含規?；瘍δ芟到y的最優潮流模型與求解方法

高 戈，胡澤春

(清華大學電機系，北京 100084)

0 引言

近年來，隨著儲能技術的不斷進步，越來越多的新型儲能系統（Energy Storage System, ESS）朝著實用化的方向發展[1-7]。大規模新能源發電并網的挑戰、分布式電源的增長、輸電走廊的緊缺等諸多因素促進了新型儲能在電力系統中的應用[8-12]。目前兆瓦級以上的大規模儲能技術以抽水蓄能、電池儲能、壓縮空氣儲能等形式為主。

儲能系統接入電力系統運行后，其運行優化是需要解決的關鍵問題。最優潮流（Optimal Power Flow, OPF）是解決電力系統安全經濟運行的重要手段， 繼20世紀60年代初被提出以來[13]，一直受到廣泛關注。OPF問題屬于復雜的非線性非凸優化問題，尋求其全局最優解通常是一個NP困難問題[14]。近年來，如何高效求解OPF問題取得了一定進展，被提出的求解方法主要包括非線性規劃算法[13]、智能算法[15]等。在非線性規劃算法中，有些需要可行解作為起始點（如內點法），有些只有迭代收斂時才能得到可行解[16]。智能算法的全局最優性無法保證，計算費時，尤其不適用于大規模系統。文獻[14,17]中通過對OPF模型的數學變換，得到了其對偶問題，且可以證明在一定條件下，該對偶問題與原問題的對偶間隙為零。此對偶問題是一個凸的半正定規劃，因而可以在多項式時間內求得全局最優解。

儲能系統可與電網進行雙向電能交互，但存儲能量受限，需要考慮多時段耦合的能量約束，因而在OPF問題中需要進行特殊處理，在常規OPF模型的基礎上考慮多個負荷斷面的優化，增大了問題的規模和求解難度。文獻[18]中建立了考慮儲能參與的最優有功潮流模型，通過忽略無功潮流，使得OPF成為凸優化問題。文獻[19]提出了含有風電和儲能接入的滾動最優潮流模型，并對風電和儲能的容量配置和位置分布進行了討論。文獻[20]中建立了微網中考慮儲能的最優潮流模型，分別考慮了三相平衡和三相不平衡的情況。文獻[21]在文獻[14,17]的基礎上建立了考慮儲能系統的OPF模型，并證明了在引入儲能之后仍能滿足對偶間隙為零的條件。但文中所建立的儲能系統模型沒有考慮其運行效率，也沒有考慮儲能系統在一個調度周期內的能量平衡。此外，對于算法的準確性，文中沒有給出與其他算法的比較驗證。

本文首先探討了含儲能系統最優潮流的滾動優化思路，在建立儲能系統細化模型的基礎上，提出了考慮規?；瘍δ芟到y的多時段最優潮流模型，并對剩余能量約束進行了松弛與自適應調整。通過等效變換與Lagrange松弛推導出其凸優化形式的對偶問題，進而求得原問題的最優解。隨后對儲能系統單點接入和多點接入的算例進行了測試，并與內點法計算的結果進行了比較，驗證了所提模型和算法的有效性。

1 考慮儲能的最優潮流模型

1.1 含儲能系統最優潮流的滾動優化

由于儲能系統的能量受限，產生時段耦合約束，因此需要在經典最優潮流的基礎上考慮多個負荷斷面的優化。由于電力系統運行狀態的不確定性，應該對儲能系統的功率進行滾動優化和調整。圖1示意了滾動優化的流程。從初始時刻t=T0開始，按固定的時間間隔Δt啟動優化計算，求解t～Tf時間內的OPF，按照最新的優化結果安排t～t+Δt時間內機組和儲能系統的運行狀態，并根據電網運行條件修正模型參數，等待至t+Δt的時刻執行下一次優化計算，直至到達末時刻t=Tf后進入下一優化周期。

圖1 含儲能系統最優潮流的滾動優化流程示意圖Fig.1 Rolling optimization process of OPF considering ESS

1.2 儲能系統的多時段建模

表1給出了儲能系統的多時段運行參數和決策變量，其中下標k表示儲能系統的編號。

表1 儲能系統的運行參數與變量Table 1 Operation parameters and variables of ESS

考慮全天從1～T+1時刻，共T個時段的運行情況，其中時段t對應時刻t～t+1。儲能系統的功率和存儲能量需要滿足以下約束：

儲能系統存儲的能量bk(t)滿足下面的一階差分方程：

初始條件中給出了儲能系統在起始時刻t=0的存儲能量，即約束式(6)。為保證儲能系統循環運行，全天運行結束后的剩余存儲能量應盡可能地回到初始值。為使調度更加靈活，本文將剩余存儲能量松弛至一定的區間范圍內，如約束式(7)、式(8)所示。

