復模糊微分方程的初始值問題

吳 丹，韓 維，樊太和

（浙江理工大學科學計算與軟件工程實驗室，杭州310018）

復模糊微分方程的初始值問題

吳 丹，韓 維，樊太和

（浙江理工大學科學計算與軟件工程實驗室，杭州310018）

復模糊微分方程的初始值問題是近年來研究的熱點問題。首先證明了復模糊域上的牛頓-萊布尼茨公式，并建立了微分和積分之間的關系，然后定義了復模糊微分方程的初始值問題，最后給出了基于經典的不動點定理和基于Zadeh在復數域上的擴展原理兩種初始值問題存在的結論。然后在此基礎上對初始值進行求解。

復模糊微分方程；初始值問題；牛頓-萊布尼茨公式；Zadeh擴展原理

0 引 言

復微分方程已經在很多領域得到了應用，例如Gilboa等［1］通過結合擴散方程和簡化的Schrodinger方程來進行圖像處理；Takac等［2］將復Ginzburg-Landau equation應用在動力學上等。這些應用都是基于初始值和參數值易脆的假設下進行的，但是在許多應用中，由于復數表示的參數具有模糊性，因此，這些由復數表示參數的方程都具有模糊的特點。這類由復數作為參數的方程可用模型p′=f（t，p）表示，其中，t∈T=［a，b］?（-∞，+∞），T→表示廣義復模糊數的集合，f∶T×→。這個模型稱為復模糊方程。下面研究該模型的初始值問題：

其中，p0∈。這種解不穩定的情況，稱為復模糊數域中的初始值問題。初始值問題的解可由下式表示：

其中積分和微分是采用Buckley等［3-4］所給的定義。

本文首先建立復模糊數域上的牛頓-萊布尼茨公式，建立復模糊數域上的積分和微分的聯系，使得在復模糊數域上定義初始值問題成為可能；然后通過兩種方法來證明初始值問題的解的存在性，第一種是基于經典不動點定理的方法，第二種是基于Zadeh在復模糊數域上的擴展原理的方法。比較初始值問題的模糊微分方程［5-14］，得出在復模糊數域的情況下，由于積分路徑是獨立的，所以初始值問題需要強有力的條件；在這個基礎上，本文展開了對復模糊微分方程初始值問題的研究。

1 一些基本定義和結果

接下來定義廣義復模糊數。

定義1［15］一個模糊集合是廣義復模糊數，當且僅當

備注：在Wu等［16］、Buckley等［4］的定義中，在（2）中增加了一個額外的條件：“單連通”。然而，Qiu等［15］提出了一個反例：在這個條件下廣義復模糊數在基本的算術運算下不是封閉的。

定義2［4］令：f：T→是星形的，f（t）的導數f′（t）是復數集合的模糊子集，并由它的隸屬函數定義：μ（z｜f′（t））=sup｛α｜z=x（t，α，β）+iy（t，α，β），0＜α≤1，0≤β＜2π｝。

定理1［15］如果x·和y·在α和β上是連續的，則f′（t）∈。

在復數的情況下，z=x+iy是一個一般復數，令f（z）=（z），對任意的α水平集（z）（α），0＜α≤1，畫一條射線L（β），在復平面上的x軸正半軸的畫一個角度β（0≤β＜2π）?？紤]到集合L（β）∩（z）（α）=w（z，α，β），f（z）是星形的，當且僅當（z）（α）是一個點。對所有的0＜α≤1，0≤β＜2π，w（z，α，β）=μ（x，y，α，β）+iv（x，y，α，β）。通過定義w（z，α，0）=w（z，α，2π），可以將這個概念擴展到β=2π，其中假設對所有的0≤β＜2π，w1（z）=w（z，1，β）。

令D?C是閉的、有界的、單連通的數域，γ是D中的可求曲線，因此γ可以用函數z=φ（l）+iφ（l），a≤l≤b描述，其中φ（l）和φ（l）是［a，b］上的一個實值，所以γ將是D上的平滑曲線。如果g：γ→C，g（z）=μ（x，y）+iv（x，y）其中μ和v是z=x+ iy的實值函數，而且g在D上是連續的，則g在γ上的復線性積分是：

