采用電磁軸承控制柔性轉子臨界轉速分布的建模和仿真分析

方 鵬，蔣科堅

（浙江理工大學信息學院，杭州310018）

采用電磁軸承控制柔性轉子臨界轉速分布的建模和仿真分析

方 鵬，蔣科堅

（浙江理工大學信息學院，杭州310018）

提出了采用電磁軸承支承柔性轉子，通過支承特性的調節，改變柔性轉子的各階臨界轉速的分布位置，使柔性轉子順利實現超臨界運行。將電磁軸承支承特性建模融入到經典轉子動力學的柔性轉子有限元建模理論中去，構建了電磁軸承支承的柔性轉子系統模型進行仿真。仿真結果表明：通過調節電磁軸承的等效剛度，可以明顯改變柔性轉子平動和錐動兩個剛體臨界轉速，而對一階彎曲和二階彎曲兩個彎曲臨界轉速影響不大。調節等效阻尼可明顯減小轉子過臨界時的振動。

電磁軸承；柔性轉子；磁懸??；有限元；臨界轉速

0 引 言

旋轉機械是工程中常見的一類機械結構，在石油、化工、能源、電力、航空航天等諸多領域都是至關重要的關鍵組成設備。高速、高旋轉精度和輕量化是旋轉機械設計追求的目標，致使轉子系統由剛性轉子發展為柔性轉子設計。在轉子動力學中，一般認為在考慮轉子動力學設計時，如果轉子旋轉而造成的自身形變不能被忽略，該轉子可認為是柔性轉子。另一種定義，當轉子的運行速度超過其一階彎曲臨界轉速的70%，可認為是柔性轉子。由于柔性轉子的自身強度相對較低，運行時的形變和振動十分突出。

主動電磁軸承（active magnetic bearing，AMB，下文稱電磁軸承）用電磁力把轉子懸浮在固定位置，以得到與傳統機械軸承相類似的支承效果。電磁軸承不僅能提供轉子無接觸的懸浮支承力，更重要的是，電磁軸承可通過改變控制系統參數來調節其支承特性，從而實現對轉子振動的主動控制。在目前的轉子動力學研究中，有關機械軸承彈性支承的柔性轉子系統的研究已經頗具規模，基本上形成了完整的理論體系和分析方法。電磁軸承作為一種新的軸承技術，為轉子支承和改善轉子振動提出了新的研究內容。

在經典轉子動力學中，對柔性轉子系統動力學特性的分析方法主要有傳遞矩陣法和有限元法。傳遞矩陣法中階數不隨轉子系統自由度增大而增大，因而編程簡單，運算速度快，但傳遞矩陣法不易解決轉子系統的非線性問題。有限元法是被公認為比傳遞矩陣法更為精確的建模方法，但是，其計算矩陣的階數按轉子節點數量的增加而劇烈增長，計算復雜度較大。隨著計算機技術的迅猛發展，有限元法的計算瓶頸得到很大緩解，在近幾十年來已經成為柔性轉子系統動力學常用的分析工具。柔性轉子在不同轉速下表現出不同的模態振型，各個模態振型的轉速對應于柔性轉子的各階臨界轉速。轉子運行在臨界轉速時，會產生較大的轉子共振，嚴重影響了轉子高速運行的穩定性，甚至造成事故。因此，如何使轉子安全地跨越臨界以及超臨界運行，是柔性轉子動力學研究的主要問題之一。

柔性轉子作為轉子動力學的重要內容已有較長的研究歷史，國內外文獻較多。但是，有關電磁軸承支承的柔性轉子研究相對較少［1］。Arias等［2］為雙盤柔性轉子系統建立了有限元模型，每個單元視為歐拉梁結構，進行不平衡振動的計算和控制。Tseng等［3］提出以影響系數法計算不平衡量，以卡爾曼濾波器實現測量噪聲消除的轉子實時動平衡方案。李紅偉等［4］采用影響系數法和振型平衡法分別對轉子的剛性模態和前兩階撓性模態進行了本機動平衡。Kang等［5］采用基于影響系數法的自動平衡方法，其中不平衡質量修正用神經PD控制。Dyer［6］指出用影響系數法對柔性轉子振動進行控制，不可能通過在轉子上有限數量的位置（節點）施加電磁力的方法徹底消除整個轉子（連續的無限數量的節點）的振動。汪希平等［7］和周朝暾等［8］通過剛性轉子實驗發現利用電磁軸承剛度變化可以敏感地調節轉子的剛體臨界轉速。謝振宇等［9］通過柔性轉子實驗發現轉子的一階彎曲固有頻率值受電磁軸承控制參數變化影響很小。要使轉子的一階彎曲固有頻率避開工作轉速，只能通過改變轉子的本身尺寸來實現。Xu（徐旸）等［10］開展了基于電磁軸承的柔性轉子過彎曲臨界的實驗，完成了10 MW高溫氣冷堆發電機磁軸承實驗臺架的設計工作，轉子重3.5 t，長4.6 m。