1.3 含儲能系統的最優潮流模型

考慮一個包含n個節點，m臺機組(m≤n)，ne個儲能系統(ne≤n)的電力系統。定義全部節點集合N:={1,L,n}Fk，發電機節點集合G:={1,L,m}，含儲能的節點集合E:={1,L,ne}。該電力網絡的導納矩陣用Y∈Cn×n表示，相關運行參數與變量如表2所示。

表2 電力系統的運行參數與變量Table 2 Operation parameters and variables of power system

考慮機組全天的運行情況，時間的定義與1.2中一致。在發電機節點l∈G，發電機的有功和無功出力需滿足約束：

對于節點k∈N，系統的節點潮流約束可以表示為

對位于節點k∈E處的儲能系統而言，需要滿足約束式(1)～式(7)，對于不含儲能系統的節點k∈NE，約定均為零。由以上分析可以得到考慮儲能的最優潮流模型如式（13）。

2 求解方法

由于約束式(11)和約束式(12)的非凸性，最優潮流問題式(13)是一個非凸優化問題。本文將通過如下方式對其進行求解：對原問題式(13)進行凸化松弛，并求解其松弛之后的Lagrange對偶問題?？梢宰C明，在一定條件下，Lagrange對偶問題與原問題式(13)的對偶間隙為零。

2.1 含儲能最優潮流的等價變換

首先定義如下變量：

其中，ek(k=1,L,n)表示n維空間的標準正交基?；陬愃朴谖墨I[17]附錄中的推導，可以將問題(13)等效變換成如下形式：

式(15)～式(17)，式(19)～式(22)，式(26)～式(28)中t=1,L,T，式(18)中t=1,L,T+1。其中，約束式(26)是fl((t))≤αl(t)的等效，約束式(27)、式(28)是W(t):=U(t)U(t )T的等效[17]。變換后的問題式(14)～式(28)的目標函數呈線性，約束條件中除式(28)以外均為凸約束。

2.2 Lagrange松弛與對偶問題

如果松弛掉關于矩陣秩的約束(28)，那么式(14)～式(27)所描述的問題是一個半正定規劃問題[17]。通過引入相應約束的Lagrange乘子并進行一定的化簡[1]，可以形成該半正定規劃的Lagrange對偶問題：

s.t.

其中，

約束式(30)～式(33)及式(38)中t=1,L,T，約束式(34)中t=2,L,T。其決策變量

以及σ,β即為約束式(15)～式(27)的Lagrange乘子[21]?？梢酝ㄟ^與文獻[17,21]中類似的步驟證明，在滿足條件1或條件2的情況下，對偶問題與原OPF問題式(13)互為對偶問題，且對偶間隙為零。

條件1（充要條件）：存在對偶問題的最優解，使得對t=1,L,T，最優解對應的Aopt(t)有2重零特征根。

條件2（充分條件）：由系統導納矩陣的實部Re{Y}生成的圖是強連接的。

對于實際系統而言，線路的阻抗值大于零，因此充分條件2是容易滿足的，進而充要條件1也易于滿足。

2.3 原問題的最優解

當對偶問題式(29)～式(38)存在最優解時，在求得對偶問題最優解的基礎上，可以按以下步驟得到原OPF問題的最優解。

(1)對t=1,L,T，求出對偶問題最優解(xopt(t),zopt(t),σopt(t),βopt,Δopt)對應的半正定矩陣Aopt(t)。

(2)求得Aopt(t)的化零空間中任一非零向量則原OPF問題的節點電壓最優值可表示為

其中，ζ1(t),ζ2(t )的值可以通過原OPF問題的一階KKT條件或平衡節點條件確定[21]。

(4)在此基礎上計算原OPF問題取得最優解時的節點注入電流和節點注入功率，進而求得其他變量的最優值。

3 算例測試

在本部分中通過兩個算例對上述模型和算法進行測試，算例1通過IEEE 9節點系統模擬抽水蓄能系統的單點接入，算例2通過IEEE 57節點系統模擬電池儲能系統的多點接入。兩類儲能系統的參數在表3中給出，表3中符號的含義與表1一致。以實際系統歷史負荷數據為基礎模擬全天24 h的負荷需求變化，系統功率基值選取為100 MVA。

算例測試采用以下軟件：

(1)采用Matlab中的工具包YALMIP[22]輸入對偶問題模型，調用SEDUMI優化工具包求解；

(2)采用MATPOWER工具包的擴展OPF功能[23-24]（內點法）求解原問題，用以進行結果對照，IEEE測試系統參數也由此工具包中的數據文件獲得。

在MATPOWER文件中，變壓器內阻為零的假設可能導致系統不滿足條件2。此時在相應支路上增加一小阻抗（10-5p.u.），即可使條件2得到滿足[14]，進而滿足條件1。

