數學欣賞：數學教學的新視角

數學欣賞：數學教學的新視角

☉江蘇省南京市寧海中學分校卜以樓

一、寫在前面的話

日前，筆者應邀赴烏魯木齊與新疆生產建設兵團第二中學初二學生合作了一節“‘形內外’與‘正負性’”的數學欣賞課.這節數學欣賞課說的是在圖形的位置關系變化引發數量關系變化下的一些更具有欣賞性的數學本質的探究與欣賞的相關問題.由于在數學欣賞這個教學園地里，與初中課堂教學相配套的教學資源目前不是太多，那么本文所涉獵的也只能是筆者開發“形內外”與“正負性”這一教學資源過程中的一些想法與做法，以引發同仁更多的實踐與思考，并寄期望有更多數學欣賞教學成果的涌現.

二、“學習資源”的呈現

筆者為“形內外”與“正負性”這一數學欣賞課開發了下列學習、欣賞資源.

素材1：已知點A、B、C在同一直線上，若線段AB=a，BC=b（a＞b），求AC.

素材2：已知∠ABC=α，∠ABD=β（α＞β），求∠CBD.

素材3：已知直線AB∥CD，點E、F分別在AB、CD上，P點為平面內一點（不在直線AB、CD上），連接PE、PF.（1）如圖1，探究∠BEP、∠DFP、∠P間的數量關系；（2）如圖2，探究∠BEP、∠DFP、∠P間的數量的關系.

圖1

圖2

素材4：如圖，在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直線AB經過點C，DA⊥AB，EB⊥AB，垂足分別為A、B.

（1）當AB繞點C旋轉到圖3位置時，判斷線段AB與 AD、BE的數量關系，并說明理由；

（2）當AB繞點C旋轉到圖4位置時，判斷線段AB與AD、BE的數量關系，并說明理由.

圖4

圖3

素材5：如圖，在△ABC中，

（1）如圖5，若∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，請你探究∠BOC與∠A之間的數量關系；

（2）如圖6，若∠ABC、∠ACB的外角平分線相交于點O′，請你探究∠B O′C與∠A之間的數量關系.

圖5

圖6

素材6：如圖，把△ABC的紙片沿DE折疊.

（1）如圖7，若點A落在四邊形BCDE內部點A′的位置，請探究∠A′、∠1、∠2間的數量關系；

（2）如圖8，若A點落在四邊形BCDE外部點A′的位置，請探究∠A′、∠1、∠2間的數量關系.

圖7

圖8

素材7：已知△ABC中，AB=AC.

（1）如圖9，若點D為BC上任意一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，CM⊥AB于M，求證：CM=DE+DF；

（2）如圖10，若點D為BC的延長線上任意一點，其他條件不變，探究CM、DE、DF之間的數量關系.

圖9

圖10

素材8：△ABC中，CD是∠ACB的平分線，CE是AB邊上的高，試探究∠DCE與∠A、∠B之間的關系.

三、教學過程的設計

1.切入話題

筆者以“同學們，我來自江蘇南京，今天非常高興與同學們一起探究并欣賞一類數學問題，讓同學們從另外一個視角來學習數學、欣賞數學.首先，我們來欣賞幾張精美的圖片（播放圖片）.這些神奇、復雜、精美的圖案中包含的是簡單的數學原理（板書“神奇——簡單道理”），我們經過精心探究的數學結論又何嘗不是這樣呢”切入話題.

2.揭示課題

出示素材2，待學生完成探究后，讓學生展示探究成果.

圖11

圖12

當射線BD在∠ABC的外部，即“圖形外部”時（板書：形外），∠CBD=α+β；

當射線BD在∠ABC的內部，即“圖形內部”時（板書：形內），∠CBD=α-β.

上述活動教師可板書為：

教師完成上述板書后，要求學生思考下列問題：從上述板書內容橫向看，圖形的位置關系往往決定數量關系；從板書內容縱向看，圖形的主要特征又往往表現在“形內外”上（此時板書：形內外），數量的主要特征又往往表現在“正負性”上（此時板書：正負性），這就是本節課我要與同學們學習并欣賞的內容（此時在“形內外”“正負性”之間寫上一個字“與”），從而揭示課題.

