精心預設，精巧引導，精彩演繹
——對一節“全等三角形”階段性復習研討課的思考

☉浙江省杭州市啟正中學 鄭娟

精心預設，精巧引導，精彩演繹
——對一節“全等三角形”階段性復習研討課的思考

☉浙江省衢州市實驗學校詹 金芳

☉浙江省杭州市啟正中學 鄭娟

這是一節來自2014年“浙派”名師班關于階段性復習的研討課，上課老師為我們展示了一節別樣的“全等三角形”復習課.現將課堂實錄與筆者的思考整理成文，供同行們交流研討.

一、課堂實錄

圖1

1.視頻引課

課堂一開始，老師讓同學們觀看視頻，視頻中一位老師作如下講述.

同學們，我們今天研究一個有趣的話題，我隨手畫一個三角形，能證明所畫的三角形是等腰三角形.同學們相信嗎？下面請看我的證明.如圖1（視頻中老師徒手畫圖），任意畫三角形ABC，則有AB=AC.對于這個問題，我是這樣思考的，只要作∠BAC的平分線和BC邊上的中垂線，兩線交于點O，BC邊上的中垂線交BC于點D，過點O分別作AB和AC的垂線段，垂足分別為E和F,連接OB、OC.同學們，接下來請你們試試看：能證明AB=AC嗎？

視頻放到這兒，上課教師按下暫停鍵，并對同學們說：“同學們，相應的題目和圖形請看學習單，你能接下去完成這個題目的證明嗎？”學生一聽這些話可來勁了，個個嘴里都在嘀咕著“怎么可能呢？”說著說著，教室里的聲音漸漸地變小了，大家都投入到對問題的證明中去了，幾分鐘后，聲音又漸漸大了起來，部分同學皺著眉頭低聲地交流：“好像真的能證明耶！奇了怪了！”看到許多同學完成證明卻又有疑惑時，教師叫停了大家，并讓同學們繼續看視頻.

根據剛才添加的輔助線，我們可以很快證明出△AOE≌△AOF，同學們，你能說明理由嗎？

上課教師再次按下暫停鍵，并讓同學們說明兩個三角形全等的理由.

生1：由OA平分∠BAC，得∠EAO=∠FAO.

由OE⊥AB，OF⊥AC，得∠OEA=∠OFA=90°.

由OA=OA，∠EAO=∠FAO，∠OEA=∠OFA，得△AOE≌△AOF（AAS）.

教師追問：“還有別的方法嗎？”

生2提出可以用“ASA”定理加以證明；生3根據角平分線的性質得到OE=OF，從而利用HL定理證明.教師對證明稍作梳理后再次按下視頻播放鍵.

同學們，前面已證明了AE=AF，而要證明AB=AC，只要再證明BE=CF,那么如何證明這兩條線段相等呢？通常證明兩條線段相等會從兩個三角形全等出發，也就是證明△BOE≌△COF，這成為解決問題的關鍵，同學們，你能解決該問題嗎？

上課教師繼續讓學生分析證明的思路.

生4：由OD是線段BC的垂直平分線，得OB=OC.

由OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，OB=OC，得△BOE≌△COF（HL）.

教師總結：生4用“HL”定理給予了證明，你還有其他的證明方法嗎？同學們發現只要抓住直角三角形這一特征，可以將條件進行轉化（由OE=OF,OB=OC,∠OEB=∠OFC=90°，可以獲得BE=CF這一結論），進而分析可以用“SAS”的判定方法進行證明.此時，教師繼續追問：能否直接證明△BOA與△COA全等？同學們通過分析發現滿足的條件是“SSA”，從而否定了這個思路.在這個環節中，教師與學生一起復習和梳理了全等三角形所有的判定方法和注意點.

通過上面的證明我們可以獲得AB=AC這一結論，我們同樣也可以證明BA=BC和CA=CB，這樣不就可以說明△ABC是等邊三角形了嗎？這顯然是不成立的，問題到底出在哪兒呢？

生5：老師，我覺得證明沒有問題，關鍵在畫圖上.

此話一出馬上得到同學們的附和，有的說老師是徒手畫的三角形，不準；也有的說角平分線畫得不準；還有的認為角平分線和中垂線的交點位置好像有問題.

