☉重慶市云陽江口中學校 王連娜 姜官揚
一道競賽題的再探究
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題目 (2011年北京市初二數學競賽題)如圖1,邊長為1的正方形EHGF在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動,始終保持EF∥AB.線段CF的中點為M,DH的中點為N,則線段MN的長為( ).
文1用三種不同的方法完成了解答,并且給出了八個不同的變式.讀后感想頗多,掩卷之余,總有意猶未盡之感,因此,對如下兩點進行了再思考和探究:一是變式的解答,二是原題的變式題是否只有文1給出的八種情況.現將對這兩點的思考所得,整理成文,呈現于此,供參考.
此解法與文1給出的解法相比,不僅少作了輔助線,而且所用的知識較少,思路自然流暢.
此解法與原解法相比,少作了兩條輔助線,且用到的知識點少,過程也簡潔得多.
此解法比原解法少作兩條輔助線,且解題過程簡單明了.
經過探究發現,除文1給出的8個變式之外,還能得出許多優美有趣的變式題,現略舉幾例.
因為原題中要求邊EF與邊AB平行,若將此要求改為對角線EG與邊AB平行,其余條件不變,又可得:
若將原題中的一個(或兩個)正方形改為矩形、菱形或平行四邊形,其余條件不變,以及在變式18、19、20的基礎之上,還能得出許多變式題,限于篇幅,就不一一例舉.
1.由原題編出新題
原題為選擇題,而選擇題反映不出學生的思維過程,為了考查學生的思維過程,可以將原題改編為:
這些題的證明,限于篇幅,此處略去.
由原題和變式題還能編出許多新題,不再贅述,請有興趣的讀者自己去探討之.
1.張寧.一道競賽題的解法及變式探究[J].中學數學(下),2015(4).H