3.探究欣賞

（1）問題欣賞.

我們來觀賞圖11、圖12的“形結構”，再來觀察其對應的數量關系的“式結構”，從視角美觀上看，你有什么感覺？

生：舒服，好看，美觀?。◣煱鍟好烙^）

現在就這個問題，老師將適當增加難度，強化一些條件，將問題深化為“在其他條件不變的情況下，若∠ABC的平分線為BE，∠ABD的平分線為BF，求∠EBF.”你能圓滿解決這個問題嗎？

深化這個問題的目的是再次讓學生感受：當射線BD在∠ABC的外部時（如圖13），∠EBF=α+β）；當射BD在∠ABC的內部時（如圖14），∠EBF=?α-β），再次感受“形內外”與“正負性”的美觀，并指出這種美觀是我們欣賞數學的第一種境界之美！.

圖13

圖14

（2）聯想欣賞.

現在請同學發揮一下想象力，在學習過的線段當中，有這樣類似的問題嗎？

設計這個活動的意圖是：讓學生通過模型的識別、知識的回憶、經驗的聯想，勾勒出“已知點A、B、C在同一直線上，若線段AB=a，BC=b（a＞b），求AC”這樣一個與“問題欣賞”（素材2）形異實同的問題來，喚醒學生審美的意識，體驗聯想的學習力量.

在研究完這個問題后，教師可提出：“能否將線段這個問題像‘素材2’那樣進一步深化呢？”追問這個問題的目的，還是讓學生來類比、聯想.既然對于角可以在其平分線上做文章，那么對于線段就可以在其中點上做立意.因此，就可以將線段這個問題深化為：“在其他條件不變的情況下，若點E是AB的中點，點F是BC的中點，求EF的長度”這個與角“心相印”“情相通”的問題了.即當點C在線段AB的延長線上時（如圖15），EF=（a+b）；當點C在線段AB上時（如圖16），EF=（a-b）.這樣的活動，豈不美哉！

圖15

圖16

上述活動中，還要引導學生反思“素材1”與“素材2”的關聯性、數學本質的深刻性、解決問題的一致性，體驗探究方法的“異曲同工”之美（師板書：異曲同工）.

（3）探究欣賞.

活動1：上述對角、線段的探究都體現了“形內外”與“正負性”的異曲同工之美，它是事件的偶然巧合，還是數學的本質暴露呢？我們有必要對這類問題進行進一步的探究.請看題（出示“素材3”的第一問，要求學生作答）.

素材3的第一問，絕大多數學生已做過，所以很快得到“∠P=∠BEP+∠DFP”這一結論.

接著，出示素材3的第二問，注意不要急著讓學生解答.

首先提出：面對這樣一個問題，有什么想法？讓學生感受到這樣一個問題好像就是基于上述探究的“形內外”與“正負性”的另一個具體的問題.從幾何直觀和活動經驗的角度看，在圖1中，點P在兩平行線的內側（板書：內側），既然有∠P=∠BEP+∠DFP，那么在圖2中，點P在兩平行線的外側（板書：外側），那么應當有∠P=∠BEP-∠DFP.

其次，引導學生對這個問題進行微觀探究.現在對問題（2）心中已有了一個美好的期盼（板書：美好），這個美好的期盼能否如愿（板書：在“美好”旁邊加上一個“？”），就得進行證明.這樣就將欣賞活動轉換到理性證明中，讓學生在有思維的場景中去探究、去發現、去欣賞.當學生探究得到的結果與上述的美好期盼一致時，教師要引導學生擦去板書中的“？”.

第三，引導學生進行理性提升.從本題的探究過程看，就是一個探究性問題的一般性探究方法的再現；從探究的結果看，它又是素材1、素材2、素材3探究問題的延續，它體現的是“形內外”與“正負性”的“殊途同歸”之美（板書：在“美好”之前板書：“殊途同歸”）！并指出：這種美好是我們欣賞數學的第二種境界之美！

活動2：上述的探究活動總是在美好的愿景中前行的，數學中還有這樣美好的學習素材嗎？老師再向大家呈現一個探究問題（出示探究“素材4”）.