本文提出采用電磁軸承支承柔性轉子，通過調節支承的剛度阻尼，改變柔性轉子各階臨界轉速的分布位置，從而使轉子的運行轉速始終避開臨界轉速，最終達到抑制振動的目的。為此，筆者將經典轉子動力學［11-12］中柔性轉子有限元建模理論與電磁軸承支承特性建模相結合，構建了電磁軸承支承的柔性轉子系統模型。通過仿真，分析電磁軸承等效剛度和等效阻尼的調整對柔性轉子前四階臨界轉速變化的影響規律。

1 電磁軸承電磁力建模

電磁軸承是用可控的電磁力把轉子懸浮在固定位置，如圖1所示。轉子位移分別由兩個垂直方向的位移傳感器檢測。如果轉子在受到擾動后偏離其期望位置，此時由位移傳感器檢測出轉子的偏移位移，控制器根據相應的控制策略產生控制信號，然后經功率放大器產生驅動定子繞組的控制電流。電磁軸承定子繞組可以產生主動電磁力，使得轉子返回到其原來位置，這樣便可以使轉子動態地穩定懸浮在期望位置了。

圖1 電磁軸承原理

電磁軸承的電磁力經線性化后可描述為位移剛度系數和電流剛度系數的線性函數［7］，如下：

式（1）中，ki，kx是電磁軸承電磁力線性化后的電流剛度系數和位移剛度系數。μ0=4π×10-7（H/m）為真空磁導率，A為磁路有效橫截面積，N為線圈匝數，i0為線圈偏置電流，Δi為控制電流，x0為電磁軸承的設計氣隙，Δx為轉子在坐標方向的偏移位移。

電磁軸承的主動控制能力體現在電磁力可根據轉子位移情況實時的調節，其控制系統傳遞函數的頻域方程形式為：

式（3）中，Re｛G（jω）｝和Im｛G（jω）｝分別表示控制系統傳遞函數G（jω）的實部和虛部?？梢?，只有在可以獲得電磁軸承控制傳遞函數的前提下，才能理論計算電磁軸承的等效剛度和等效阻尼。如采用PID控制的電磁軸承，其理想的傳遞函數為Kp+Ki/s+ Kds，其中Kp、Ki及Kd分別是控制器的P、I及D參數，那么其等效剛度和等效阻尼可表示為：

式（2）中，G（jω）為控制系統整體傳遞函數的頻域關系，一般包括位移傳感器、AD變換、控制器算法、DA變換、功率放大器等各控制環節傳遞函數的總和。

如果把電磁軸承的支承特性等效為一個機械軸承的剛度和阻尼，稱之為等效剛度 Ke和等效阻尼［7］，其表達式分別為：當然，式（4）只是理想的PID控制，若考慮時滯，濾波降噪等實際情況，那么表達式要復雜得多。

2 電磁軸承支承的柔性轉子有限元建模

2.1 柔性轉子有限元建模簡介

實際的轉子系統通常是由一些軸段、圓盤和軸承座等部件組成，是一個質量連續分布的彈性系統，具有無窮多個自由度。有限元法的基本思想是將整個轉子按節點劃分為有限個單元，各單元彼此在節點處聯結，從而使一個質量連續分布轉子的運動，離散為有限個自由度的運動。轉子劃分的單元數目越多，其模型越精確，但計算量也大為增加。

因為柔性轉子有限元建模作為轉子動力學分析的常用工具，在大多數轉子動力學教材中［11-12］都有十分詳細的敘述。本文限于篇幅，僅對其建模思想做簡要敘述，以不破壞本文閱讀的可理解性。本文只對電磁軸承對柔性轉子的支承建模做詳細論述。

柔性轉子相鄰兩個節點之間的軸段作為有限元分析的基本單元，稱之為彈性軸段單元，如圖2，其中左端面為第n節點，右端面為第n+1節點。每個軸段的空間坐標可以用兩個端面的位移向量表示，稱為軸段的廣義坐標。端面的位移向量可由端面軸心坐標x及y和偏轉角θy及θx來表示，x和y方向分開表示，

