改進的蒲豐投針問題探究

代永嘉（吉林師范大學　數學學院，吉林　四平　136000）

改進的蒲豐投針問題探究

代永嘉
（吉林師范大學數學學院，吉林四平136000）

摘要：在蒲豐投針問題的基礎上，將針投入平行線內改進到投入到正方形或正三角組成的平面內，從而得到幾種新的概率結果和相關規律，同樣估計出了π的值.并對求出的π值進行了方差分析，從而得到更有效的求π值的方法.

關鍵詞：蒲豐投針；相交概率；正多邊形；方差分析

1　引言

2　經典蒲豐投針所得的概率

設將長度為l的針投向一組距離為d的平行線中，求針與平面內的直線相交的概率.

圖1

如圖1所示，用x表示針的中點到一條最近的直線的距離其夾角為α，則有

則

所以估計值π

3　正三角形組成的平面內投針所得的概率

設平面是由邊長為d的正三角形組成的平面，向平面內投長度為l的針，求針與平面內的直線相交的概率.

Nh：針與水平的平行線相交；

Nk1：針與向右傾斜的平行線相交；

Nk2：針與向左傾斜的平行線相交.

假設在n次投針實驗中，三次發生的事件分別是nh、nk1、nk2并帶入經典蒲豐投針實驗的估計值中

4　正四邊形組成的平面內投針所得的概率

設平面是由邊長為d的正方形組成的平面，向平面內投長度為l的針，求針與平面內的直線相交的概率.

解由四邊形組成的平面，我們可以看成由兩組距離為d的平行線組成的平面考慮針與平面內的直線相交的情況：

Nr：針與水平線相交；

Nc：針與垂直線相交.

假設上述事件發生分別是nr和nc

5　三種π值估計的方差比較

其最小方差無偏估計（UMVUR）中方差為

當l/d=1時有最小值，此時π的漸進方差為

其方差為

當l/d=1時有最小值，漸進方差為

方差為

可以看出我們通過新的方法求出的π2值比經典蒲豐投針實驗更加精確并且在運算的過程中效率更高.由于在平面內只有正四邊形，正三角形，才能構成一個沒有縫隙的平面，其他正多邊行想要鋪滿整個平面的話只有與其它的圖形相組合，構成內角和為360度才可以，所以正多邊行組成的平面向內投針研究起來比較復雜，但通過上述運算我們發現同樣由其它圖形所構成的平面我們仍然可以構造出多條平行線，并且通過計算發現當平行線越多時我們的計算結果越精確，相對來說效率更高.還要指出的是在研究中我們僅考慮了針的長度比平行線之間距離小的情況，沒有考慮其針的長度比平行線的距離大的情況，相對來說存在著一些誤差需要進一步研究.

參考文獻：

〔1〕楊自強.你也需要蒙特卡羅方法.2007，26（1）：110－120.

〔2〕馬麗，楊小雪.蒲豐(Buffon)投針問題的一些推廣.2013，26 （2）.

〔3〕宋立新，王洪仁.蒲豐彎針問題求解.2012，15（4）.

〔4〕茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程.北京：高等教育出版社，2004.24－25．

中圖分類號：O211.5

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2015）09-0003-02