這是一個由于直線的位置變化而引發圖形變化的探究問題，面對這個問題，你打算怎么做？

提出這樣的問題，還是讓學生重溫“活動1”的經驗，沿著“觀察—類比—猜想—探究—結論”這種研究問題的一般性思路進行“素材4”的探究活動.當素材4探究結束時，要引導學生小結：這種方法很管用、很美妙（板書：美妙），這種美妙是我們欣賞數學的第三種境界之美！在引導學生欣賞形成的數學結論時，要讓學生再次感覺到“形內外”與“正負性”“一脈相承”的意境之美（在“美妙”之前板書：一脈相承）！

需要注意的是：對于素材4，還要引導學生從另外一個層次進行欣賞.

建立“一帶一路”爭端解決機制和機構是中國在“一帶一路”倡議落地時期的重要舉措。長期以來，國際商事爭端解決較多依賴于調解和仲裁機制，隨著“一帶一路”倡議的全面落地，如何實現訴訟、調解、仲裁的有效銜接，這已成為“一帶一路”糾紛解決機制的重要課題。2018年6月29日，中國最高人民法院分別在深圳和西安設立了第一、第二國際商事法庭，7月1日頒布施行了《關于設立國際商事法庭若干問題的規定》，為形成“一站式”國際商事糾紛解決機制邁出了堅實的一步。國際商事法庭是中國全新的嘗試，是否有必要設置國際商事法庭？國際商事法庭如何與國內商事審判制度協調？如何設計國際商事法庭？本文將就上述問題展開探討。

活動3：由于直線AB旋轉到△CDE內部時，按題中條件所形成的線段AD、BE的大小是隨著直線AB的位置變化而變化的，因此素材4的價值還在于當AB旋轉到△CDE內部時，直線AB所處位置不同而引發線段AB、AD、BE的位置也在發生變化，從而AB、AD、BE的數量關系必然也會發生變化.為此，在有條件的情況下，就這一探究素材還可引導學生進行如下探究.

一是探究AD、BE長度的分化點，從而確定AB、AD、BE之間的數量關系.這個環節的實施可以作如下兩種預設方案.一種是當學生基礎比較好時，學生已探究出其分界點是過點C作DE的垂線CM（垂足為點M），得到“當直線AB在△CEM內部時，由于線段AD＞BE，所以AB= AD-BE；當直線AB在△CEM外部時，由于線段AD＜BE，所以AB=BE-AD”這一漂亮結論時，可發揮一下幾何畫板的價值，通過幾何畫板演示上述結論的形成過程，讓學生的抽象思維與幾何畫板的形象思維一致起來，增強學生學習的自信.如果學生基礎不是太好，探究分界點有困難時，可將上述過程調換一下，即先用幾何畫板演示，再讓學生畫圖探究.不管是哪一種方案，都能得到這一漂亮的結論.這一結論的本質是“二級分類”導致數量關系的變化.第一級分類看直線AB與△CDE的位置關系，即看直線AB在△CDE的形內還是形外，第二級分類是看直線AB與△CEM的位置關系，即看直線AB在△CEM的形內還是形外（如圖17、18）.而這些也正是“形內外”與“正負性”一脈相承之美的再現.

圖17

圖18

二是以此反觀素材1、素材2，讓其在二級分類中欣賞“形內外”與“正負性”.即可以對素材1中的條件進行弱化，去掉a＞b這個條件，將素材2中的條件進行弱化，去掉α＞β，這樣就可以在二級分類這個大的開放環境中來欣賞“形內外”與“正負性”的美妙！

（4）自由欣賞.

在問題欣賞、聯想欣賞、探究欣賞這三個環節中，學生欣賞到了“形內外”與“正負性”的“異曲同工”中的“美觀”、“殊途同歸”中的“美好”、“一脈相承”中的“美妙”，學生已對“形內外”與“正負性”的欣賞有了一個大致的認識.此時讓學生根據自身的能力，自主地選擇“素材5、6、7、8”中的一個或幾個，自主地探究、自由地欣賞，將數學欣賞內化為數學素養.

