廣義復空間形式中具有平行平均曲率向量場的予流形

杜鋒，張明波

（1.荊楚理工學院數理學院，湖北 荊門448000；2.湖北大學數學與統計學學院，湖北 武漢430062）

0 引言

設（N，J，g）是復維數為2n的K?hler流形，其中J為復結構，g（或記為〈，〉）為黎曼度量，且x：M→N是實數為2n的浸入子流形.定義為N上的Levi-Civita聯絡和曲率張量，則有：R~（X，Y）Z其中X，Y，Z是N的切向量場.定義TPM為M上p點的切空間，對任意的向量0≠Xp∈TpM，J（Xp）與切空間TpM的夾角記為θ（Xp），稱為Xp的 K?hler角.若角θ（Xp）使得0≤cosθ（Xp）≤1，且與Xp∈TpM的選取無關，則稱子流形M是等K?hler角的.這個概念首先被Chern-Wolfson［1］引入到K?hler曲面N的浸入實超曲面M中，在這種情況下一個K?hler角就是M中度量每一點的切空間TpM和復子空間Tx（p）M的偏離程度的一些函數.在文獻［2］中，Chen介紹了一種具有常等K?hler角的子流形，稱之為slant子流形［3-4］.而Holomorphic和Lagrangian子流形分別是cosθ＝1和cosθ＝0的特殊slant子流形，因此，研究具有等K?hler角的子流形在什么條件下會成為holomorphic子流形或者Lagrangian子流形就是一個很自然的問題.

在文獻［5］中，Li對具有常holomorphic截取率4c的復空間形式中具有平行平均曲率向量場的子流形分類做出了如下結果：

命題1.1 設N是具有常holomorphic截取率4c的2n的維復空間形式，而M為N中具有等K?hler角的實的2n維浸入閉子流形，如果M上的平均曲率向量場是平行的.則有：

1）當c＞0時，M或者是holomorphic子流形或者是Lagrangian子流形；

2）當c＝0時，M上的一般K?hler角必為常數.

Gray-Vanbecke［6］引入了常數型的近K?hler流形的概念.在此基礎上，定義了具有常holomorphic截取率c和常數型α的RK-流形N（c，α）和廣義的復空間形式N（f1，f2）.如果一個近Heimitian流形的曲率張量滿足：

其中f1，f2為N上的光滑函數，則稱N為廣義復空間形式，記作N（f1，f2）.若即為RK-流形N（c，α），而若為復空間形式N（c），可以看出N（c）?N（f1，f2）.

本文中將命題1.1的相關結論推廣到上述定義的廣義復空間形式上，從而得到

定理1.2 設N（f1，f2）為2n維的廣義復空間形式，而M為N中具有等K?hler角的實2n維浸入閉子流形.如果M上的平均曲率向量場是平行的，則有：

1）對任意的f1，當f2＞0時，M或者是holomorphic子流形或者是Lagrangian子流形；

2）對任意的f1，當f2＝0時，M上的一般K?hler角必為常數.

1 預備知識

在本節中，我們將介紹一些關于廣義復空間形式的基本內容，具體情況可參看文獻［7］.

設（N，J，g）是復維數為2n的K?hler流形，其中J為復結構，g（或記為〈，〉）為黎曼度量，g與J是相容的.而x：M→N是實維數為2n的浸入子流形.M的度量是由N的度量誘導所得.定義和B，分別為M上由N誘導的Levi-Civita聯絡，法聯絡，Weingarten算子和子流形M的第二基本形式.TM和T⊥M分別為M的切叢和M在N上的法叢.

由子流形的知識可知形狀算子和第二基本形式之間有關系數式：

對任意的X∈TM，v∈T⊥M，有：

這里PX（tv）和NX（fv）分別為JX（Jv）的切向量場和法向量場.