圖2 彈性軸段單元

有限元法的建模過程，先建立每個軸段單元的動力學方程。在不考慮剪切和扭轉變形影響的條件下，一個彈性軸段單元在x和y兩個方向上的運動微分方程分別為：

式（6）中，ω為轉子轉速，｛fx｝及｛fy｝分別為彈性軸段兩個端面節點處在x及y兩個方向上所受的作用力和力矩，如不平衡力等外力，稱為廣義外力矢量。［mx］、［dx］、［gx］、［kx］和［my］、［dy］、［gy］、［ky］分別為轉子在x和y兩個方向上的質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣。對于單個軸段在一個坐標方向內的運動方程而言，這些矩陣都是4×4的矩陣，其元素由軸段的線密度、尺寸、彎曲剛度等參數決定。當轉子為軸對稱時，x和y方向的矩陣相同。具體表達式由于篇幅較大，本文不詳細列出，可參見有關轉子動力學教材［11］。

根據有限元法，在列出每個軸段的運動方程后，依據相鄰軸段間的連接關系，各個軸段方程可整合為一個轉子整體的大矩陣運動方程，有：

式（7）中，｛F｝為廣義外力矢量，［M］、［K］、［D］和［G］分別為整合后的轉子的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和陀螺矩陣，形式如下：

式（8）至式（10）中，小方塊表示對應單個軸段的4×4的［m］、［g］及［k］矩陣。每個軸段的［m］、［g］及［k］矩陣按圖所示以對角線排列，并且在相鄰矩陣的2×2部分重疊相加。［M］、［K］和［G］矩陣的上半部分為x平面的運動方程，下半部分為y平面的運動方程?？梢?，［M］、［K］和［G］矩陣是一個4N× 4N矩陣，即有限元法中的矩陣階次將以節點數4倍的2次方量級增長。由于電磁軸承的轉子懸浮無接觸，內阻尼為0，因此阻尼矩陣［D］為零矩陣。電磁軸承的等效阻尼以外阻尼的形式體現在電磁力中，下文將詳細敘述。在只有彈性軸段的情況下，［M］、［K］、［D］和［G］矩陣都是4N×4N階的對稱稀疏矩陣。

至此，柔性轉子有限元建模的基本框架已經完成。對于柔性轉子的其他組成部件，如剛性圓盤，集中質量點、軸承支承、不平衡力以及外力作用都是以在［M］、［K］、［D］和［G］稀疏矩陣中添加相應元素項的形式來實現建模，因篇幅所限不一一敘述。本文下面詳細敘述柔性轉子的電磁軸承支承的建模。

2.2 柔性轉子的電磁軸承支承建模

最直觀的方法是可以把電磁軸承等效為機械軸承，即用等效剛度和等效阻尼表示，然后用傳統柔性轉子有限元建模中的軸承單元表示方法，根據軸承所在的節點，在剛度矩陣［K］和阻尼矩陣［D］中添加相應的元素項。然而這并不是一個好方法，因為等效剛度和等效阻尼的計算需要知道控制傳遞函數，而考慮實際因素的電磁軸承控制傳遞函數會非常復雜，難以計算。甚至，諸如模糊控制等智能控制策略根本無法歸納出一個傳遞函數表達式，所以無法計算等效剛度和等效阻尼。此法局限性太大。

因此，本文采取直接用電磁力建模的方法，基本思想是認為電磁軸承支承就是轉子在相應電磁軸承節點位置所受的外力。例如，當節點a和節點b處各有一個電磁軸承的情況，在原轉子運動方程式（7）中，廣義外力矢量｛F｝需按下式疊加4個軸承電磁力項。

式（11）中，ki，ax，ki，ay，ki，bx，ki，by及kx，ax，kx，ay，kx，bx，kx，by分別表示在a及b節點上的兩個電磁軸承各個徑向自由度的電流剛度系數和位移剛度系數。Iax，Ibx，Iay及Iby表示在a節點及b節點上電磁軸承在4個自由度的控制電流。

式（11）采用的是線性電磁力的表示方法，也可根據模型精度需要，采用非線性電磁力的描述，也可疊加諸如振動控制等附加力。此建模方法運用較為靈活，不限制控制策略的表示形式，只要控制策略已知，就可以在仿真模型中實現。

3 算例介紹

目前，由于國內對于完善的電磁軸承支承的柔性轉子實驗平臺有待建設，本文將以英國Bath大學機械工程系Keogh教授實驗室的電磁軸承-柔性轉子實驗平臺為仿 真算 例［13-17］。該 電磁 軸承 實驗臺經過多年的動力學實驗和研究，其各項動力學參數已被精確測定。本文的仿真數據和仿真結果可以從該實驗平臺的實際數據中找到依據，以確保本文有關柔性轉子的理論分析和仿真結論的可信度。

