HTPB復合固體推進劑粘彈性應變能及非線性本構模型

張 曉，鄭 堅，彭 威，張前圖

(軍械工程學院，石家莊 050003)

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HTPB復合固體推進劑粘彈性應變能及非線性本構模型

張 曉，鄭 堅，彭 威，張前圖

(軍械工程學院，石家莊 050003)

為了準確表征HTPB復合固體推進劑在有限變形條件下的力學性能，針對推進劑粘彈性應變能及本構模型進行研究。提出了推進劑粘彈性應變能函數和非線性本構方程的一般形式，并通過一元非線性回歸方法擬合不同應變率下的拉伸試驗數據，得到了材料參數關于應變率的函數，并由此建立了推進劑單軸拉伸變形下的應變能函數和本構方程，預測了不同應變率下的應力曲線，與試驗結果和已有模型的預測結果進行了對比。結果表明，材料參數與應變率之間呈現冪函數關系；推進劑應變能密度隨變形量的增大呈非線性單調增長，同一變形條件下，應變率越高，推進劑的應變能密度越大；本構方程可準確描述推進劑拉伸變形的應力應變關系，且尤其適用于表征低應變率下，材料在有限變形內的粘彈特性。

HTPB推進劑；應變能；非線性回歸；參數函數；本構方程；變形

0 引言

端羥基聚丁二烯(HTPB)推進劑是一種以高聚物為基體的多組分、高延伸率復合材料，具有強烈的非線性粘彈特性[1]，且推進劑的力學性能主要取決于基體。針對高聚物非線性粘彈性行為的研究，Leaderman[2]最早指出非線性粘彈行為可以在小應變時發生，并在修正Boltzmann線性疊加原理的基礎上給出了半經驗公式；Ward和Onat進一步對疊加原理進行了修正，得到了非線性粘彈性的多重積分型本構關系[3]；Shcapery[4-6]、Findley[7]、Bernstein等[8]做了大量工作，分別發展了熱力學本構關系、冪律關系和BKZ理論。對于復合固體推進劑的線性粘彈性，國內外已做了大量研究，并已相當成熟；同時，國內外在推進劑非線性力學行為方面，也做了很多卓有成效的工作，但無論理論方面、數值模擬方面，還是精確解方面，都遠不如前者充分和深入，尚有很多問題需要進一步探討。由于不滿足Boltzmann線性疊加原理，對推進劑材料的非線性粘彈性行為進行描述，要運用更加普遍的理論。Gyoo等[9]基于Vratsanos-Farris模型提出了一個含Mullins效應和損傷脫濕效應的三維非線性粘彈性模型；龔建良等[10]根據熱力學能量守恒定律，研究了HTPB推進劑增強粒子脫濕引起的非線性行為，確立了臨界脫濕應變方程；鄧凱等[11]將Shcapery非線性粘彈本構模型與Perzyna非線性粘塑本構模型結合，建立了HTPB推進劑非線性粘彈塑性本構方程；張永敬等[1]結合Monte-Carlo方法，用Shcapery蠕變型非線性粘彈本構模型，分析了推進劑的蠕變行為；彭威等[12]曾經從微觀尺度對推進劑的非線性本構關系進行表征。

從應變能函數出發研究彈性理論，在橡膠、生物膜等材料中已得到廣泛應用[13-15]。粘彈性材料由于具有率相關性、歷史相關性和應力松弛等特性，其應變能不僅是應變不變量(或主伸長比)的函數，還應強烈依賴于時間。Hrapko等[16]基于運動學框架導出了非彈性變形的發展方程，并在Mooney-Rivlin模型的基礎上進行修正，結合純剪切試驗，建立了腦細胞薄膜的粘彈應變能函數。真實材料或多或少存在蠕變、松弛、遲滯等現象，即表現出粘彈性，Yang等[17]就曾指出，橡膠在高應變率變形條件下，同時表現出超彈性和粘彈性。因此，研究粘彈性應變能表達式并用于建立本構方程，對描述材料的真實特性，發展非線性粘彈性理論，具有重要的現實意義。HTPB推進劑是典型的粘彈性材料，在許多實際應用中，其力學行為表現出明顯的非線性。因此，研究其變形行為的應變能，準確表征應力和應變之間的關系，對于裝藥結構完整性的評估，具有很高的應用價值，而國內外關于這方面的報道很少。

