數學應用題的心理表征研究*

喬志勇，戴斌榮

(1.天津師范大學 教育科學學院，天津 300387；2.鹽城師范學院，江蘇 鹽城 224051)

近年來，數學應用題的問題解決備受認知心理學研究者關注。數學應用題(mathematical word problems)指求解過程中須從陌生情境中辨別舍棄非本質要素，并理解分析題中邏輯數量關系的一類有實際意義背景的數學問題[1]。數學應用題是基礎教育中數學教學的重點部分，也是很多學生學習的難點。

數學應用題依語義關系可分為三類。(1)組合問題：題中一個數量是固定不變的，解題者對數量進行合并或分解。如：甲有3面小紅旗，乙有2面。問兩人共有多少面小紅旗？(2)變換問題：該類問題描述事物數量屬性的增減變化。如：甲有3面小紅旗，乙送給甲2面。問甲現在有多少面小紅旗？(3)比較問題：要求比較兩個不變量的大小。如：甲有3面小紅旗，乙比甲多2面。乙有多少面小紅旗？[2]雖然三種類型的題目邏輯數量關系相同，可以采用相同的算式(3+2=5)，但語義結構變化，難度就會變化。比較問題比前兩類問題更容易出現錯誤，同時也說明能否準確地對問題進行心理表征是問題得以解決的關鍵。

何小亞綜合多種理論，總結得出解決數學問題通常使用的步驟，分別是意識存在的問題、問題表征、決定問題解決策略和實施問題解決的方法、評價和反思四個階段[3]。心理學家Simon認為問題表征是問題解決的中心環節，良好的問題表征是問題得以順利解決的重要條件之一。問題表征是否準確極大地影響著問題解決的難易程度。

綜合大量數學應用題表征研究，有關的研究方法眾多，同時，學者們通過對該領域近30年的探究，提出許多有價值的理論模型。為加深對該領域研究的認識和理解，本文通過對數學應用題的心理表征研究的回顧，總結當前研究主要使用的研究方法技術，揭示心理表征影響因素，介紹心理表征理論模型，并指出未來研究應注意的方面。

一、數學應用題的心理表征研究的方法技術

數學應用題的解決是一種思維過程，主要在頭腦內部操作，但是會反映在外部的行為或語言上，可以采用多種方法搜集解題過程中的不同數據進行探究，研究方法包括口語報告法、計算機模型法、眼動實驗法、臨床觀察法和微觀發生法。

口語報告法又稱出聲思維(Thinking aloud)。隨著音像設備和電腦技術的不斷發展，口語報告法逐漸成為心理學和教育學界中較為常用的研究方法之一。此方法受時空限制較少，可以用于成人或兒童的問題表征研究，但也存有一定的缺陷，解題者的思維可能會受到語言的干擾，有些問題并不適合以語言的方式表征，被試在報告的過程中容易將真實的表征形式轉化為語言形式。此外事后提問具有延時性，因此無法同步反映解題者的心理過程。

計算機模型法是以經驗性研究為基礎，構造出解題者解題的計算機模型。根據模型做出的預測與實際觀測的吻合程度決定模型的合理程度。具體的思路如下：分析解題過程中包含的認知加工成分，建立模型，然后優化模型，研究者根據減去某成分是否影響最后的解題表現來確定該成分的作用，直到形成模型。計算機模型包含兩種知識：一種是與數學應用題有關的語言知識；另一種是解題所需的算術知識，減掉任何數學方面的知識，都會導致計算機徹底不能解題。Cummins在行為研究之后構造出計算機模型，在模型中引入類似于語言理解上的錯誤，當減掉起連結作用的語言知識時，如“共有”“比……少”等，計算機成功模擬了問題解決者解題中出現的錯誤。直接證明了除計算因素外，不同語義結構也會影響問題的難度，語義因素導致了不同的問題表征形式進而影響到對問題的解決。

眼動實驗主要通過記錄問題表征過程的眼動指標，如注視時間、平均注視持續點持續時間、回視時間和回視次數等，幫助研究者分析出聲思維的加工過程，建構解題認知加工模型。該方法在一定程度上彌補了出聲思維的局限。馮虹等分析了解題過程中的眼動指標，結果發現，隨著年齡的增長，學生解題過程中的各種眼動指標之間的差異逐漸縮??；數學成績優生在表征“關鍵信息”時的眼動模式與差生之間差異顯著[4]。

