數學模型在管理會計中的應用研究

林 丹，張 坤

（中南財經政法大學a.會計學院；b.統計與數學學院，武漢430073）

數學模型在管理會計中的應用研究

林 丹a，張 坤b

（中南財經政法大學a.會計學院；b.統計與數學學院，武漢430073）

管理會計是一門會計學與現代管理學及高等數學相結合的交叉型學科。五類管理會計學中常用的典型模型（盈虧臨界、數學分析、數學規劃、矩陣代數、概率統計模型）都建立在一些理想化的假設之上，對于實際情況，可以靈活修正一些限制條件以使情況符合；五類模型也并非完全獨立的，對于一個復雜具體的管理會計問題，往往需要綜合使用其中幾種模型。

數學模型；管理會計；數理原理；適用性

一、引言

會計學是一門反映經濟活動中以價值表現的經濟數量關系的科學，管理會計是一門會計學與現代管理學及高等數學相結合的交叉型學科，它的理論基礎是成本性態、本量利分析，主要致力于利用先驗信息來控制經濟活動、預測，最終提供決策參考，保證以最少的投入取得最大化的經濟效益?，F代管理會計的諸多理論和方法都是基于嚴密的數學推導而形成，在此，主要討論在現代管理會計學中應用較為廣泛的數學模型。

對于具體的管理會計問題，使用的數學模型在形式上具有較大差異，目前使用較多的模型有：邊際分析、回歸分析、馬爾可夫鏈預測、屬性數學、蒙特卡羅模擬等方法。如吳立煦（1981）將邊際分析、回歸分析等方法應用于聯產品最優產量的成本計算、未確定銷售量的保本分析、成本的估計和控制三個方面。宋小明（2009）分別利用回歸分析預測產品制造中的成本和銷售額，利用層次分析法評價企業財務狀況、投資效益，利用具有吸收狀態的馬爾可夫鏈預測經營狀況。并提出“經濟定貨量”模型、“經濟生產量”模型、敏感分析、彈性分析等模型分析方法在管理會計中都有著不同的應用。張秋生（2012）分別利用回歸直線模型預測混合成本分解及成本，利用導數進行企業存貨規劃決策，利用復利與年金對投資進行決策。孫麗艷，苗成林（2008）采用屬性數學模型對會計質量對象空間的元素根據其測量的指標進行評價，將其元素等級劃分或歸為某一評價類，從而為加強會計質量管理、提高會計質量提供了良好的平臺，最后依據評價模型對今后需要做的工作提出建議。溫素彬，周鎏鎏（2014）認為現實投資決策具有時期長、風險大、隨機性強等特征，基本的確定性投資決策模型很大程度上不具有決策相關性和操作可行性，于是，撰文運用Excel的高級計算功能，針對投資決策中的隨機性特征，設計投資決策的蒙特卡羅模擬模型，以便為同類決策提供借鑒。由此可見，數學模型在現代管理會計領域具有廣泛的應用，但目前尚沒有一篇文獻對這些文獻進行歸納整理，即時有一些文獻做了整理的工作，也只是簡單羅列，并沒有陳述依據、進行深入分析。

以上模型雖在形式上具有較大差異，但其本質都可以歸為五類：盈虧臨界、數學分析、數學規劃、矩陣代數、概率統計模型。

二、五類典型的數學模型及其應用

（一）盈虧臨界模型

盈虧臨界模型運用一般代數的分析方法對企業生產過程中的“盈虧平衡點”進行分析，考慮當“總成本等于總收益”時的臨界情況，求出盈虧臨界點的銷量，并據此做出是否進行生產以及產量的決策，下面對該模型的求解過程進行詳細論述。

假設企業的整個經營過程僅包含生產、銷售兩個環節，不考慮稅收、營業外收支等額外因素。并且有以下基本量：總成本C（其中固定總成本為C0，單位變動成本為V）、利潤L、收益R、價格p、產品銷量q，則L=R-C，企業有生產積極性的條件是L>0。此時考慮當L=0的臨界情況，此時有如下方程組成立

解之，即得盈虧臨界點的銷量為q0=C0/(p-V)。因此，當q0>C0/(p-V)時，企業的利潤大于0，為盈利狀態；當時q0

（二）數學分析模型

管理會計學中常用的幾個函數是需求、供給、收益、成本、利潤函數，而邊際、彈性分析是常用的兩種數學分析模型，下面以企業的供給過程以及利潤函數來說明邊際、彈性分析的經濟學含義。