老師順勢歸納，既然圖形有問題，那么你能畫一個準確的圖加以驗證嗎？

2.作圖驗證

老師結合同學們的發現作進一步的分析，盡管原圖是徒手畫的，三角形的邊被畫歪了，但是三角形的三個頂點的位置是固定的，你能用尺規在學習單的空白處畫出一個三角形，使所畫的三角形與原圖中連接三個頂點所得的三角形全等嗎？

同學們紛紛動手畫圖.老師要求尺規作圖有困難的同學可以與同桌合作完成，并請一同學在黑板上進行了演示（圖形大小按視頻中的進行截取，為表述方便，所作三角形仍然用△ABC表示）.師生一起回顧了尺規作三角形的基本步驟，而后引導學生分別作∠BAC的平分線和BC邊上的中垂線，進一步復習作角平分線和線段的中垂線的相關知識.同學們通過作圖發現：∠BAC的平分線和BC邊上的中垂線的交點O在△ABC的外部，而并不像視頻中所反映的點O在△ABC的內部.此時才恍然大悟，原來問題出在作圖上.對此，教師進一步歸納：生活中有很多直觀看到的未必就一定是真實的，我們應該用數學的原理進行規范作圖和證明，才能發現問題的根源.

3.提煉升華

教師在完成對問題的分析、講評和歸納的基礎上再追一問：“同學們，我們是否可以總結出任意三角形其中一個角的平分線和這個角的對邊的中垂線的交點一定在三角形的外面呢？”

這一問題再次將同學們的思維推向新的高度.同學們立刻動起手來，分別畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形進行尺規作圖，通過實踐操作獲得結論：對于任意的三角形，其中一個角的平分線和這個角的對邊的中垂線的交點一定在三角形的外面.

老師繼續追問：“通過作圖我們發現上述結論是正確的，但是怎么證明呢？我們不是學過，要說明一個命題是真命題必須給予證明嗎？”

這一下把學生難倒了，所有學生都有一種“知其然而不知其所以然”的感覺，一時間全班陷入了證明說理的困境中.

看到學生一籌莫展，教師進一步引導，我們學過說明一個命題是真命題必須給予嚴格的證明，而當我們感到直接證明十分困難時，是否該換個思考方式呢？

經此點撥，部分優秀學生立刻找到了解題的思路——反證法.

生6：我們可以用反證法證明.假設交點在△ABC的內部，那么根據我們前面的證明，就能說明它是一個等邊三角形（學生邊講邊上黑板畫圖，如圖2），其交點重合于點O（學生誤把點O當成滿足條件的交點）.因此，只有正三角形其交點在三角形的內部，否則，交點必定在三角形的外部.

圖2

該同學的回答得到了同學們的認可，并獲得全班同學熱烈的掌聲.正當同學們得意時，老師潑了一盤冷水：“這個同學的觀點正確嗎？”

此話一出，同學們面面相覷，表現出很驚訝的眼神.

不久，生7發表觀點：我們知道等邊三角形一個角的平分線和該角的對邊的中垂線是重合的；同時，我們再看本節課開始的問題，假如AB=AC，那么根據等腰三角形的性質我們可以得到∠BAC的平分線和BC邊上的中垂線也是重合的.由此可知，等腰三角形其頂角平分線（所在的直線）和底邊上的中垂線是重合的；若不是等腰三角形，其交點一定在三角形的外部.

生7的發言再次贏得全班熱烈的掌聲.教師在此基礎上進行了課堂小結：本節課我們通過一個網絡視頻，對一個錯誤的數學結論進行推理論證，在這個過程中復習了尺規作圖和三角形全等證明的相關知識，通過進一步的探究，發現并證明了三角形的一個拓展結論.同時，本節課也告訴我們許多時候直觀感覺是有欺騙性的，我們應該學會用數學手段和方法對問題進行嚴密的論證.同學們可以將我們本節課研究問題、獲得結論的方法用于平時生活和學習之中，你定能有新的發現和收獲.

二、筆者的反思

1.教師精心的課前預設和精巧的教學引導激發了學生精彩的課堂演繹

本節課將一個網絡微視頻作為引課素材，將視頻中教師演繹證明的內容進行刪減，把證明過程留給學生完成，達到了引出問題、制造懸念、激發興趣的目的，引課環節可謂另辟蹊徑，方法獨到.