臨床觀察法非常適用于年齡較小的被試群體，尤其適用于處于感知運算階段的兒童，由于兒童年齡小不容易控制，行為容易受到其他因素的干擾，對主試的要求比較高，且隨后的數據分析也存在一定的滯后性。實驗者通過觀察兒童行為分析兒童在問題解決中對問題的表征。實驗者要盡可能仔細觀察與記錄兒童的解題步驟或操作行為，必要的時候需借助錄像設備。兒童在解題過程中伸出5個左手指和3個右手指，逐一默數后給出答案。實驗中兒童運用手指構建數量集合，表明兒童是使用手指策略來表征應用題的。

微觀發生法是用于提供關于認知變化的精細信息的一種方法，適宜于研究某種心理能力、知識、策略等的形成過程，或階段的轉換機制。在整個變化發生過程中，通過高密度地觀察行為，進而收集與認知變化有關的精細信息，如路線、速率、廣度、來源和變化模式的多樣性等。該方法要求反復地觀察、記錄和分析被試認知策略或技能變化的所有動態。該方法有三個關鍵特征：(1)持續性，觀察從變化開始持續到相對穩定階段；(2)一致性，觀察密度與現象變化頻率保持高度一致；(3)反復性，反復試驗被觀察行為，分析過程中的質變和量變。該方法也有一定的缺點，為獲得抽樣行為的詳細數據，通常要單個測查，因此施行起來既復雜，又花費時間[5]。

二、數學應用題心理表征的影響因素

數學應用題的心理表征會受到內外兩方面因素影響，如環境變量、任務變量或問題自身、主體變量或解題者的特征。

環境變量。從外部環境的角度來講，噪音、光線、溫度和通風等客觀因素對問題心理表征有一定影響，但這些因素是通過影響有機體內部狀態，如知覺、注意、記憶和情緒發揮作用的。

任務變量。任務變量指問題本身的特點，如問題語言表述、視覺化程度、應用題類型的設計，題目的呈現方式等。

問題語言表述會影響問題表征，清晰簡潔的語言表述能促進問題解決者正確理解問題；而含混不清的語言表述使問題解決者出現表征錯誤。具體形象的語言表述與抽象的語言表述相比，問題解決者依據具體形象的語言表述更容易形成正確問題表征。邢強等研究文本表述和結構對小學生數學應用題表征的影響，結果發現概念性措辭問題和情境性措辭問題都促進了兒童解決數學應用題[6]。數學應用題內容的視覺化程度影響問題表征，進而決定問題解決，徐速的研究表明解決同等難度的應用題時，視覺依賴程度較低的應用題相對視覺依賴程度較高的應用題通過率要更高[7]。鄭琳娜考察了應用題類型(比較、比率、植樹和路程問題)與表征類型之間的關系，認為不同類型的應用題有相應的適宜表征[8]。蔡新華研究問題呈現方式與解答應用題的關系，發現問題呈現方式對解題有顯著影響[9]。

主體變量。在解決數學應用題時，解題者的知識經驗、認知風格和年級會直接影響問題表征。

個體的經驗直接影響檢驗有關任務的假設以及嘗試證偽該假設。問題專家與新手所掌握的知識經驗不同，則在問題表征上有差異。面對同一問題時，新手往往背離關于問題的假定條件；而專家能抓住關鍵的信息進行表征，從而解決問題。認知風格也影響問題表征。不同認知風格的人的信息加工方式不同，從而影響問題表征，鄧鑄、曾曉尤考察了不同認知風格學生對問題表征及表征轉換的影響[10]。被試的年級對問題表征也有影響，俞國良等的研究表明五、六年級學生在圖式表征策略使用上和解題正確率上都顯著高于四年級學生[11]。

三、問題表征的主要理論模型

心理表征在數學應用題解決中具有重要的作用。學者們從不同視角解釋數學應用題表征的內部機制，如Mayer和Kintsch的理論探討了問題表征的具體過程，Hegarty提出的直接轉換-問題模型表征理論和視覺-空間表征理論分別從表征的策略和方式角度對應用題表征進行解釋。我國學者在國外研究基礎上對問題表征予以拓展和深化，代表性的有鄧鑄的表征態理論模型和辛自強的關系-表征復雜模型。

