烏仁其其格,楊梅榮(赤峰學院 數學與統計學院,內蒙古 赤峰 024000)
取值于局部凸空間向量測度的變差、半邊差與有界性
烏仁其其格,楊梅榮
(赤峰學院數學與統計學院,內蒙古赤峰024000)
摘要:提出取值于局部凸空間向量測度的p-變差與p-半邊差的概念,通過給出有關p-變差與p-半邊差的幾個結論,給出了取值于局部凸空間有界向量測度族一致有界的充分條件.
關鍵詞:局部凸空間;向量測度;p-變差;p-半邊差;Nikodym有界性定理
容易驗證,取值于局部凸分離空間的向量測度F的每個變差和半變差具有下列性質:
(1)變差|?|p和半變差||?||p具有單調性;
(2)變差和半變差具有非負性;
(3)變差|?|p具有有限可加性,半變差||?||p具有半可加性;
(4)對任意的E∈F有||F||p(E)≤|F|p(E).
其中(4)的證明如下
||F||p(E)=sup{|x*F|(E):x*∈B(X*(p))}
例1.1取值于局部凸分離空間向量測度的例.
F(E)=(μn(E)),?E∈F
顯然F是取值于ω上的向量測度.
一般的,設{μτ:τ∈T}是有限可加數值測度族.KT表示所有函數f:T→K構成的線性空間,賦予點點收斂拓撲是完備的局部凸分離空間,定義F:F→KT如下
F(E)(τ)=μτ(E),?E∈F,τ∈T
F是取值于KT上的向量測度.
引理1.2對任意的x*∈X*(p)和x∈X,有|x*(x)|≤||x*||pp (x).
證明
引理1.3設(X,P)是局部凸分離空間,則對任意的p∈P和x∈X,有
定理1.4設(X,σP)是局部凸分離空間,F:F→X是向量測度,p∈P,E∈F則
(2)sup{p[F(H)]:H?E,H∈F}≤||F||p(E)≤4sup{p[F(H)]:H?E,H∈F}
證明(1)設p∈P,E∈F
對每個A∈Π令
這樣|εA|≤1,且
因為x*∈B(X*(p)根據引理1.2有
又根據引理1.3對E的任意F分劃和滿足條件|εA|≤1的有限族{εA,A∈Π},有
所以
||F||p(H)≤||F||p(E)
故
sup{p[F(H)]:H?E,H∈F}≤||F||p(E).
對任意的x*∈B(X*(p),設Π是E的關于F的任意分劃,當X是實的局部凸分離空間時,記
這里Π+是使x*F(A)>0的集合A構成的有限族,Π-是使x*F(A)≤0的集合A構成的有限族
當X是復的局部凸分離空間時
x*F(A)=x1*F(A)-ix2*F(A)
其中x1*F(A)表示x*F(A)的實部,x2*F(A)表示x*F
(
A)的虛部,我們有||x1*||p≤||x*||p≤1,||x2*||p≤||x*||p≤1,所以
≤4sup{p[F(H)]:H?E,H∈F}
這樣
||F||p(E)≤4sup{p[F(H)]:H?E,H∈F}
從而
sup{p[F(H)]:H?E,H∈F}≤||F||p(E)
≤4sup{p[F(H)]:H?E,H∈F}
參考文獻:
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中圖分類號:O177.99
文獻標識碼:A
文章編號:1673-260X(2015)09-0005-02