正負折射率含缺陷1維光子晶體多通道濾波器

熊翠秀，蔣練軍，王景艷

(1.湖南城市學院通信與電子工程學院，益陽413000;2.保山學院數學學院，保山678000)

引 言

光子晶體是指介質的折射率或介電常數按周期性變化的人工材料，其概念最早于1987年分別由YABLONOVITCH和JOHN提出［1-2］。由于材料的周期性從而出現光子帶隙。當周期性結構中引入缺陷時會在光子帶隙內產生缺陷模。由于光子晶體的光學傳輸特性具有很好的可調性，因此光子晶體在各方面有很好的應用潛力。

隨著通信技術的發展，信息密集程度越來越高，光子晶體的出現正好迎合了多信道傳輸的要求?；诖?，不同的研究者設計并研究了具有不同特性、適用于不同場合的光子晶體濾波器。如利用缺陷產生缺陷模［3-5］、異質結產生缺陷模［6-7］、量子阱產生缺陷模［8-10］、普通介質無缺陷1維光子晶體的全反射隧穿效應產生缺陷模［11-13］及基于實數折射率和復折射率介質交替排列的多通道倍頻濾波［14］等。為了增加信道傳輸數，對于利用缺陷產生缺陷模的光子晶體濾波器，可以通過增大高低折射率之差［15］和用正負折射率材料交替排列［16］兩種方式來增大禁帶的寬度。本文中利用第2種方法，即用正負折射率交替排列的辦法增大禁帶的寬度，采用參考文獻［3］中提出的1維光子晶體模型B(AB)m(ACB)n(AB)mB，利用傳輸矩陣法［17］通過MATLAB編程計算了該模型的透射譜。為了與參考文獻［3］中的研究結果進行比較，僅僅把B介質由原來的正折射率介質變為負折射率材料，而保持其它參量不變。研究結果顯示，該結構在正負折射率材料交替排列時表現出很特別的多通道濾波特性。最后結合光的波動理論分析了這種多通道濾波產生的機理。

1 理論模型和結構參量

正負交替1維光子晶體參照參考文獻［3］中的模型B(AB)m(ACB)n(AB)mB，其具體結構如圖1所示。其中A與B是基元介質，且B介質為負折射材料，而C介質為缺陷。不考慮色散和吸收，m和n為基本單元(AB)和(ACB)的重復周期數。為了與正折射率介質的多通道濾波器的特性進行比較，除了把B介質的折射率取負值外，其它參量與參考文獻［3］中的一致，即A、B和C介質層的折射率分別取 nA=2.6，nB=-1.45，nC=1.8，相對磁導率分別為μA=μC=1，μB=-1。光學厚度分別取 nAdA=λ0/4，nBdB=-λ0/4，nCdC=k× (λ0/4)，其中 dA，dB和dC分別是介質A，B和C層的幾何厚度，λ0為中心波長，k取正整數。

Fig.1 Structure of1-D photonic crystal B(AB)m(ACB)n(AB)m B

根據薄膜光學理論，波長為λ的光在每層介質中的傳輸特性可以用一個2×2的傳輸矩陣表示表示，對于第 j層，其傳輸矩陣［17］為:

式中，N是總的介質層數。光從空氣入射到光子晶體時的反射系數表如下:

2 數值計算結果

用傳輸矩陣法［17］計算該1維光子晶體在不同結構參量下的透射譜。在MATLAB環境下編程計算，計算過程中光場頻率ω對中心頻率ω0進行歸一化，表示為ω/ω0，歸一化頻率的步長取0.000005。

2.1 (ACB)n的周期數n對缺陷模的影響

Fig.2 Transmission spectrum of B(AB)8(ACB)n(AB)8 B 1-D photonic crystalwhen n increasing

固定基本單元(AB)m的周期數m=8，介質C層的光學厚度取 nC×dC=1×(λ0/4)，即 k=1。(ACB)n的重復周期數n從1～4增大。其它參量不變，分別取nB=1.45和nB=-1.45，計算了正入射時1維光子晶體B(AB)8(ACB)n(AB)8B的透射譜，如圖2所示。由圖2可知:(1)在ω/ω0的奇數倍附近都出現了以ω/ω0的奇數倍為中心的禁帶，但nB=-1.45和nB=1.45對應的透射譜明顯不同，正負折射率交替排列1維光子晶體的每個禁帶都以兩側ω/ω0的偶數倍為界，禁帶寬度明顯比正折射率交替排列1維光子晶體的禁帶寬得多;(2)無論是正折射率材料交替排列，還是正負折射率材料交替排列，模型B(AB)m(ACB)n(AB)mB的1維光子晶體在本文中所取參量下，每個禁帶內都有與(ACB)n重復周期數對應的n條透射峰，這n條透射峰關于禁帶中心對稱，隨著(ACB)n重復周期數n的增大，各透射峰間的距離逐漸減小，這一現象與參考文獻［3］中的結果一致，參考文獻［3］中對上述現象產生的原因進行了詳細的解釋。