視頻中，教師徒手畫圖的設計意味深長，倘若在實際教學中，教師定然不能徒手草率畫圖給學生以負面的影響，這樣的設計也為后續學生對問題的研究提供了很好的平臺，徒手畫圖，圖不準導致學生不易發現問題之所在，促使學生在問題研究時需要對圖形提出更高的要求，為尺規作圖的引出作好了鋪墊.

教學中，教師根據學生的課堂生成因勢利導，將學生的思維不斷引向深刻.學生從對假命題的證明中產生了強烈的認知沖突，在作圖中發現了問題所在，在拓展思考中探究出一般規律，從而達到將問題進行提煉升華的目的，整個教學設計可謂立意新穎、構思巧妙.

教師的課堂語言極其精煉，只在必要時作適當的引導和總結，教師的組織者、引導者和合作者的地位得到很好的體現.學生課堂參與性好，主體地位得到充分的展現.教師給出視頻，引出本節課的研究對象，便放手讓學生探究證明；完成證明后引導學生探尋產生認知沖突的根源；找到原因后教師只作面上的引導，讓學生從中發現一般規律；在探究規律的過程中，教師仍然放手讓學生去嘗試，只在學生有困難處加以點撥.在教師巧妙的引導下，出現了一節學生參與度高，多次迸發思維火花的高效課堂.可以說，在教師精心的預設和精巧的引導下，學生的思維得以精彩的演繹.

2.關注“四基”的落實，突出理性精神的培養，促進學生能力的發展

本節課十分關注課程標準提倡的“四基”的落實，注重對全等三角形知識（全等三角形的判定和尺規作圖）的應用與整理，重視學生動手能力的培養，關注尺規作圖這一基本技能的落實，滲透了研究問題的基本思想方法.本節課十分關注研究問題方法的指導，說明一個命題是真命題，需要嚴格的推理論證；當證明結果與實際不符時，引導學生追根溯源.在探尋問題的根源時，需要用科學的原理和方法，這樣的教學滲透了發現和提出問題、分析和解決問題的基本思想和方法，促進了學生能力的全面發展.研究問題時，從具體的研究對象入手（不同類型的三角形），歸納出一般的結論（角平分線和該角的對邊的中垂線的交點在三角形外面），在對問題進行論證時又從一般走向特殊（從一般三角形到等腰、等邊三角形），滲透了研究問題的方法和角度.本節課十分關注對學生理性精神的培養，讓學生明白了“直觀與演繹”的關系，進一步感受直觀是用于發現猜想，演繹才能證明結論；沒有演繹，直觀往往會成為錯覺，只有將直觀與演繹進行完美的結合，才能揭示事物的本質特征.

3.一個視頻引出一個問題，理出一章的知識，這是一種有效的復習教學模式

教師從一個網絡視頻出發，引出一個研究課題：證明任意一個三角形都是等腰三角形，讓學生從一開始就產生認知上的沖突，從而緊緊抓住這一沖突，不斷設置思維障礙，引導學生進行探究；在問題探究過程中，為完成AB=AC的證明，教師引導學生復習三角形全等的判定；為驗證教師所畫的圖形有問題，引導學生復習尺規作圖的相關知識.可以說通過對一個錯誤結論的研究發現，將全等三角形的知識進行了系統的復習和整理.這樣的復習教學避免了枯燥乏味的知識梳理和簡單機械的解題訓練，通過對一個有趣問題的探究充分調動了學生學習的積極性，并在問題研究過程中達到復習和梳理知識點的目的，實在是一種值得提倡的復習課教學模式.

4.值得探討的方面

這是一節高水平的階段性復習研討課，值得學習的地方很多，當然也有值得商榷和研討的地方.就本節課而言，本人提出以下方面與同行商討.

操作活動方式是否過于單一.整節課教師為達到完成梳理尺規作圖的教學目標，將學生用于發現問題的操作方式限制于尺規作圖，而忽略其他操作方式的應用，如可以允許學生利用刻度尺和量角器進行度量，從而畫出相應的角平分線和中垂線，也可以將三角形紙片進行折疊從而產生角平分線和中垂線.對操作方法的限制其實是對學生思維的限制，對學生發散性思維的培養極為不利.

教學方式是否過于單一.以教師提問與引導，學生獨立探究和師生互動交流的方式貫穿整節課，學生間的合作與交流、生生間的互助等學習方式較少，這樣的教學對班級部分后進學生的學習不利.Z