4.小結欣賞

教師在課堂小結中可提出下列問題：本節課通過問題欣賞、聯想欣賞、探究欣賞、自主欣賞四個教學環節，讓同學們從另一個視角學習數學、研究數學，是不是很有趣？那么這節課你最大的收獲是什么呢？

5.布置作業

本課的作業要求，一是請同學把老師提供的八個學習素材中沒有探究完的問題繼續研究完；二是請同學們收集一下“形內外”與“正負性”的其他問題；三是請同學們寫一篇關于“形內外”與“正負性”的數學作文.

要注意的是對這次作業要做一個跟蹤性的評價，將學生收集到的問題與數學作文做一個集中展示，以延續這次欣賞活動.

6.板書設計

這節課的板書可按教學過程設計中板書的順序進行“雕塑式“板書，以“總（神奇）——分（美觀；美好；美妙）——總（和諧）”的結構形式，來凸顯知識形成的過程、探究推理的過程、欣賞提升的過程.

主板書如下（文本框內文字的下標為板書的順序號）：

四、數學欣賞的思考

數學欣賞是一門學問，需要專門研究.目前與“數學欣賞”相關的信息大都是說數學是美的.但是有些被數學家以為美的東西，并不是人人都能欣賞的.欣賞這些美需要數學意境的營造、數學方法的提煉和數學本質的揭示，筆者將從素材的開發、欣賞的視角和思維的內化等方面談三點教學思考.

1.欣賞素材的開發是設計數學欣賞的根本

初中數學課堂欣賞數學之美，目前主要還是停留在“低端”層次上，說來說去，就是黃金分割、平面密鋪、蜂房結構等，僅僅訴說直觀之美.其實數學美的魅力是誘人的，數學美的力量是巨大的，數學美的思想是神奇的.如果教師把學生學習數學的過程開發成使學生體驗數學作為人類智慧的結晶所洋溢出的精神美的過程，讓數學之美與人文意境的溝通并融，這才是數學的“高端”之美.這種“高大上”的教學素材，課本中沒有現成的設計，教輔中也鮮有涉獵，公開教學中也不為多見.為此，開發出具有數學學科獨特之美而又符合學生現有的審美心智的學習素材是當前數學欣賞的根本之所在，這需要教師對數學的獨到理解，也需要教師教學智慧的迸發，更需要教師教學經驗的積淀.

由于數學學科獨特的結構性，某一知識的單薄性就決定了不可能就某一個知識點開發出豐富的數學欣賞的素材來，所以數學之美，一般只可能在學生學習新知識的過程中逐步滲透.而關于以數學欣賞為主題的數學欣賞課的教學素材，要基于學生已學習過的知識、已研究過的方法和已具備的活動經驗進行專題開發.正如斯坦尼斯勞·貞尼茲克說：這很難說得清楚，需要非常深的理解之后，數學之美的感覺才會出來.本課例就是基于數學內在的和諧之美，來建構數量關系與位置關系的協調之美.這里強調是學生已學習過的素材，主要是把平時零散的學習內容、平淡的認知關聯相對集中起來，放大某一數學本質，以凸顯數學的某種價值，有意識地讓學生感受數學之美，欣賞數學之價值，激發學生的學習興趣.

我們還可以將數學推理的嚴密、數學定義的精準、數學結構的協調等加以整合和開發，以揭示數學中的嚴謹美、內在美.例如，通過畫圖可知三角形的三條中線相交于一點，這個結論可以給我們一個很美觀的感覺；通過幾何證明三角形的三條中線相交于一點，又可以讓我們感受到數學永遠是一門“滴水不漏”神奇的自然學科.由此說開去，不僅三角形的三條中線相交于一點，三角形的三條高線、三條角平分線也都相交于一點，這又豈不是給我們一種數學很美妙的感覺嗎？如果從欣賞的角度去學習數學、研究數學、理解數學，豈不是件快樂的事情嗎？從這點上說，數學就是一門很美的學科，它既有優美的內容建構，又有美妙的思想流淌.只要我們用一雙發現美的眼睛，就可以開發出數學美的教學資源來，就可以讓學生在數學王國中盡情地享受數學帶給他們精神上的滿足、快樂與欣慰.