其中φ′（φ′）表示φ（φ）的導數。

定義3［3］令f：γ→，定義g（z）∈（z）（α），0＜α≤1 ｝。f（z）在γ上的模糊線性積分通過它的隸屬函數可以定義為復數的模糊子集：

令z=φ（t）+iφ（t）=t+i0，a≤t≤b，可求曲線γ在位于復平面x軸正半軸的區間［a，b］上。γ=T，復模糊映射f：γ→是f（t+i0）=（t），其中（t）可以通過它的α水平集（z）（α）定義，a≤t≤b。

定理2如果f∶T→是連續的，則f（s）d s在T是拉普拉斯連續的。

定理3如果f，g∶T→是可積的，k∈R，則：

（3）∫TH（f（t），g（t））d t存在，并且 （H∫Tf（t）d t，

2 復模糊數域上的牛頓-萊布尼茨公式

引理1如果和是連續的，則f′（t）（α）= Γ（α）。

定理4（牛頓-萊布尼茨公式）函數f：T→是星形的，假設和是連續的，在D上由a到b的積分曲線，有

證明：

隸屬函數可以表示為：

證畢。

3 復模糊數初始值問題

在C中的任意兩個非空完備集合A和B，Hausdorff距離可以定義為：

其中‖.‖表示C中的歐幾里德范數。

p′=f（t，p），t∈T，p（a）=p0

從Wu等［16］的定理3中，由∫Tf（t，p（t））d t∈∪積分的緊密度，可得以下的等價描述。

接下來用兩種方法來解復模糊初始值問題。

4 通過不動點定理證明解的存在性

考慮問題初始值問題I，（IVP-I）p′=f（t，p），t∈T，p（a）=p0，其中f∶T×C*→C*，p0∈C*，有以下存在的結果。

定理5 假設f滿足拉普拉斯條件，D（f（t，p），f（t，q））≤k（t）D（p，q），其中k∶T→R+是可積的，并且∫Tk（t）d t=L＜1，問題（IVP-I）有唯一的解。

證畢。

5 通過擴展原理證明解的存在性

在討論存在性之前，先證明Zadeh的擴展原理在復模糊域上也成立。

對一些un∈f-1（wn）∩（0），由于f-1是閉的，（0）是完備的，則un的一個子序列unk收斂到u0，并且f（u0）=w0。由于μ（u｜）是上半連續的，則limμ（unk｜）≤μ（u0｜）。接下來，

由于wn→w0，于是有limμ（unk｜））≤μ（w0｜））。

由于當0≤α≤1時，f是連續的，（1）是完備和弧形的，則）（α）也有相同的性質。

在給出（IVP-I）解的存在性之前，首先檢查初始值問題在易脆的情況下（IVP-C）：

（IVP-C）p′=f（t，p），t∈T，p（a）=p0

其中，f∶T×C→C，p0∈C。假設（IVP-C）在p0∈U上有一個解p（t，p0），其中U是一個開集。于是對所有的t∈T，p（t，·）在U上是連續的，定義如下一個運算：

Lt∶U→C，Lt（p0）=p（t，p0）。

這表明（IVP-C）有唯一解，并且對于p0，Lt是連續的，對Lt應用Zadeh的擴展原理，將得到一個映射∶C→（α）=p（t，p0（α））。這是（IVP -I）的一個精確解。

再來考慮下面這個問題：

其中f（t，p）=λp（t），λ∈C，p0∈。首先，對于p0∈C，該方程的初始確定性解是Lt（p0）= p0eλ（t-a），對于每一個t∈［a，b］，方程在p0點處是連續的。最后，結合擴展原理，對所有的p0∈，存在（p0），有（p0）（α）=Lt（p0（α））=p0（α）eλ（t-a）。

6 結論和未來的工作

本文主要研究了復模糊方程的初始值問題，并且得到了一個新的牛頓-萊布尼茨公式，將Zadeh的擴展原理應用到了復模糊數域上，最后得到了初始值問題存在的結論，并對初始值進行了求解。

在以后的工作中，將進一步考慮復模糊微分方程和模糊微分方程的區別，并且研究其他類型的初始值問題，探索其他方法解出初始值問題的解。

［1］Gilboa G，Zeevi Y Y，Sochen N A.Complex Difusion Processes for Image Filtering［M］//Scale-Space and Morphology in Computer Vision.Springer Berlin Heidelberg，2001：299-307.