(一)Mayer的問題表征結構理論

該理論的核心觀點是數學應用題解決的重要環節是問題表征而非解題計劃的執行。問題表征包含兩個部分：理解命題和識別題型。首先，應用題由四種命題組成：賦值命題，給變量賦以數值(如，“小明身高165cm”)；在賦值命題后添加關系命題，利用某種關系定義新變量(如，“他比小紅高15cm”)；針對未知新變量提出問句命題(如“小紅身高多少？”)；另外，在應用題中補充有關的事實情境命題。其次，是識別問題的類型。解題者在解題中需要對問題進行分類，從而獲得各種類型問題的圖式，識別問題中的數量關系類型。按語義關系數學應用題可歸為三類：組合問題、變換問題和比較問題[12]。

(二)Kintsch和Greeno的表征理論

該理論認為問題表征是雙重性的，一方面是表征命題性文本框架，數學應用題的實質是集合或多個集合的關系，要求解題者把語言表述轉化為命題性文本框架，即轉譯成集合與集合的關系；另一方面是建立表征問題模型，模型中保留文本框架中與解題有關的重要信息，刪除無關信息，補充解題者在知識結構基礎上從相關問題領域推理的信息。

問題表征被劃分成多個信息加工模塊，模塊間不一定遵循固定的順序：第一，把語言轉換成命題性文本框架；第二，表征特性與集合之間的關系圖式，構建宏觀結構問題模型；第三，表征數學運算的圖式，問題解決的計算環節會使用該步驟[13]。

(三)Hegarty的視覺-空間表征理論模型

Hegarty于1999年正式提出“視覺-空間表征”，包含圖像表征和圖式表征兩種類型。圖像表征運用視覺表象建構生動的視覺圖像，對問題情境中發生的人物和事件進行編碼，圖式表征運用空間表象構建事物的空間關系，并編碼空間的轉換[14]。

在數學問題解決的“視覺-空間表征”的最初研究中，多數研究者認為，解決數學問題時，視覺表征不僅能減輕工作記憶負荷，還能從整體上把握問題，使解題者能夠更直觀、清晰地理解問題結構的實質。但不是所有的“視覺-空間表征”策略都對問題解決起促進作用，其中的圖像表征可能是阻礙問題成功解決的。徐速研究中發現，圖式表征無論在非視覺化還是視覺化題目上都促進了問題解決，而圖像表征妨礙非視覺化題目的解決，但與視覺化題目的解決無關[7]。另外，Azizah. A等人在考察馬六甲學生的數學應用題視覺表征時發現，低于2%的學生在問題解決中使用圖像表征，多數學生使用圖式解決問題[15]。

(四)Hegarty的直接轉換-問題模型表征理論模型

該理論是Hegarty等人在成功問題解決者和不成功問題解決者的表征策略研究背景下提出的。研究者認為數學應用題心理表征存在兩種基本策略：直接轉換策略，面對數學應用題時，解題者傾向于先注視數字和關鍵字，并對兩者進行加工，該策略重在量的理解，即運算過程；問題模型策略與直接轉換策略不同，在進行數學應用題解決時，解題者試圖理解問題情境，根據表征的情境來制定解決計劃，該策略重在質的推理，即理清問題中條件之間的關系[16]。李向陽從跨文化的角度出發探討雙語學生在問題解決理解階段的差異，結果發現，使用母語的學生在解題中傾向于使用問題模型策略，而雙語學生傾向于運用直接轉換策略[17]。

(五)鄧鑄的表征態理論模型

鄧鑄在繼承和發展產生式問題解決理論的基礎上，結合生態學的觀點，提出問題解決的表征態理論。該理論模型認為表征是認知活動變化的動態過程，貫穿于整個問題解決過程。表征態就是在特定問題情境中，內部知識經驗和外部信息相互作用而形成的問題表征的相對穩定態，這一變化過程具有非線性的、連續的特征。在問題解決的過程中，問題解決者從問題的外部表征逐漸轉換到內部表征，解題者的狀態、知識經驗和從已知條件中有效提取信息的能力不同，導致對問題結構的理解程度不同[18]。該理論嘗試將個體因素和外部因素綜合起來解釋心理表征，但還缺乏系統詳細的闡釋。