1.邊際分析

微積分學中用導數來解釋“邊際”的概念，下面以由總成本求導計算邊際成本的過程來說明“邊際”的經濟學含義。

邊際成本的經濟學含義為：當既有產量為q時，再增加生產1單位產品應增加的總成本。即總成本對產量的變化率。

根據邊際成本的意義和導數的概念，一般有以下結論：

（1）邊際成本僅與變動成本有關，與固定成本無關；

（2）如果某產品的單價為p，則當C′(q)p，則應立即停止增產，要致力于改進產品質量，提高出廠價格或降低生產成本。

對于邊際收益、邊際利潤的概念均有以上類似的推導模式。

根據盈虧臨界模型中的分析，利潤L=R-C，那么，對于一般的利潤最大化的最優化問題，可以令L′=R′-C′＝0，求出對應的產量就是使得企業獲得最大化利潤的臨界產量。

2.彈性分析

“彈性”的概念最初由阿爾弗萊德·馬歇爾提出，是指一個變量相對于另一個變量發生的一定比例的改變的屬性。供給價格彈性是反映當價格變動時，相應商品的供給量變動對價格變動的靈敏程度；類似的，需求價格彈性是反映當價格變動時，相應商品的需求量變動對價格變動的靈敏程度。

一般情況，因假設供給函數q=f(p)是單調增加的，即f′(p)>0，又p>0，f(p)＞0，所以，供給價格彈性ES取正值。設商品價格為p時，供給量為q，供給價格彈性的經濟學含義是：在價格為時，若價格提高或降低1%，供給量將由q起增加或減少%。

（三）數學規劃模型

數學規劃模型又稱為最優化模型，主要包括：線性規劃、非線性規劃、整數規劃、目標規劃、多目標規劃、動態規劃模型、層次分析法等。其中較為典型的就是線性規劃模型、層次分析法。

1.線性規劃法

線性規劃模型的一般形式為

其中，（1）式為決策目標，（2）式為約束條件，是線性規劃問題兩個必不可少的要素，因此，在實際運用過程中，線性規劃模型必須滿足如下3個條件：決策目標可以用數據指標進行衡量；實現決策目標有多種可選方案；決策目標的實施有若干約束條件并且也是可以量化的。

線性規劃模型主要應用于如下幾個領域：制定銷售計劃（如競爭性定價等）、制定生產計劃（如配料、產量決策等）、庫存管理（如物資庫存量的合理分配等）、投資管理（如預算、成本分析、證券管理等）。線性規劃模型的求解需要用到數學分析模型的相關方法，如線性規劃中的影子價格、靈敏度分析就屬于偏導數的一種應用，因此，線性規劃法并非是一種完全獨立的方法。

2.層次分析法

層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP）也是一種應用較多的數學規劃模型，它是由美國匹茲堡大學教授A.L.Saaty于20世紀70年代提出的一種系統分析方法。層次分析法主要依靠整理和綜合人們的主觀判斷，使定性、定量分析有機結合，實現定量化決策，主要解決多因素復雜系統，特別是難以定量描述的社會系統的分析方法，體現了“先分解后綜合”的系統思想。

層次分析法的基本思想是：（1）將目標問題層次化，根據問題的性質和要達到的總目標，將問題分解成不同的組成因素；（2）按照因素間的相互關系及隸屬關系，將因素按不同層次聚類組合，形成一個多層分析結構模型；（3）歸結為最低層（方案、措施、指標等）相對于最高層（總目標）相對重要程度的權值或相對優劣次序的問題。

不過，層次分析法也具有如下局限性：（1）只能從原有的方案中優選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案；（2）該法中的比較、判斷以及結果的計算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題；（3）從建立層次結構模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響很大，這就使得結果難以讓所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點的一種途徑。

（四）矩陣代數模型

投入產出模型是典型的矩陣代數模型，它是計劃經濟時代的產物，主要應用于宏觀經濟中分析研究經濟各部門之間的聯系和平衡關系。

投入產出模型主要研究一個經濟系統各部門間的“投入”與“產出”關系，該方法最早由美國著名的經濟學家沃西里·里昂惕夫（W.Leontief）提出，是目前比較成熟的經濟分析方法，主要有產業關聯分析、價格影響分析、局部閉模型、投入產出乘數分析四個方面的建模方向。

“投入”即指從事一項經濟活動的消耗，“產出”即指從事經濟活動的結果。在會計學中，利潤即經營成果為收入減費用。而在統計中，成果就為產出和投入間的差值。投入產出數學模型就是通過編制“投入產出表”，運用線性代數工具建立數學模型，從而揭示國民經濟各部門、再生產各環節之間的內在聯系，并據此進行經濟分析、預測和安排預算計劃。按計量單位不同，該模型可分為價值型和實物型。圖1所示就是一種較為常見的投入產出表。

