運用“一題多解” 提高復習效率——數學思想與方法的融合

◆陳興國

(杭州市公益中學)

教育家蘇霍姆林斯基說過:“真正的學校是一個積極思考的王國?！睌祵W教學中，高效的復習課堂特別重視學生拓展性思維能力的培養，這已是所有教師的共識。要培養學生進行靈活思考，多角度看問題，多方位處理問題進行拓展性思維，其主要方法就是拓寬思路，一題多解，善于聯想，發散思維。特別針對中學幾何證明和求解的多樣性，要求學生在做題時能善于觀察、思考，從不同角度分析問題，力求靈活駕馭所學知識。一個數學問題，如果我們只有一個解法，無論是自己想出來的還是查答案看到的，都或多或少會存在認識上的局限性。只有在得出兩個或多個解法后，學生才能對問題的實質有真正的了解，通過解題而加強知識之間的聯系以形成知識網絡，從而培養解題能力的目的才有可能得以實現。我們僅以下面這道題目來說明這個道理。

本題的第(1)問相對比較簡單，這里就不展開介紹，給出一種參考答案如下:

第(2)問解法一:

分析:由已知條件直徑AB=2，再利用角平分線性質過點E作EF⊥AB于點F，根據勾股定理、三角形相似可求出相應線段長度及關系。

解如圖2，過點E作EF⊥AB于點F

解法二:

分析:如圖3，可以找AE中點M，根據直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得AE=2CM，然后作CH⊥AE根據相似求得，再由CM、CE之間的關系求出答案。

解:如圖3，找AE的中點M且連接AM，作CH⊥AE交AE于點H，

∵AB是直徑，∴AC⊥BC，∴Rt△ACE中AE=2CM ，AM=CM，

又∵CH⊥AE，AD⊥BD∴CH∥BD ∴△CHE ～△BDE，

又∵ Rt△MHC 中∠CMH=22.5 o×2=45 o

解法二巧妙地利用相似找出DB與CH的關系，由CH與CM的關系發現CM=DB，再通過直角三角形斜邊上的中線的性質得出AE是CM的2倍，從而得到的比值。這里利用線段CE、CM為橋梁，培養了學生一種“轉化思想”。

解法三:

分析:如圖4，連接OD交CB于點P，根據OD∥AC可以推得

解:連接OD交CB于點P，∴OD∥AC，

∴∠DPB=∠ACB=90° 又∵∠DBP=∠CAE ∴△CAE～△BDP

解法四:

分析:我們可以先把△ACE獨立出來，在Rt△ACE中求出tan22.5°的值，然后根據三角函數值直接計算出相應線段的長度，這種先求出基本圖形的函數值再求解的方法在解題中應用比較廣泛，值得我們所關注。

解:如圖5，在Rt△ACB中因為AE平分∠CAB，

解法四把復雜圖形簡單化。根據這個圖形里面都有22.5°的Rt△，我們先把這個22.5°的Rt△從中抽象出來，然后由這個基本圖形的模型分析出他們對應的數量關系，再把這些數量關系帶回到原有圖形中求出的值，培養了學生一種“建模思想”。

由此例可見，在平時的數學教學中，教師不但要教會學生常規解題的方法，還應向學生提出“一題多解”的問題。這道例題第二小問的六種解法或利用了三角形角平分線的性質、三角形中線的性質、三角形相似的性質、角平分線的性質等求解，或利用了添加不同的輔助線、利用不同的已知條件求解。在這種多種幾何圖形組合的問題中，往往蘊含著多種幾何性質，由此必然蘊含著多種解題思路。

通過對一道題探究多種解法的訓練，不僅能夠激發學生的學習熱情，還提高了學生的思維發散能力，加深了對知識深層次的理解，同時也給學生提供了合作交流與競爭的平臺。這樣的課堂是高效的課堂，是一種精神與思想的陶冶與洗禮的課堂，對師生均是一種享受。這樣的課堂不僅鞏固了學生平時所學的基礎知識，也對這些知識進行了靈活的綜合運用，同時又培養了學生的獨創思維，拓寬了解題思路，提高了數學能力。另外，一題多解對促進分層教學也是一種有益的嘗試，班級授課通常采用的單一解法有時不能滿足學生個性化的需求，一題多解正好能夠彌補這方面的不足。

總之，“一題多解”指導思想的根源在于引導學生多反思題境，多總結方法并對所涉及的知識進行剖析、歸納、總結，就能在頭腦里形成一個比較完整的知識體系，從而提高運用知識、駕馭知識的能力從而達到提高課堂復習的效率?！皩W而不思則罔”，只有通過學生盡可能多的反思自己的解題，才能促進學生提高解決實際問題的能力。

［1］周紅曼.一題多解，提高復習的效率［J］.中學生數理化?教與學，2011，(4).

［2］王育財.拓寬思路一題多解［J］.數學教學與研究，2012，(5).

［3］袁建華.注重一題多解構建知識網絡［J］.中學教學參考，2009，(12).