(六)辛自強的關系-表征復雜理論模型

數學應用題的心理表征研究從未間斷，后來者對早期模型進行著補充和修正。早期研究者的理論中提出問題表征存在兩個關鍵因素：文本理解和關系識別，但對二者關系的闡述并不清晰。關系-復雜模型認為數學應用題表征困難首先是基于對應用題的理解，理清隱含在語言文字中的數理邏輯關系，是表征問題的關鍵所在。辛自強從問題的角度將關系復雜性區分為水平方向和垂直方向，并從問題解決者的角度依據問題的復雜性把問題表征分為廣度表征和深度表征，在整體上反映表征水平。

辛自強認為數學應用題的本質屬性是題目所涉及的集合關系的復雜性。從問題結構講，數學應用題由三個集合組成，已知兩個集合，求解第三個集合。這三個集合的關系被稱為集合的初級關系(一級關系)。若集合的集合與其他集合建立關系，就形成了在初級關系基礎上的次級關系，依次類推，可以形成更多層關系。這種通過關系的層級來界定問題的復雜性，被稱為關系的等級復雜性；問題中水平方向上的關系數量代表關系的水平復雜性。關系的等級復雜性和水平復雜性統稱為“關系復雜性”，用以說明問題難度的本質。問題的關系復雜性對解題者問題表征存在必然的影響。對應問題復雜性的“水平”和“等級”之分，問題表征也從兩方面衡量：表征廣度與表征深度。表征廣度指解題者表征同一層次上集合關系的數量；而表征深度指解題者能表征的關系的最高層次。表征廣度與表征深度統稱為“表征復雜性”，反映解題者表征的質量和水平[19]。

多位學者對該理論模型進行了驗證和應用。其中，辛自強基于該模型對矩形面積問題圖式的等級性進行研究，發現從解決問題所要求的表征復雜性、知識基礎兩方面能說明圖式等級性或模版(或問題類型圖式)難度級差的本質，進而驗證了模型的理論解釋效力[20]。張夏雨等基于該模型研究問題圖式的等級性，發現勾股定理問題圖式具有等級性，且可以從表征深度和知識基礎兩方面來解釋等級性的原因，但是這兩項因素的解釋作用需考慮問題解決者的已有水平；表征深度除用表征關系的最高層級數刻畫之外，還與每級關系的表征難度有關，突出表現為表征關系所需的推理水平[21]。張莉等認為在該模型指導下，對應用題任務復雜性進行事前分析的思路是合理的、有效的。他們還編制了難度序列變化的應用題測驗，以考察問題表征能力[22]。

四、總結與展望

從查閱的文獻來看，國外對數學應用題心理表征的研究成果豐富，學者們從不同層面提出理論模型。我國對問題表征的研究雖然起步較晚，但是發展較為迅速，現有研究主要集中于數學應用題表征的影響因素探究和問題表征的理論模型探索方面。

隨著數學應用題心理表征的研究逐步深入，對研究技術手段的要求也越來越高。在數學應用題心理表征研究方法技術上的進步更是有目共睹的，眼動實驗和計算機模擬等新方法對研究數學應用題心理表征具有重大意義。

未來針對數學應用題心理表征的研究，應注意以下幾方面：(1)在參與研究人員方面，問題表征作為當代認知科學的核心概念，使得越來越多的認知心理學家、數學家對其進行探討。但是還應當關注實際教學中的數學應用題表征，需要更多的教師，特別是一線任課老師參與到該問題的研究中來，更加清晰地了解數學應用題表征的特點及內在機制，以期應用既有的理論或提出新的系統的理論指導教學實踐活動。(2)在表征影響因素探索方面，目前問題解決的心理表征僅限于視覺輸入信息，對于聽覺信息的輸入的研究較少。另外，以往多數研究僅對心理表征的單個影響因素進行探究，缺乏對影響因素的交互作用研究，如環境變量和主體變量。(3)在理論模型方面，目前的理論模型主要是在問題的角度上探討影響個體認知的不同表征方式，沒有關于不同表征個體是如何認知的系統理論模型，例如問題解決主要涉及個體的哪些腦區或者認知神經系統，這就需要相關研究技術特別是ERP和fMRI的使用。(4)在學科研究領域方面，由于問題表征對問題解決有著重要的作用，對不同學科應有所啟發，可以將問題表征研究思路擴展到其他領域，如物理、化學，甚至音樂、體育等方面。

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