定數截尾試驗數據缺失的一些處理方法的探討

田霆

（華僑大學數學科學學院，福建 泉州 362021）

0 引言

在平時上課給工科學生講解 《概率論與數理統計》[1]（浙江大學版第四章第二節） “基于截尾樣本的最大似然估計”時，常常遇到學生提出在處理實際問題時，若遇到數據缺失問題，用常用的統計方法不能很好地解決，在實際應用中遇到此種問題該如何有效地處理。這就需要探討關于電子產品定數截尾試驗中遇到的數據缺失的一些處理方法。

可靠性是產品壽命指標的總稱，故產品的壽命指標又被稱為產品的可靠性指標，它反映了一個產品在規定時間內和規定條件下，完成規定功能的能力?，F在從一個電子元器件、一臺電視機到一臺設備、一個系統都在研究可靠性指標。隨著科學技術的發展，產品的可靠性愈來愈受到人們的重視。

為了弄清被試產品的壽命，求出各項可靠性指標，研究產品的失效機理，以便對提高產品可靠性提出建議，常常需要進行壽命試驗。因為只有暴露故障才能了解產品的壽命和失效原因。

壽命試驗按樣品的失效情況又分為兩類：

a）完全壽命試驗。這種試驗要進行到投試樣品全部失效為止。

b）截尾壽命試驗。這種試驗只是要求進行到投試樣品中有部分失效就停止。譬如有50%或70%投試樣品失效就中止的試驗就是截尾壽命試驗。截尾壽命試驗又可分為兩類：1）試驗到事先規定的時間τ就停止的試驗，這叫做定時截尾壽命試驗（或稱為Type-I截尾）；2）失效數達到規定的失效數r（＜n）就停止的試驗，這叫做定數截尾試驗（或稱為Type-II截尾）。

截尾現象對統計推斷產生了一些特殊的問題，其中某些問題現在還未解決，對Type-II截尾，大部分問題的解決都是直接的，其似然函數的性質以及與之相關的一些方法都是容易獲得的。Sarhan和Greenberg （1962）[2]， 以及 David （1970）[3]的著作中都討論了次序統計量的一些性質，給出了處理Type-II截尾數據的許多方法。關于其似然函數的一些漸近理論可以在與非截尾樣本基本相同的條件下建立起來 （如，Halperin（1952）；Johnson（1974））[4]。

1 問題的提出與部分解決方法

在用這些統計方法處理實際問題時，常會遇到數據缺失問題，譬如在產品壽命試驗中，由于試驗設備、觀測手段或有其他方面的困難造成某些試驗數據丟失或未觀測到的現象等。這樣我們得到的是“缺失數據”。若由于部分數據缺失就重做試驗一般是不值得的，有的甚至是不可能的。

如何對 “缺失數據”后的現有數據進行統計分析，是一個特殊的、有較大困難的問題。因此，尋找在缺失數據條件下對不完全數據的處理進行科學、有效的可靠性分析方法，現已成為可靠性分析的一個新的十分重要領域。

20世紀70年代對Multiple Type-II截尾樣本的統計方法開始有了研究，主要用圖估法和回歸方法。到90年代以后，研究成果有了較快的發展。Fel和Kong（1994）[5]提出了指數分布參數的區間估計， Fei和 Kong（1995）[6]，Balakrishnan，Gupta和panchpakesan（1995）[7]給出了Weibull和極值分布的MLE，AMLE，BLUE和BLIE，Kong和Fel（1996）[8]給出了MLE的漸近正態性的條件，這些條件對Weibull，Gamma，logistic分布等都適用。趙培東 （1999）[9]給出了對數正態分布恒加試驗的AMLE的解析表達式。shen和Fel（1999）[10]討論了兩個二參數指數分布位置參數有序約束的估計。

1.1 定數截尾 （缺失數據）指數分布的統計推斷

Multiple Type-II截尾 （或稱為帶有缺失的定數截尾或多重定截尾）樣本，在實際中經常遇到。例如：在壽命試驗中，對于機理或試驗的困難，有些樣品的失效時間無法觀察到。許多情況是不知道某些樣品的確切的失效時間，知道它們在某兩個觀察值之間。設n個產品進行壽命試驗，僅觀察到第r1， r2， …， rk個失效產品的失效時間： tr1，n≤tr2，n≤…， trk，n， 其中 1≤r1＜r2＜…＜rk≤n， 在它們之間失效的產品的確切時間未觀察到，這種樣本被稱為Multiple Type-II截尾樣本。最近十多年來有關此樣本的統計方法有了較多的研究結果，我參見部分國外論文[6，11-12]， 國內論文[13-14]只對 Multiple Type-II截尾指數分布的情況稍作了綜述，并對下一步需要研究的問題提出了一些看法。