2.欣賞視角的選擇是開展數學欣賞的關鍵

把學習過的教學素材按照研究的主題集中在一起讓學生重新欣賞，一定要選擇好欣賞的角度.如果不能準確地將教學素材引入到一個新的視角，不但起不到引領學生欣賞的效果，而且還可能將教學引入到“炒冷飯”的境地.就本課的“學材”而言，如果把它上成解題課，讓學生把做過的題再重新做一遍，解題的方法再機械地過一遍，又會產生什么效果？如果選擇“形內外”與“正負性”相統一的這個視角來看待、來研究所提供的“素材”，不僅能讓學生回憶起解題的方法，而且還能喚醒學生審美的意識，促進生命之成長，發現數學之價值，欣賞數學之和諧，鑄就數學之輝煌.

本課例用欣賞文學之美的方法來引領學生欣賞數學之美，從文學中常常表現出來的和諧性、簡單性和概括性，引領學生將研究文學的視角遷移到數學之美這個神奇的王國中，讓學生感受到數學與文學有著某種類比的相似性，特別在審美標準上更有一些共同性.課例開發出的“學材”，首先用圖片這個引子引出數學是神奇的，但越是神奇的東西，包含的道理往往越簡單.接著通過題組，用分析文學的手段，將學生的視角引入到“形內外”與“正負性”這個數學本質中來，從美觀、美好、美妙三個遞進的審美層次來認識數學之美，在這三個層次中，從解題方法挖掘出具有詩意的異曲同工、殊途同歸、一脈相承與美觀、美好、美妙三個審美層次相匹配，使欣賞的核心渾然天成.最后視角又回歸到數學的和諧性中來，揭示“形內外”與“正負性”辯證和諧是數與形相得益彰的和諧之美.上述活動配以雕塑式精美的板書，有力地驗證了英國美學家夏夫茲博里的“凡是既美且真，也就是在結果上是愉快和善的”至理名言.

要注意的是：在數學欣賞時，所有的欣賞活動要在凸顯數學本質的前提下欣賞數學，若離開數學本質去欣賞數學，那只能是“種了別人的地，荒了自家的田”.

3.欣賞思維的內化是評價數學欣賞的標志

“數學欣賞”這門課帶給學生的美遠不止直觀的形式美，正如人的美不單在外表，更在內在的美一樣，數學深刻的本質，在于它內在奇妙結構的完美的和諧統一性.讓學生在這樣一個層次上去欣賞數學之美，需要學生思維內化來作支撐.

數學美感通過學生在一定審美經驗上的感知體現出來，又反作用于學生，并受學生個性品質的影響而又各不相同.在數學教學過程中，教師如果經常有意識地引導積極思維、內化思維、欣賞數學美，就一定會在攀登數學高峰的過程中領略到無限的旖旎風光.例如，在學習列方程解應用題的過程中，教師將現實生活中的實例抽象為方程這樣的數學知識，以后又將之用于解決其他問題.在不斷總結、優化的過程中，學生看到數學規律忽而萬法歸宗，忽而又舉一反百，撲朔迷離，奧妙無窮，才能達到學習數學、欣賞數學的目的.

五、寫在后面的話

筆者在與新疆兵團二中初二學生共同探究“素材2”時，發現預設的教學內容、教學活動與學生的學習基礎、知識結構與活動經驗的把握有一定的偏差，于是及時調整了教學要求與難度，放棄了對學習“素材1”“素材2”的“深化探究”，以使得整個活動不影響對“形內外”與“正負性”和諧的整體欣賞，這樣既保證了課堂的整體性，又不失揭示問題的本質性，保證了探究活動的觀賞性.

1.張奠宙，竺仕芬.數學基本活動經驗與數學欣賞［J］.中學數學教學參考（中），2012（6）.

2.卜以樓.形內外與正負性［J］.中學生數學（初中），2010（10）.

3.卜以樓.讓數學教育的文化價值在教學中鮮活地流淌［J］.中學數學雜志（初中），2011（6）.Z