表1 一種常見的投入產出表

投入產出表描述了各經濟部門在一定時期內的投入產出情況，行表示某部門的產出，列表示相應的投入。如表1所示，第一行x1表示部門1的總產出水平，x11為本部門的使用量，x1j(j=1，…，n)為部門1提供給部門j的使用量，各部門的供給最終產品為y1j(j=1，…，n)。這幾個方面投入的總和代表了該時期的總產出水平。

表1中存在兩個方向的平衡方程，分別是從上到下的投入平衡方程：轉移價值＋新創造價值＝總產出

從左到右的產出平衡方程：中間產品＋最終產品＝總產品

投入產出模型雖然產生于計劃經濟時代，但仍適用于市場經濟時代的經濟活動。在計劃工作中，投入產出模型可以用于從最終產品出發編制各部門計劃方案，在計劃編制或計劃執行中解決缺口或盈余問題，在經濟分析中可以用于結構分析、編制經濟計劃和進行經濟調整、研究工資（稅收）變動對各部門產品價格的影響，等等。李志軍（2013）認為投入產出模型是現代企業管理工作者對企業進行科學管理的非常適用而且實用的研究方法和依據，是現代經營管理工作者所不可缺少的經濟數學工具。投入產出模型在企業預測規劃、生產系統控制調整方面具有廣泛的應用。

（五）概率統計模型

1.概率模型

影響事物變化的因素主要分為兩類：確定因素和隨機因素。如果根據建模背景、目的和手段可以確定主要因素，而可以忽略隨機因素，或者隨機因素的影響可以被簡單處理，那么就能夠建立確定性模型；如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮并且是較為復雜的，就應該根據隨機變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型—概率模型（Probability Models）。

2.統計模型

由于人們認識程度的限制，客觀事物的內部規律性常常很難被正確認知，因此也無法分析實際對象內在的因果關系、建立合乎機理規律的模型。那么通常要搜集大量的歷史數據，基于對數據的統計學分析建立統計模型（Statistical Models），以期從對先驗信息中總結出一定的規律并對未來進行一定精度的預測。

概率模型與統計模型之間并不是完全獨立的兩種分析方法，實際的管理會計問題中，常常將兩者交互使用。財務的預算籌劃工作是企業的管理會計工作中的一項重要內容，而歷史數據往往復雜繁多，缺乏規律性，同時由于隨機因素的存在，使各變量之間的關系具有某種不確定性而無法得到精確的關系表達式。這時常常需要使用概率統計的方法，在大量的試驗和觀察中，尋找隱藏在隨機變量后的統計規律性，即變量之間的相關關系。

回歸預測分析法是一種典型的統計方法，其主要建模步驟為：（1）根據已知數據從常識和經驗分析，輔之以作圖，決定回歸變量及函數形式（先取盡量簡單的形式)；（2）用軟件（如MATLAB統計工具箱）求解；（3）對結果作統計分析；R2、F、p、s2是對模型整體評價，回歸系數置信區間是否含零點檢驗其影響的顯著性；（4）模型改進，如增添二次項、交互項等；（5）對因變量進行預測。

3.統計量

統計量是概率統計模型中一個重要的概念，主要是指統計理論中用來對數據進行分析、檢驗的變量，主要包括：樣本均值、樣本方差、樣本標準差、樣本k階原點矩、樣本k階中心矩。其中，樣本均值和樣本方差是概率統計方法中使用較多的兩個重要的統計量，在風險決策中具有廣泛的應用，如風險投資管理中的Markowitz模型。

[1]張俊瑞.略論數學與會計學的關系[J].陜西財經學院學報，1986(1).

[2]宋小明.論數學與會計理論的發展[J].財會通訊，2009 (10).

[3]吳立煦.數學方法在管理會計中的一些應用[J].外國經濟參考資料，1981(2).

[4]張秋生.數學建模在管理會計中的應用[J].佳木斯教育學院學報，2012(3).

[5]孫麗艷，苗成林.評價會計質量的屬性數學模型[J].中國管理信息化，2008(24).

[6]溫素彬，周鎏鎏.管理會計中Excel的高級應用——長期投資決策的蒙特卡羅模擬模型的設計與應用[J].財務與會計，2014(10).

[7]李志軍.基于投入產出數學模型的企業管理問題研究[J].數學學習與研究，2013(3).

［責任編輯：高 瑞］

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1005-913X（2015）03-0090-03

2015-01-21

湖北省經濟管理大學生創新活動基地創新實驗與實踐項目（12EMSS24）

林 丹(1985-)，女，湖北黃岡人，碩士研究生，研究方向：會計學；張 坤(1992-)，男，浙江寧波人，碩士研究生，研究方向：數量經濟理論及應用。