1.1.1 單參數指數分布

單參數指數分布的概率密度函數：

分布函數：

為簡單起見， 令 ti=tri，ni=1， …k。

a）最好線性無偏估計 （BLUE）

指數分布次序統計量的期望和協方差：

和

r0=0，的方差為 Var （θ*） =θ2/K。

b）極大似然估計和近似極大似然估計

基于Multiple Type-II樣本的似然方程：

上述方程可用數值方法得到θ的極大似然估計。用文獻 [10]的方法，利用Taylor展開，得到：

2 結論

在本文中我所考慮的壽命分布都是指數分布。a）在實際的威布爾分布、伽瑪分布，以及對數正態分布中也應用廣泛。許多類型的產品，如：真空管、滾珠軸承、電器的絕緣材料，都廣泛地提倡用威布爾分布。伽瑪分布雖不及威布爾分布那樣常用，一定程度上是由于伽瑪分布的生存函數和危險函數不能以簡單的形式表達，因而用起來比威布爾分布困難。然而伽瑪分布的確能足以適合廣泛的壽命數據，并且一些失效過程模型還可導出伽瑪分布。對數正態分布在分析電器絕緣體的失效時間，研究吸煙者中肺癌的出現時間等應用廣泛。所以我們可以考慮這些壽命分布下截尾缺失數據的處理問題。b）上述有關理論只是部分學者在處理實際問題時用的一些方法，還有很多學者還有許多好的方法，當然由于很多原因沒有列出。

[1] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計 [M].（浙江大學第四版）.北京：高等教育出版社，2008.

[2] SARHAN A E， GREENBERG B G.Contributions to order statistics[M] .New York： John Wiley&Sons， 1962.

[3] DAVID H A.Order statistics[M].New York： John Wiley&Sons，1970.

[4] HALPERIN M.Maximum likelihood estimation in truncated samples[J] .Ann.Math.Stat.， 1952， 23： 226-238.

[5] FEI H，KONG F.Interval estimations for one-and two-parameter exponential distributions under multiple Type-II censoring[J].Commun Statist Theory and Meth，1994， 23：1717-1773.

[6] JOHNSON R A.Some optimality results for one and two sample procedures based on the smallest order statistics.In Reliability and Biometry， F.Proschan and R..J.Serfling[M].Eds.Philadephia， Pennsylvania： SIAM， 1974.

[7] BALAKRISHNAN N， GUPTA S S， PANCHAPAKESAN S.Estimation of the mean and standard deviation of the normal distribution based on multiply Type-II censored samples[M].J Ital statist Soc，1995.

[8] KONG F，FEI H.Limit theorems for the maximum likelihood estimate under general multiply type-II censoring[J].Ann Inst Statist Math， 1996， 48 （4）： 731-755.

[9] 趙培東.對數正態分布場合下恒定應力加速壽命試驗的多重Type-II截尾樣本的AMLE[D].上海：上海師范大學數學科學學院，1999.

[10] SHEN Y，FEI H.Estimating of order-restricted location parameters of two exponential distributions under multiple type-II censoring[J].Appl Math JCU， 1999， 14： 51-56

[11] BALN L J，ENGELHARDT M.Statistical analysis of reliability and life-testing models[M].New York：Theory and Methods， Marcel Dekker， 1991.

[12] FEI H，KONG F，TANG Y.Estimation for two-parameter Weibull distribution and extreme-value distribution under multiply Type-II censoring[J].Commun Statist Theory and Meth， 1995， 24： 2087-210.

[13] 田霆.定時截尾缺失數據下指數分布的統計推斷 [D].武漢：華中科技大學，2004.

[14] 田霆，劉次華.定數截尾下雙參數指數分布位置參數的統計推斷 [J].電子產品可靠性與環境試驗，2006，24（3）： 36-37.