表3 兩類儲能系統參數Table 3 Parameters of two types of ESS

3.1 儲能系統的單點接入

以IEEE 9節點系統為基礎，在5號節點處接入抽水蓄能系統，網絡拓撲結構如圖2所示。在不松弛最末時刻剩余存儲能量情況下，采用本文提出的算法與內點法求解得到的發電成本在表4中給出。

圖2 IEEE 9節點系統Fig.2 IEEE 9-bus system

表4 不同算法得到的發電成本Table 4 Generation costs obtained by different methods

可以看到，采用本文提出的算法與采用內點法求解得到的發電成本接近，在含儲能系統的情況下相差約為0.02%，在不含儲能系統的情況下所得結果基本相等。

圖3中給出了儲能系統參與運行前后的機組出力變化。圖中顯示儲能系統通過在負荷高峰時段吸收有功，在負荷低谷時段釋放有功平滑了機組出力，使得能量得到了更有效的利用。

圖3 儲能系統參與運行前后的機組出力變化Fig.3 Output of units before and after considering ESS

圖4中展示了儲能系統全天有功功率變化和能量變化，在這里有功功率大于零表示儲能系統吸收有功，有功功率小于零表示儲能系統釋放有功。不難發現，有功功率大于零時儲能系統的能量呈增加趨勢，反之則趨于減少。在圖4中，儲能系統全天有功功率與時間軸圍出的面積表示了儲能系統實際吸收（時間軸以上面積）與釋放（時間軸以下面積）的能量大小。經過計算得到，儲能系統全天吸收有功236 MWh，釋放有功174 MWh，即全天有功損耗62 MWh，占吸收能量的26.3%。這部分損耗是由于儲能系統的效率小于1造成的。

圖4 儲能系統24 h有功功率和能量變化Fig.4 Active power and energy of ESS in 24 hours

圖5中顯示了滾動優化對儲能系統運行安排的影響。通過滾動優化，在每時段的優化計算啟動前，目標函數中的懲罰系數ck根據儲能系統單位吸收/釋放能量對傳統機組發電費用的減少量被修正，如式(40)所示。

圖5 逐時段修正約束對運行結果的影響Fig.5 Impact of constraints correction on result

其中：ΔC表示儲能系統的參與對傳統機組發電費用的減少量；Etotal表示儲能系統吸收或釋放的總能量；α為比例系數。懲罰系數ck與儲能系統吸收/釋放能量的平均效益成反比，平均效益越高，懲罰系數越小，儲能系統的運行越靈活；平均效益越低，懲罰系數越大，儲能系統受到的約束越嚴格。從圖中可以看到，相對于固定剩余能量約束的情況，對模型的逐時段修正使得儲能系統的能量分布區間更為集中，減少了能量存儲與釋放過程中的損耗，進而提高了儲能的利用效率。相比于固定剩余能量約束的算法，采用滾動優化方法通過對模型的逐時段修正，使全天系統發電成本進一步降低140美元。

3.2 儲能系統的多點接入

以IEEE 57節點系統為基礎，在節點4、14、20、25、30、35、40、45、50、55接入10個電池儲能系統，總容量為100 MW。在不松弛最末時刻剩余存儲能量的情況下，采用本文提出的算法與內點法求解得到的發電成本在表5中給出?？梢钥吹?，采用本文提出的算法與采用內點法求解得到的發電成本接近，在含儲能系統的情況下相差約為0.01%，在不含儲能系統的情況下相差約為0.02%。在含儲能系統的情況下，電池儲能系統的全天能量變化如圖6所示，儲能系統的能量變化不僅和時間有關，也和接入的位置有關。

表5 不同算法得到的發電成本Table 5 Generation costs obtained by different methods

圖6 儲能系統24 h能量變化Fig.6 Energy of ESS in 24 hours

4 結論

本文提出了一種含儲能系統多時段最優潮流的實施思路，在儲能系統細化模型的基礎上，建立了考慮規?；瘍δ芟到y的多時段最優潮流模型。該模型中考慮了能量存儲與釋放的效率，并通過對剩余能量約束松弛與逐時段修正，既保證了儲能系統的循環運行，又提高了儲能的利用效率。

不同于傳統的最優潮流解法，本文通過等效變換與Lagrange松弛推導出其對偶問題進行求解。該對偶問題是一個凸的半正定規劃，且在一定條件下對偶間隙為零，有效提高了求解效率。

文中對儲能系統單點接入和多點接入的算例進行了測試，并與內點法計算的結果進行了比較，測試結果證明了所提模型和算法準確有效，也驗證了儲能系統的參與使得全天各個時段之間的潮流分布產生了耦合作用，即通過把電能在負荷高峰時段存儲，在負荷低谷時段釋放，平衡了負荷分布，降低了發電成本。在下一步研究中將考慮新能源發電參與后，其不確定性對含儲能系統OPF的影響。

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