眾里尋他千百度，最值卻在頂點處——2015年福州卷第26題的思路突破與解后反思

☉江蘇省張家港市鹿苑中學 吳禮紅

眾里尋他千百度，最值卻在頂點處
——2015年福州卷第26題的思路突破與解后反思

☉江蘇省張家港市鹿苑中學 吳禮紅

由于中考數學卷承載了區分選拔功能，而作為全卷最后一題往往倍受關注，本文選取2015年福建福州卷第26題，嘗試從不同角度突破思路，并解后反思，與同行研討．

一、試題解析

二、解后反思

從上面的求解過程中，我們注意到數形結合的分析幫助我們順利解決了第（2）問，而且從數和形的不同角度也加深了我們對第（3）①問的理解，然而第（3）②問的處理還是略顯晦澀，只是從數的角度給出最值解釋，而且湊巧的是，兩條線段和、積的最值都在拋物線頂點處獲得，這是一種巧合還是一種必然呢？以下我們再從“形”的角度反思第（3）②問，幫助大家直觀理解這種巧合背后的必然或道理：

受到第（3）①問中思路的啟發，如圖6，我們仍然可以把PD·DQ轉化為PD·DQ′，以PQ′為直徑作圓交直線AC于點N，根據圓周角定理，可發現∠PNQ′＝90°，進而在Rt△PNQ′中，由相似三角形性質容易得出ND2＝PD·DQ′（事實上，這也是構造了所謂的“射影定理”的基本圖形）.要想獲得PD·DQ′的最大值，本質上只要ND最大即

三、教學導向之思

中考關鍵位置之處的綜合選拔題通常還會對地區的教學導向有著相應的提醒.事實上，第26題的第（2）問三角形面積比，在底邊相同的情況下，兩個三角形的面積比等于它們的高之比，這些都是學生應該掌握的基礎知識和基本技能.最后一問關注學生的數學思維層次，關注初高中知識的銜接，重點考查學生知識的靈活運用、邏輯推理、建模思想等，有一定的區分度；試題的解題途徑多樣，兼顧擅長幾何方式與代數方式解題的學生，為一線教師提供了試題研究及復習教學的良好素材.試題內涵豐富，解法多樣，值得回味.

可以發現，命題組重在引導廣大師生關注雙基教學，然后才是關注學生的思維層次，而且預設了解題的多樣性，滿足不同思維風格學生的需求，體現了公平性.這也提醒教師，在數學教學中，特別是解題教學中，不能滿足于所謂獲取答案，而應該引導學生從不同角度獲取答案，并思辨不同解法之間的異同之處、和諧之處，長期堅持這樣做，一方面對于提高學生解題能力是有幫助的，另一方面也可使學生在中考考場上能對較難考題進行轉化，并兼顧數形結合思想，力求在較短時間內貫通思路，這也是向學生傳遞波利亞在《怎樣解題》所倡導的“沒有一個問題能被十分完美的解決，總能留下一些什么讓我們繼續思考”.

1.中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

2.羅增儒．數學解題學引論［M］．西安：陜西師范大學出版社，2008．

3.【美】G.波利亞，著．怎樣解題［M］．閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.Z