當復結構J和g正交時，以下公式成立：

又因為在N上，J和平行，沿著切向量場X∈TM求微分，則可以得到切向和法向分量分別在：

現在我們假設x：M→N是具有K?hler角θ的浸入，則有：

cosθ是M上的局部Lipschitz函數，且在M的開集上是光滑非退化的.如果開集上沒有holomorphic和Lagrangian點，則可以選取TM上局部正交標架場｛e1，…，e2n｝，使得：

和T⊥M上的局部正交標架場，使得：

利用（3）式和（4）式也可得到：

由（5）式，?X，Y，Z∈TM，有：

以下我們約定指標：α，β，γ，…∈｛1，…，2n｝和i，，j，，k，…∈｛1，…，n｝.而第二基本形式的分量記為將X＝eα，Y＝ek和Z＝en＋l代入（9）式中，再利用（7）式，直接計算可以得到：

這里的Γγαβ是M的聯絡系數，定義為

2 定理1.2的證明

為了證明本文中的主要結論，我們先介紹一個引理，并給出其證明.

引理2.1 設L＝｛p∈M｜cosθ＝0｝.而L0是L中的最大開子集，N（f1，f2）為2n維的廣義復空間形式，而M為N中具有等K?hler角的實2n維浸入閉子流形.如果M上的平均曲率向量場在N上是平行的，則在L0∪（M-L）上，有

引理2.1的證明 設0≤cosθ≤1，則可選取在第二節中的正交標架場.定義函數F如下：

可得：

由（5）式和（7）式，再選取第二節中所取的標架場，可以得到：

由上式，可以得到：

通過與上式類似的計算，可以得到：

再由Codazzi方程可知：這里H＝trB是M的平均曲率向量場.因此，由（14～16）式，可以得到：

所以

以下，將計算（18）式，根據第三節中選取的標架場，直接計算，可以得到：

類似地，可以得到：

于是，可得：

由于f是斜對稱的，再由（19）式和（20）式，可得：

再在（20）式中，令k＝l，可以得到

常見的斷面形式主要有梯形、矩形、拱形。實際截割時，具體的截割工藝隨著巷道大小和形狀的變化而有所不同。斷面截割的方式一般是首先截割出一個大致的輪廓，再慢慢修正，直到形成預期的斷面效果，在斷面成形的過程中主要依靠工作人員的經驗或者卷尺等工具來完成，所以存在很大的隨機性和經驗性。因此，采用先水平后垂直的循環截割方式，如圖2中所示的S形截割路線[7-8]，從斷面的最下面鉆進開始截割，按照路徑順次向上截割，最后進行擴幫，完成一次斷面截割(以矩形巷道為例)。

由此，可得：

選擇合適的坐標標架場，可以得到

再次選擇合適的坐標標架場，可以得到

由（23）～（25）式，可以得到：

由（1），可以得到：

當平均曲度向量場H是平行的，由（26）～（29）式可以得到：

由于（30）式與局部標架場的選取無關，因此，對?p∈M，可以通過選取局部法坐標系，使得Γγαβ（p）＝0，此時可以得到A＝0，同時通過直接計算可以得到：

將A＝0和（31）式代入（30）式，可以得到：

由此可知引理是成立的.

證明了引理后，下面我們將給出定理1.2的證明.定理1.2的證明 由Δcosθ≤-6f2sin2θcosθ.我們可以得到：

1）當f2＞0時，對上式在M上進行積分，再注意到cosθ≥0，可知

由此可知sinθ＝0或者cosθ＝0，則此時，M或者是holomorphic子流形或者是Lagrangian子流形.

2）當f2＝0，可以得到

由極大值原理，可知cosθ是常數，因此具有常K?hler角.

因此，定理1.2得證.

［1］Chern S S，Wolfson J G.Minimal surfaces by moving frames［J］.Amer J Math，1983，105：59-83.

［2］Chen B Y.Geometry of slant submanifolds［M］.Louvain：Katheolieke University Leucen，1990.

［3］Chen B Y.CR-submanifolds of a K?hler manifold［J］.J Differential Geom，1981，16（2）：305-322.

［4］Li G，Wi C.Slant immersions of complex space forms and chen inequalities［J］.Acta Math Csi，2005，25B（2）：223-232.

［5］Li G.Submanifolds of complex space forms with parallel mean curvature vector fields and eaual K?hler angles［J］.Indian J Pure Appl Math，2004，35（6）：759-769.

［6］Gray A，Vanhecke L.Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature［J］.Casopis Pest Mat，1979，104：170-179.

［7］吳傳喜，李光漢.子流形幾何［M］.北京：科學出版社，2002.