深刻理解教學內容，預設追問促進生成——以“勾股定理”教學設計為例

☉江蘇省南通市啟秀中學 吳 敏

深刻理解教學內容，預設追問促進生成
——以“勾股定理”教學設計為例

☉江蘇省南通市啟秀中學 吳 敏

文1、文2分別從實驗教學、操作拼圖的角度對勾股定理起始課教學給出富有啟發的教學設計，受此啟發，筆者也將近期執教的一節“勾股定理”的教學設計梳理如下，并解讀各欄目的設計意圖，提供研討．

一、勾股定理教學設計

1.結合歷史，引出特例

情境引入：古希臘數學家畢達哥拉斯在朋友聚會時，發現腳下的地磚具有某種性質（如圖1）．

預設：畢達哥拉斯發現等腰直角三角形三邊之間的數量關系．

板書：命題1：如果直角三角形的兩直角邊分別為a和a，斜邊長為c，那么a2+a2=c2.

2.探究發現，形成猜想

問題：畢達哥拉斯在發現了等腰直角三角形的三邊具有這樣的關系后，又進一步地往下思考．同學們，你們知道畢達哥拉斯又在思考什么嗎？

預設：等腰直角三角形是特殊的直角三角形，應該考慮一般的直角三角形是否也有這樣的結論．

板書：命題2：如果直角三角形的兩直角邊分別為a和b，斜邊長為c，則有a2+b2=c2.

預設：如圖2，提供方格紙（每個小正方形方格的面積均為1），在方格紙上有一個非等腰的直角三角形．設它的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么我們現在仍然用面積法來證c2=a2+b2，也就是要證明什么？（SA+SB=SC）

問題1：你如何計算圖2中正方形A、B的面積？（數格子即可）

問題2：你如何計算圖2中正方形C的面積？由此可知什么結論？（兩種方法：割或補．其中割法即為弦圖，可由學生討論）

追問：這樣我們能不能說這個命題得到證明了呢？如果是另外的情況，能否也用剛才的方法來說明呢？（不行，因為無法利用方格圖了）

3.利用弦圖，證明命題

介紹勾股弦圖，為了研究的需要，標注一些字母，即兩個邊長分別為a和b的正方形拼成一個圖形.

問題1：如圖3，這時圖形的面積為多少？（a2+b2）

如圖4所示，割出兩個邊長均為a和b的長方形；將這兩個長方形分割成兩個全等的直角三角形，這些直角三角形都是全等的，并且它們的直角邊均為a和b，斜邊我們設為c；將其中的兩個直角三角形繞頂點旋轉至如圖5位置．

問題2：這時形成了什么圖形？（正方形，并簡要證明，并說明這個圖形就叫“弦圖”）邊長是什么？（c）面積是多少？（c2）

預設：可以得出什么結論？（拼成的正方形面積等于原邊長為a、b的兩個正方形面積之和，即a2+b2=c2）于是我們通過對圖形割補拼的方法，利用面積的關系，證明了命題1是真命題．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，因此我國將其稱為“勾股定理”．

板書：將“命題2”改成“勾股定理”．

勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a和b，斜邊長為c，則有a2+b2=c2.

4.討論交流畢達哥拉斯證法

介紹：畢達哥拉斯學派也用類似的方法證明過勾股定理，他們是利用四個以a和b為直角邊，c為斜邊的直角三角形（如圖6），三個分別以a、b、c為邊的正方形（如圖7）.拼成兩個面積相等的正方形（如圖8、9）.

問題：你能否利用這兩個圖形來證明勾股定理嗎？（用兩個圖形或只用右邊一個均可證明，用一個圖形證明需要有乘法公式的基礎）

5.定理分析，簡單運用

問題1：定理的題設是什么？（直角三角形，∠C=90°：反映“形”）結論是什么？（a2+b2=c2：反映“數”）因此勾股定理是“數”“形”結合的一個數學模型.

勾股定理的公式：a2+b2=c2是一個不定方程，解有無數個，若知道直角三角形的兩條邊，就可以求第三邊.

二、教學設計的整體解讀

1.深刻理解教學內容，挖掘勾股定理的人文價值

本節課是人教版（義務教育課程標準數學實驗教科書）八年級（下）“勾股定理”第1課時，是直角三角形相關知識的延續，同時也是學生學習解直角三角形和學習銳角三角函數的基礎，充分體現了數學知識承前啟后的緊密相關性、連續性.勾股定理是幾何中最重要的定理之一，揭示了直角三角形三邊之間的一種數量關系，為發展學生的數形結合思想提供了思維平臺.此外，歷史上勾股定理的發現反映了人類杰出的智慧，勾股定理在數學的發展與現實世界中有著廣泛的作用，其中蘊含著豐富的科學和人文價值，對于激勵學生對數學學習產生興趣具有重要意義.從研究方法而言，勾股定理的探索發現過程，是從特殊到一般的認識過程，學習用以“形”證“數”的方法證明勾股定理，是“數”與“形”相結合的一個數學模型，有利于培養學生的合理猜想能力，拓展學生推理論證的視野.

2.從理解學生的角度出發，預設教學活動和跟進追問

八年級學生已經具備一定的觀察、歸納、探索和推理的能力.在小學已經學習了幾何圖形面積的計算方法——割補法，但運用面積法和割補思想解決問題的意識和能力還遠遠不夠.部分學生聽說過“勾三股四弦五”，但并沒有真正認識什么是“勾股定理”.本節課的學習重點在于勾股定理的證明，而證明的思想大部分都基于面積的割補拼接，多媒體的作用即體現于此，利用形象的PPT動畫向學生演示弦圖的生成過程，有利于學生在自己的大腦中對思考內容進行比較和驗證，加深對面積法的印象與理解.

3.加強教學對話、互動生成，注重數學思想方法滲透

從上面的教學設計來看，我們預設了大量的互動式的教學活動，并積極與學生對話，促進教學生成；同時在與學生對話、追問之中，引導學生體會、感受數學思想方法，比如從等腰直角三角形到一般直角三角形，滲透了從特殊到一般的數學思想.在勾股定理證明之后，引導學生思考勾股定理揭示出的“形”“數”之間的關系，滲透數形結合思想.

三、結束語

勾股定理是千古第一定理，她的教學更是很多同行研討的熱點，文2中曾說“要想看一個數學教師的基本功，就讓他教勾股定理”，此言不虛，我們對勾股定理教學的探索實踐只是開始，遠未結束，將來的教學生活中還會碰到，還要加強研討，爭取更深刻地理解教學內容，預設出既貼近學生實際，又過渡自然的教學設計.

1.萬廣磊．基于數學實驗的勾股定理教學實踐［J］．中學數學（下），2015（4）.

2.冒劼．有效先學·踴躍展示·啟發思考——勾股定理（第1課時）教學設計與解讀［J］．中學數學（下），2015（7）.Z