如圖3為該實驗平臺的基本結構。它由一根均質等直徑軸和4個剛性圓盤組成。軸長度為1 930 mm，軸粗50 mm。4個剛性圓盤分別分布在軸的兩端和中間。圓盤外徑250 mm，圓盤寬30 mm，每個盤質量10 kg。在轉子有限元分析中，把電磁軸承處的轉子軸頸部分也視為剛性圓盤，外徑200 mm，寬度80 mm。整個軸的總質量約100 kg。仿真假設，轉子的不平衡質量只集中在4個剛性圓盤上，而忽略其余部分的不平衡質量。剛性圓盤的不平衡質量可調節，將4個剛性圓盤的不平衡質量的大小都設置為1 g·mm。兩個電磁軸承的氣隙均為1.2 mm，保護軸承氣隙0.75 mm。電磁軸承能提供最大1 500 N的提升力。電磁軸承工作在4.3 A的偏置電流下，位移剛度系數為2×106N/M，電流剛度系數為487 N/A。

圖3 柔性轉子算例的結構和尺寸（8個節點）

4 等效剛度對柔性轉子系統各階臨界分布的影響

由等效剛度計算公式，選取不同的Kp參數，可分別得到0.2×106、0.4×106、0.8×106、1.0×106、2×106、3×106、5×106N/m 7個不同的等效剛度值。Kd參數統一取10，即對應等效阻尼為4 800 N·s/m。轉子轉速范圍為0～600 rad/s。通過仿真，可得到在不同等效剛度條件下，轉子在右側電磁軸承y方向的振動響應曲線，共有7組。為了方便分析轉子振動響應隨支承剛度變化的規律，把7組振動響應曲線集中繪入圖4中?？梢?，在0～600 rad/s的轉速范圍內，轉子的振動響應曲線上都出現了3或4個峰值。這些峰值所對應的轉速就是該剛度下轉子的各階臨界轉速的位置。

圖4 不同等效剛度下轉子的振動響應曲線的仿真結果

根據轉子動力學理論，柔性轉子的模態振型和對應的臨界轉速由轉子結構和支承特性所確定。為了弄清圖4中各個轉子振動峰值是否與轉子在此等效剛度下的臨界轉速值相吻合，以及各臨界轉速所對應的模態振型，利用本項目組開發的柔性轉子分析軟件RotFE計算了該柔性轉子在同樣七組等效剛度條件下的前四階臨界轉速值，并繪制了其振型的三維圖。因限于篇幅，只繪出4組為例，如表1所示。

表1 RotFE得出的臨界轉速和其振型三維圖

由表1可知，柔性轉子的前四階臨界轉速的振型分別為錐形渦動、平行渦動、一階彎曲和二階彎曲。其中，錐形渦動和平行渦動為剛體臨界振型，一階和二階彎曲為柔性彎曲臨界振型。

在等效剛度較低時，轉子剛體臨界轉速均低于彎曲臨界轉速。然而，轉子的剛體臨界轉速對等效剛度的變化十分敏感。隨著等效剛度的增加，錐動和平動兩個臨界轉速的位置明顯地往高頻方向移動。相比較，轉子的彎曲臨界轉速受支承剛度變化影響較小。

當等效剛度逐漸升高，轉子的錐形和平行臨界轉速的位置也隨之升高。在等效剛度為2×106N/ m時，轉子的平行渦動臨界轉速超越了轉子的一階彎曲臨界轉速，此時轉子自身有明顯的彎曲形變又帶有剛體平行渦動振型的特點，稱其振型為“平行+彎曲”的綜合振型。在等效剛度為5×106N/m時，轉子的錐形渦動臨界轉速也超越了轉子的一階彎曲臨界轉速。同樣，此時轉子自身已有明顯的彎曲形變又帶有剛體錐形渦動振型的特點，稱其振型為“錐形+彎曲”的綜合振型。

為了比較圖4的振動峰值數據和表1臨界轉速數據，把兩組數據一起繪制成圖5形式進行比較?？梢?，仿真所得的各階臨界轉速值和RotFE計算結果有很好的吻合，只是在0.2×106、0.4×106、0.8× 106、1.0×106N/m4個較小等效剛度的仿真測試中，觀測不到轉子平動臨界轉速的振動峰值。分析其原因，可能是錐形渦動臨界和平行渦動臨界靠得太近，另外，在電磁軸承支承特性中的等效阻尼作用下，可能使振動峰值不明顯。

