑的平行金屬導軌,左端接有電阻R,勻強磁場B豎直向下分布在導軌所在的空間內,質量一定的金屬棒PQ垂直導軌放置.今使棒以一定的初速度v0向右運動,當其通過位置a、b時,速度分別為va、vb,到位置c時棒剛好靜止.設導軌與棒的電阻均不計,a、b與b、c的間距相等,則金屬棒在由a→b和b→c的兩個過程中
(A)棒都做勻減速運動,且加速度相等.
(B)通過棒截面的電荷量相等.
(C)回路中產生的電能Eab=3Ebc.
(D)棒通過a、b兩位置時va>2vb.
解析:對于(A)、(B)兩選項,由于學生平時練的較多,容易判斷出(A)錯、(B)對,這里就不做解答.
對于(C)、(D)兩選項,就要具體算一下了.對棒進行受力分析,由牛頓第二定律得
即v與x成正比.同理可得
由能量轉化與守恒定律得,由a→b和b→c的兩個過程中,回路中產生的電能Eab=3Ebc.可得選項(C)正確、(D)錯誤.
拓展分析:
即速度隨時間做指數衰減.圖像如圖2所示.由
解得
即位移隨時間變化關系,圖像如圖3所示.
圖2
圖3
由(4)式可求出最大位移