［2］Takac P，Berg L，Engel W，et al.Dynamics on the attractor for the complex Ginzburg-Landau equation［J］.Rostock Math Kollop，1995，49：163-184.

［3］Buckley J J.Fuzzy complex analysis II：integration［J］. Fuzzy Sets and Systems，1992，49（2）：171-179.

［4］Buckley JJ，Qu Y.Fuzzy complex analysis I：differentiation［J］.Fuzzy Sets and Systems，1991，41（3）：269-284.

［5］Oberguggenberger M.Fuzzy and weak solutions to differential equations［C］//Proceedings of the Tenth International Conference IPMU.2004：517-524.

［6］Oberguggenberger M，Pittschmann S.Differential equations with fuzzy parameters［J］.Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems，1999，5（3）：181-202.

［7］Seikkala S.On the fuzzy initial value problem［J］.Fuzzy Sets and Systems，1987，24（3）：319-330.

［8］Song S，Wu C.Existence and uniqueness of solutions to Cauchy problem of fuzzy differential equations［J］.Fuzzy Sets and Systems，2000，110（1）：55-67.

［9］Ma M，Friedman M，Kandel A.Numerical solutions of fuzzy differential equations［J］.Fuzzy Sets and Systems，1999，105（1）：133-138.

［10］Nieto J J.The Cauchy problem for continuous fuzzy differential equations［J］.Fuzzy Sets and Systems，1999，102（2）：259-262.

［11］Kaleva O.A note on fuzzy differential equations［J］. Nonlinear Analysis：Theory，Methods&Applications，2006，64（5）：895-900.

［12］Kaleva O.Fuzzy differential equations［J］.Fuzzy Sets and Systems，1987，24（3）：301-317.

［13］Kaleva O.The Cauchy problem for fuzzy differential equations［J］.Fuzzy Sets and Systems，1990，35（3）：389-396.

［14］Bede B，Rudas I J，Bencsik A L.First order linear fuzzy differential equations under generalized differentiability［J］.Information Sciences，2007，177（7）：1648-1662.

［15］Qiu D，Shu L，Mo Z W.Notes on fuzzy complex analysis［J］.Fuzzy Sets and Systems，2009，160（11）：1578-1589.

［16］Wu C，Qiu J.Some remarks for fuzzy complex analysis［J］.Fuzzy Sets and Systems，1999，106（2）：231-238.

［17］Puri M L，Ralescu D A.Fuzzy random variables［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications，1986，114（2）：409-422.

［18］Barros L C，Bassanezi R C，Tonelli P A.On the continuity of the Zadeh’s extension［C］//Proceedings of the IFSA.1997：3-8.

［19］Dubois D，Prade H.Towards fuzzy differential calculus part 1：integration of fuzzy mappings［J］.Fuzzy Sets and Systems，1982，8（1）：1-17.

［20］Buckley J J.Fuzzy complex numbers［J］.Fuzzy Sets and Systems，1989，33（3）：333-345.

InitiaI VaIue ProbIem of CompIex Fuzzy DifferentiaI Equations

WU Dan，HAN Wei，FAN Tai-he
（Lab of Intelligent Computing and Software Engineering，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

The initial value problem for complex fuzzy equations is a research hotspot in recent years. We first prove Newton-Leibniz Formula on the complex fuzzy domian and establish the relationship between differential and integral.Then，we define initial value problem of fuzzy complex equations and finally give the conclusion that the twp initial values based on classical fixed point principle and Zadeh’s extension principle in complex fuzzy domain have problems.Then，on this basis，we solve the initial value.

complex fuzzy differential equation；initial value problem；Newton-Leibniz formula；Zaden’s extension principle

O175.8

A

（責任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0550-05

2014-02-25

國家自然科學基金（61210004）

吳 丹（1987-），女，湖北孝感人，碩士研究生，研究方向為微分方程。