圖5 仿真結果與RotFE計算結果的比較

5 等效阻尼對柔性轉子系統各階臨界分布的影響

由圖4可知，在高剛度5×106N/m條件下，轉子在前四階臨界轉速的振動比低剛度時更強烈，峰值更清晰明顯。因此，在等效阻尼對轉子臨界轉速影響的仿真中，等效剛度值統一選取為5×106N/m。微分參數Kd分別取5、10、50、100，即對應等效阻尼分別為2 400、4 800、24 000、48 000 N·s/m?？傻玫睫D子在不同等效阻尼條件下，右側電磁軸承y方向的振動響應曲線，并將4組振動圖線集中繪入圖6中。

圖6 不同等效阻尼對轉子振動響應的影響

結果表明，等效阻尼的強弱不會明顯改變柔性轉子各階臨界轉速的位置，但增加等效阻尼，可以很好地抑制轉子振動的峰值。當阻尼較小時，各階臨界轉速位置的振動峰值明顯。隨著阻尼的增大，臨界轉速的振動峰值逐漸減小，一些臨界轉速位置的振動峰值變得難以分辨。如當等效阻尼De=48 000 N·s/m時，除了一階彎曲臨界轉速有明顯峰值外，其余的臨界轉速峰值均被抑制。這也說明一階彎曲臨界受等效阻尼的影響最小。但是，提高等效阻尼意味著控制系統的微分作用增強，會帶來放大系統噪聲的負面影響，反而不利于系統穩定。在實際電磁軸承應用中，等效阻尼的調節范圍有限。

6 結 論

本文提出采用電磁軸承支承柔性轉子，通過支承特性的調節，改變柔性轉子的各階臨界轉速的分布位置，使柔性轉子工作轉速始終避開臨界轉速，實現超臨界運行的目的。本文對電磁軸承-柔性轉子系統的前四階臨界轉速隨等效剛度和等效阻尼變化的規律進行了理論仿真，仿真結果表明：

a）轉子的剛體臨界轉速分布對支承等效剛度的變化較為敏感，隨支承等效剛度的增大，錐形臨界和平行臨界轉速明顯向高頻方向移動。轉子一階彎曲臨界轉速受支承剛度變化影響較小，幾乎不隨支承剛度的變化而變化。轉子二階臨界轉速隨支承剛度的調節有一定的變化，但無論是相對變化量還是絕對變化量都比剛性臨界小得多。

b）等效阻尼的變化不會明顯改變柔性轉子系統各階臨界轉速的位置。增加等效阻尼可以很好地抑制轉子振動的峰值，對抑制振動有益，但同時也會放大電磁軸承控制系統的噪聲，對系統穩定不利。

因此，可以通過調節轉子系統的等效剛度和等效阻尼，來改變轉子系統剛體臨界轉速，但對一階彎曲臨界轉速位置的調節效果十分有限。對于亞臨界或超臨界工作的磁懸浮軸承轉子系統，只能通過改變轉子本身的結構，盡量使轉子工作轉速遠離一階彎曲臨界轉速。

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Modeling and Simulation Analysis of Controlling Distribution of Critical Speed of Flexible Rotor with Electromagnetic Bearing

FANGPeng，JIANG Ke-jian
（The School of Information Science and Technology，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

This paper proposes to use electromagnetic bearing to support flexible rotor and change the distribution location of critical speed of each order of flexible rotor through the adjustment of supporting characteristics，thus making flexible rotor realize supercritical operation smoothly，incorporates the modeling of supporting characteristics of electromagnetic bearing into the modeling theory of finite element of flexible rotor of classic rotor dynamics and establishes flexible rotor system model of electromagnetic bearing support for simulation.The simulation result shows that the adjustment of equivalent stiffness of electromagnetic bearing can significantly change translational and conical clinical speed of flexible rotor and has little influence on first-order and second-order bending critical speed.The adjustment of equivalent damping can significantly reduce the vibration of rotor when it passes the critical point.

electromagnetic bearing；flexible rotor；magnetic levitation；finite element；critical speed

TH133

A

（責任編輯：陳和榜）

1673-3851（2014）03-0221-07

2013-11-04

國家自然科學基金（11272288），中國博士后科學基金（2013M531452），浙江省自然科學基金（LY12E05027），浙江理工大學科研基金（1104827-Y）

方 鵬（1989-），男，碩士研究生，主要從事數字信號處理，磁懸浮控制方面的研究。

蔣科堅，電子郵箱：jkjofzju@163.com