2.2 介質C層的光學厚度對缺陷模的影響

首先固定1維光子晶體B(AB)m(ACB)n(AB)mB的重復周期數為m=8，n=1。C層介質的光學厚度nCdC從1×(λ0/4)增加到4×(λ0/4)，分別取 nB=1.45和 nB=-1.45，計算正入射時，光子晶體B(AB)8(ACB)n(AB)8B的透射譜如圖3所示。由圖3可知:(1)nB=1.45時，C層介質的光學厚度分別為(λ0/4)的奇數倍和偶數倍時，禁帶內分別出現了1條和2條透射峰，這與參考文獻［3］中的報道一致;(2)當nB=-1.45時，且C層介質的光學厚度用k×(λ0/4)，禁帶內出現了k條透射峰，這現象與nB=1.45的情況明顯不同。

Fig.3 Transmission spectrum of B(AB)8(ACB)1(AB)8 B 1-D photonic crystalwhen the optical thickness ofmedium C increasing a—nB=1.45，k=1 b—nB=1.45，k=2 c—nB=1.45，k=3 d—nB=1.45，k=4 e—nB=-1.45，k=1 f—nB=-1.45，k=2 g—nB=-1.45，k=3 h—nB=-1.45，k=4

為進一步說明問題，在其它參量不變的情況下，圖4中給出了正入射、且 nB=-1.45，m=8，n=4時，C層介質的光學厚度nCdC從1×(λ0/4)增加到6×(λ0/4)的透射譜。由圖4可以看出，分別取k=1，2，3，4，5，6 時，禁帶內分別有 4 × 1，4 × 2，4 × 3，4×4，4×5，4×6條透射峰，正好都有相應的 n×k條透射峰。結合圖3e、圖3f、圖3g、圖3h和圖4可知，在所選的模型中，當介質A，B和C分別為正、負和正折射率材料，且各介質層的光學厚度滿足nAdA=時，每個禁帶內有n×k條透射峰，這些缺陷模以k組的形式出現，每組都有n條透射峰，總的缺陷模數有n×k條。

Fig.4 Transmission spectrum of B(AB)8(ACB)4(AB)8 B 1-D photonic crystalwhen the optical thickness ofmedium C increasing a—n=4，k=1 b—n=4，k=3 c—n=4，k=5 d—n=4，k=2 e—n=4，k=4 f—n=4，k=6

由上述現象可知，對于正負折射率介質交替排列的1維光子晶體B(AB)m(ACB)n(AB)mB，可通過調整(ACB)n的重復周期數n和C層介質的光學厚度nCdC，使禁帶內出現所需的n×k條透射峰。與相同結構的正折射率材料交替排列的光子晶體相比，當n=1，且nCdC分別為λ0/4的奇數倍和偶數倍時，通道數分別增大為原來的k倍和k/2倍，信道容納能力得到很大的提高。

3 多濾波通道形成的原因

為了明確多濾波通道形成的原因，以下從理論上分析濾波通道形成的機理。

該結構相當于在正和負折射率介質A和B周期性排列的結構中插入了n塊介質C，介質C充當了缺陷，光子禁帶中會出現光場局域，導致在缺陷處由于共振隧穿，產生缺陷模［3］，由于有n個缺陷，故有與n對應的n套缺陷模。當C層介質的光學厚度nCdC正好等于λ0/4時，正好有n條缺陷模。

對于兩端的周期結構來說，一塊缺陷介質C相當于就是一個法布里-珀羅微腔［18-19］，入射波在微腔內作往返反射和透射，以相同入射角θ入射過來的光線平行透射出去，由于多光束干涉可以得到干涉圖樣。本文中所取參量滿足，則相鄰兩束出射光的光程差為:

式中，θC是C層介質內光線與法線之間的夾角。

當復色光平行入射時，由于多光束干涉，只有在某些特定的頻率附近出現了光強的極大值［20］，即亮條紋，也就是缺陷模，這些光強極大值對應的相鄰兩光束的光程差滿足:

式中，j取整數。相應的角頻率ωj和角頻率間隔Δω分別滿足:

式中，c是真空中的光速。由此可見，每個缺陷形成一系列等頻率間距的缺陷模。由(7)式可知，當缺陷介質C層的光學厚度增大時，相鄰缺陷模的角頻率間隔將減小，同一個禁帶內容納得下更多的缺陷模，相當于缺陷模分裂。為了結合前面的數值計算結果，以下僅考慮正入射情況。

(1)當 n=1，nCdC=1 ×(λ0/4)，且光束正入射時，由(7)式可知，缺陷模的歸一化角頻率和相鄰缺陷模的歸一化角頻率間隔分別為:

(2)當 n=1，即 nCdC=k× (λ0/4)，且正入射時，由(7)式可知，相鄰缺陷模的歸一化角頻率間隔變為:

而根據圖2可知，在本文中所取的模型和結構參量下，當nB=-1.45時，每個禁帶的歸一化角頻率寬度正好為2，因此只含一個缺陷層C時，每個禁帶都容納得下k個缺陷模，這與圖3e、圖3f、圖3g和圖3h一致。

(3)當n≥2，nCdC=1 ×(λ0/4)，且正入射時，每個禁帶內每個缺陷塊C產生一個缺陷模，因此每個禁帶內有n個缺陷模;而nCdC=k×(λ0/4)時，每個缺陷模分裂為k條，故每個禁帶內會出現n×k條缺陷模，于是出現了圖4中每個禁帶內有k組透射峰，每組透射峰由n條缺陷模組成的現象。

值得注意的是，根據上述分析可知，每個缺陷層在禁帶內的缺陷模應以等間距出現，但圖4中的每個禁帶內，同一組透射峰的間距基本相等，而相鄰兩組間相鄰的透射峰間距明顯不等于同一組的間距。這是因為，缺陷個數為n，每個缺陷都產生k個缺陷模，因此每個缺陷對應的缺陷模在k組透射峰的每組里有1條，故相鄰缺陷模間的角頻率間隔應指相鄰兩組透射峰對應缺陷模間的角頻率間隔。那么，缺陷模等間距應指相鄰兩組透射峰對應缺陷模間的角頻率間隔相等(如每一組透射峰從左向右數的第2條透射峰到下一組透射峰的第2條透射峰的角頻率間隔相等，每一組透射峰從左向右數的第3條透射峰到下一組透射峰的第3條透射峰的角頻率間隔相等)。從圖4b～圖4f也可以看出，相鄰兩組的對應缺陷模間的角頻率間隔基本相等，但不是嚴格相等，這可能是因為，缺陷模不僅受到缺陷的影響，還受到整體結構的影響，要從解析公式表示該影響，還有待進一步深入研究。

正好說明了圖2e和圖3e中，每個禁帶內都有一個透射峰，且都位于(ω/ω0)的奇數倍的位置。

4 結論

(1)在本文中所取參量下，每個禁帶的歸一化角頻率寬度為2，每個禁帶內都出現了與各參量相關的缺陷模，具有超窄帶多通道濾波的特性。

(2)當k=1時，隨著(ACB)n重復周期數n的增大，每個禁帶都出現了n條超窄帶缺陷模。

(3)當k≥2，n=1時，每個禁帶內都出現了k條超窄帶缺陷模。

(4)當 n≥2，nCdC=k×λ0/4時，每個禁帶內有k組透射峰，每組透射峰都有n條缺陷模，每個禁帶內總計有n×k條缺陷模，實現了多通道濾波的功能。與相同結構模型和相同結構參量下正折射率光子晶體的透射譜相比，一方面禁帶寬度得到了展開，另一方面，其信道容納能力得到了提高。

對于該光子晶體模型，禁帶內窄帶濾波器的通道數由(ACB)n重復周期數n(也就是缺陷的個數)和缺陷C的光學厚度nCdC共同決定。根據所需傳輸信息的信道數和信息所處的波段，可以調整缺陷的個數和厚度，以及其它介質的厚度，使光子晶體的結構滿足信息傳輸的需求。這對基于1維光子晶體窄帶多通道濾波器的設計和制備具有一定的參考價值。

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