一類時滯拋物型偏微分方程初邊值問題的奇攝動研究

張正林（宿州學院　數學與統計學院，安徽　宿州　234000）

一類時滯拋物型偏微分方程初邊值問題的奇攝動研究

張正林
（宿州學院數學與統計學院，安徽宿州234000）

摘要：在實際求解偏微分方程的定解問題時，除了在一些特殊的情況下可以方便地求得其精確解外，在一般的情況下，當方程或定解條件具有比較復雜的形式，或求解區域具有比較復雜的形狀時，往往求不到或不易求到其精確解，實際的需要促使我們去尋求偏微分方程定解問題的近似解，特別是數值近似解.本文將對一類時滯拋物型偏微分方程初邊值問題的奇攝動進行研究，希望能夠為拋物型偏微分方程的求解問題提供一定參考借鑒.

關鍵詞：拋物型；偏微分方程；初邊值；奇攝動

基于偏微分方程的圖像處理可以追溯到J.J. Koenderink和A.P.witkin的各自獨立的研究.他們嚴格地介紹了尺度空間理論，并指出：圖像與具有遞增方差的高斯函數做卷積實現低通濾波，等價于求解以原圖像為初值的熱傳導方程.對圖像來說，在切向擴散就是沿邊緣進行平滑，而在法向擴散使得邊緣模糊[1].各向同性擴散在法向與切向的擴散系數是相同的，因此具有各向同性的圖像平滑在抑制噪聲的同時把圖像的邊緣模糊化，使圖像中重要的邊緣信息減少.最具有代表性的各向同性擴散的例子就是用高斯核做圖像光滑[2].

1　偏微分方程的求解問題

求一類時滯拋物型偏微分方程數值解的方法是多種多樣的，如擬小波精細積分法[3]，它本身已形成了一個獨立的研究方向，其要點是對偏微分方程定解問題進行離散化.對于偏微分方程的求解問題，不論它是何種類型的偏微分方程，也不分自變量的個數與方程的階數，Maple均使用同一個函數pdsolve（)對其進行求解.并且函數pdsolve（)能夠識別出用通用方法可以解決的標準形式的偏微分方程，如果方程是非標準形式，它會試圖用分離變量等方法將它轉化為標準形式再進行求解.如果求解成功，pdsolve（)將得到幾種可能的結果：（1）方程的通解；（2）擬通解（包含有任意函數，但不足以構造出通解）；（3）一些常微分方程的集合[4].

方程的解是以顯式給出的，但表達式比較復雜，如果要檢驗方程的結果，可以用函數pdetest（)進行，在結果正確時，返回值為0，如果結果可能有誤，將返回一個代數表達式，也就是說是將求出的結果代入方程中化簡而得到的代數式.如果Maple不能找到最一般形式的通解，還是有結果的，它會用函數PDESolStruc（)的結果給出，顯示成帶有“星＞-where”的形式.該函數的第一個參數是待求的未知函數的表達式，其中包括一些單變量的函數，第二個參數是這些函數所滿足的常微分方程，這樣的形式[5].

2　一類時滯拋物型偏微分方程的初邊值問題

求解一維拋物型方程的初邊值問題[6]:

給定初始條件為

邊界條件為

其中f（x，t)是非齊次項，a＞0為擴散系數，g0（t)，g1（t)，d（x)均是已知函數.

空間步長用h表示，時間步長則用τ表示；函數u（x，t)在（xj，tn)點處的值用ujn近似，xj=jh，t0=nτ，j=0，1，…，m，h=1/m，n≥0[7].

根據空間的四階緊致差分逼近公式

將上式展開，則可得

（2.10）式是一個兩層隱式格式，計算量較大，不方便求解.所以我們將它改寫成如下形式的半顯式格式[9]：

3一類時滯拋物型偏微分方程初邊值問題的奇攝動分析

線性偏微分方程反映了實際問題的理想情況，現實中的許多物理現象都是非線性地依賴于一些物理參量變化，從而描述這些現象的數學物理方程就是非線性偏微分方程.非線性偏微分方程有許多不同于線性偏微分方程的特征，如線性偏微分方程的疊加原理對非線性偏微分方程就不再成立，從而基于疊加原理的求解方法對非線性偏微分方程就不再適用.另外，解的性質也有許多本質的變化[11].

自20世紀60年代以來，非線性方程在物理、化學、生物等各個學科領域中不斷出現，其研究內容日趨豐富.與線性方程的定解問題相比，非線性方程定解問題的解法要復雜得多，至今能求解的方程類型寥寥無幾.在本章中.我們主要介紹物理現象中典型的非線性方程及其求解方法，它們在非線性光學、量子場論和現代通信技術等領域具有廣泛的應用前景.

假設所要求解的偏微分方程初值問題的解u（x，t)是光滑的，根據Taylor級數展開，有

其中[?]jn表示括號內的函數在節點（xj，tn)處的取值.利用表達式（1.5）中的第一式和第三式有[12]：

如果u（x，t)是滿足對流方程（1.1）的光滑解，則

則，偏微分方程（1.1）在（xj，tn)處可以用下面的方程來近似地代替

其中ujn為u（xj，tn)的近似值.（1.7）式稱作逼近偏微分方程（1.1）的有限差分方程（或簡稱差分方程）.圖1.4表示所用到的節點.為了方便計算，可以把（1.7）式改寫成如下形式[13]：

根據差分方程（1.7）和初始條件（1.2）的離散形式

uj0=φj，j=0，±1，…

4　結論

本文通過對一類時滯拋物型偏微分方程初邊值問題的奇攝動進行研究，能夠為拋物型偏微分方程的求解問題提供一定參考借鑒.在非線性方程中，最高階數的項稱為自由項.顯然，可以寫出無數個偏微分方程，并不是每個方程都有它的實際意義和應用.一個特定形式的偏微分方程可描述許多物理理的共性與規律，它可以有很多不同形式的特解.——————————

參考文獻：

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〔5〕裴金仙.一類彈性桿的振動問題解的整體存在性[J].中北大學學報(自然科學版)，2013（05）：567-569.

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〔14〕Fan Engui.Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations. Physics Letters. 2012.

中圖分類號：O175.8

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2015）09-0001-02