用向量模型說明“負負得正”

☉湖北省黃石市第二十一中學 柯賢力

用向量模型說明“負負得正”

☉湖北省黃石市第二十一中學 柯賢力

怎樣說明“負負得正”？什么樣的說明“負負得正”的模型是最好的模型？不少專家同行對此做了比較深入的研究，但到目前為止也沒有一個最好的答案.下面是筆者結合平時教學實踐對說明“負負得正”的模型教學的一點淺顯看法和做法.

一、背景分析

1.說明“負負得正”的必要性

“負負得正”的說明是“有理數的乘法”這一課時的難點，注意到“負負得正”是有理數四則運算的一項重要規定，遵守規則，運算就能夠順利進行，這節課把側重點放在法則的運用上無可厚非.但如果我們不講為什么，對這一難點問題避而不談，只說“負負得正”是一種規定，讓學生記住并能運用就可以了，這種講法明顯不太符合學生的認知規律.前一節剛剛在水平數軸上用向東、向西來學習加法法則，似乎頭頭是道，而乘法法則卻說是硬性規定，這樣一來學生肯定就不好接受了.“雜交水稻之父”袁隆平院士說過：“我最喜歡外語、地理、化學，最不喜歡數學，因為在學正、負數的時候，我搞不清為什么負負相乘得正，就去問老師，老師說‘你記得就是’；學幾何時，對一個定理有疑義，去問，還是一樣的回答，我由此得出結論，數學不講道理，于是不再理會，對數學興趣不大，成績不好.”數學原本就是這樣？還是我們的數學教學使之然？作為數學老師，我們是要好好的反思.我們還是要對“負負得正”有些“說明”，用一些實際事例和實踐模型來幫助學生理解“負負得正”的規律是符合實際的，只有這樣學生才會真正對之認同和信服，這樣的課才是一節真正的數學課.

2.說明“負負得正”要注意的四個問題

（1）說明“負負得正”的模型不能離開實際問題背景，任何憑空高談闊論或者是一味的數學推理的處理方式都是初一學生最不喜歡的，也是他們不愿意接受的，如：

相反數模型：5×3=5+5+5=15；（-5）×3=（-5）+（-5）+（-5）=-15.所以，把一個因數換成它的相反數，所得的積就是原來的積的相反數等這類模型就完全屬于此情形.

（2）說明“負負得正”的模型應符合學生的認知規律，盡量減少學生理解困難的因素.如蝸牛爬行模型（氣溫變化模型）對“負負得正”問題的處理是我國五十年代初中數學課本的做法，由于涉及速度和時間兩個因素，而且需要考慮在指定時間以前的運動物體的位置，學生實際上是不容易理解接受的.

（3）說明“負負得正”的模型盡量與說明有理數的加法運算法則的模型相呼應，體現有理數加法、乘法運算法則的一致性和完整性.像數軸模型，應該是一個能向學生說明“負負得正”的較好的模型，但在與有理數加法教學的銜接上，是不夠完美的.

（4）說明“負負得正”的模型應該具備一定的理論背景.如好孩子模型、向后轉模型雖然很切合實際，學生聽后也樂于接受和認同，但它們只能作為一種事例驗證，因為它們在理論上是站不住腳的.

二、筆者的模型設計——向量模型

綜合以上背景分析，筆者選擇以德國中學數學教材中的向量模型為基礎，同時設置了一個彈簧伸長實驗的問題情境，說明為什么“負負得正”.從筆者的教學實踐來看，相比較而言，這一處理方法能從實際問題背景出發，所涉及問題學生也易于接受和理解，符合學生的認知規律，也注意了與有理數加法教學的銜接，更與高中的向量法則學習同出一轍，具備理論背景.在學生歸納出有理數的乘法法則后，筆者再讓學生通過日常生活中的事例來說明“負負得正”，隨后筆者舉出一個生動的“向后轉”模型事例，堅定學生對“負負得正”這一事實的認同.具體設計如下（僅摘選筆者的教學流程設計中的前兩個環節）：

1.創設情境

先向學生出示一根長為2分米的彈簧，固定彈簧的一端，強調這一端是不能動的，拉另一端使彈簧往不同方向伸長.

出示問題1：（邊說邊演示）約定：彈簧移動端向東時為正，移動端向西時為負.當彈簧移動端向東時，其原始長度可記為_________，彈簧移動端指向西，彈簧伸長后的長度為3分米時，其長度可記為_________.

設計意圖：這樣設計主要是幫助學生回顧和體會前面所學的正、負數的意義，體驗數學與生活的密切聯系，增強學生學習數學的興趣和參與程度，并為學生探究乘法法則創設探索的情境.

2.探究歸納

出示問題2：再約定：當拉伸方向與移動端指向一致時稱為正向拉伸，記為正；當拉伸方向與移動端指向相反時稱為反向拉伸，記為負.當彈簧分別作如下四種情況下的拉伸時，結合上述相反意義，你能求出彈簧最終的長度嗎？

（1）開始時彈簧移動端向東，并正向拉伸至原來的3倍.

（2）開始時彈簧移動端向東，并反向拉伸至原來的3倍.

（3）開始時彈簧移動端向西，并正向拉伸至原來的3倍.

（4）開始時彈簧移動端向西，并反向拉伸至原來的3倍.

具體活動：（1）實驗探究：教師通過演示實驗，讓學生說出每一種情況中彈簧長度的變化過程及結果，并列式表示.

（2）數軸表示：你能在數軸上畫出以上過程嗎？（課件展示）

（3）歸納概括：類比有理數加法，從以上算式你發現了兩數相乘有什么規律嗎？兩數相乘還有什么特殊情況嗎？你能用以上實驗來說明這種情況嗎？

歸納有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數同0相乘，都得0.

（4）舉例驗證：為了幫助學生進一步地認同“負負得正”這一事實，可鼓勵學生舉例說明：生活中還有哪些事例可以說明“負負得正”？學生經過討論發言后，教師舉出“向后轉”模型事例：規定一個人面朝東為正，面朝西為負.向前看，記為正；向后轉，表示負.現在一個人面朝西，向后轉，此時他面朝東，不就是“負負得正”嗎？

設計意圖：整個探究歸納環節筆者設計了實驗探究、數軸表示、歸納概括、舉例驗證四個階段，其中實驗探究、數軸表示是突破“負負得正”這一難點的關鍵階段.使用這一向量模型說明“負負得正”還有一大優點，那就是它可以使有理數乘法的講法與加法的講法實現完美統一，因為它們都是用有向線段或運動來說明的，上述過程（課件展示）也可以看成是把有向線段（±2）正、反向延長到原來的3倍（或正、反向運動了3次）；這樣一來，就使初中的有理數加法、乘法運算法則與高中的向量的加法、乘法運算法則一脈相承，因此，這種處理方法還為初、高中數學教材的銜接做了一個很好的嘗試，也說明了這種處理方法是具備理論背景的.上述的活動，由淺入深，循序漸進，既繼承了學生思維的延續性，又成功化解了“負負得正”這一難點問題，類比有理數加法法則，有理數乘法法則的歸納也就順理成章了.“向后轉模型”的舉出，更是讓學生對“負負得正”深信不疑，學習熱情高漲.通過一系列數學活動，學生學會把實際語言、圖形語言、符號語言相互轉換，發展用數學方法解決實際問題的能力、數學表示、概括歸納能力，感受數形結合、化歸、模型化、類比和分類討論思想.

1.鞏子坤.“負負得正”教學的有效模型［J］.中學版·教學參考，2010（1）.

2.呂學禮.怎樣講負負得正［J］.數學通訊，1990（9）.Z