本文給出了HTPB推進劑粘彈性應變能的一般形式，并運用應變能函數表征復合固體推進劑應力和應變之間的關系，避開了復雜的物理本質和發展過程，建立的本構模型能準確描述推進劑材料的力學行為，且比以往更有利于工程運用。

1 變形的幾何描述

對于任意連續介質，在外力的作用下發生連續變形，物質內任意質點從參考構形變化到瞬時構形，在t時刻的瞬時位置矢量可表示為

x=x(X,t)

(1)

變形梯度張量F定義為

(2)

由式(2)有：

dx=F·dX

(3)

式(3)表明，變形梯度張量F把參考構形中的每一個微線元矢量dX映射成瞬時構形中的微線元矢量dx。因此，張量F能夠反映一點處變形的全部信息。對于任何一個可逆的張量F，可以有如下的極分解形式：

F=R·U=V·R

(4)

式中R為正交張量，表示純轉動；U與V為正定對稱張量，代表純變形。

但在實際運用中，通常用左、右柯西-格林變形張量B和C描述物體變形，B、C分別定義為

B=F·FT，C=FT·F

(5)

以I1、I2和I3分別代表左、右柯西-格林變形張量B、C的第1、第2和第3不變量，則有

I1=tr(C)=λ12+λ22+λ32

(6)

I3=det(C)=λ12λ22λ32

式中 tr和det分別表示張量的跡和行列式；變量λ1、λ2、λ3是3個主伸長比；λi=1+εi，i=1,2,3，εi表示名義應變的主應變。

為全面描述一點處的變形情況，定義一個量E為

(7)

E稱為Lagrange或Green應變張量，求其隨體導數，得：

(8)

2 模型的建立

2.1 應變能函數

材料變形的應變能(或變形能)是在外載荷的作用下發生變形，而儲存在材料中的能量。研究表明，應變能函數能較好表征物體的變形特征，在超彈性材料中，常用的應變能模型有描述橡膠變形行為的Mooney-Rivlin模型、Ogden模型等及描述生物薄膜變形行為的Fung模型、GPR模型等。運用應變能函數描述材料的變形，關鍵在于應變能函數模型的選擇，不同的應變能模型的適用條件和使用范圍是不同的。因此，所選應變能函數應盡量準確描述變形行為的真實情況，所建立的應變能函數模型也應詳細說明使用條件及范圍；另一方面，函數中應包含盡量少的待求參數，以減少擬合所需試驗數據。

對于各向同性材料，應變能函數可用左(或右)柯西-格林變形張量B(或C)的主不變量I1、I2和I3或變形梯度張量F的特征值，即主伸長比λ1、λ2、λ3寫出：

W=W(I1,I2,I3)或W=W(λ1,λ2,λ3)

(9)

由于復合固體推進劑為接近不可壓縮各向同性材料，因此假設推進劑材料不可壓縮，且在變形過程中各向同性仍然有效。對于不可壓縮材料(I3=1)，可得到：

W=W(I1,I2)

(10)

鑒于推進劑單向拉伸的應力應變曲線與橡膠類材料拉伸響應的S型曲線的前半段形狀相同，如圖1所示。本文考慮以橡膠類材料的應變能表達式作為函數模型，描述推進劑的拉伸變形，但由于推進劑具有明顯的粘彈特性，其應變能函數中的材料參數將不再為恒定值，而是與應變率(或時間)等相關的參數函數。

圖1 推進劑與橡膠類材料單向拉伸應力應變曲線對比

Fig.1 Comparison between uniaxial tensile stress-strain curves of propellant and rubber-like material

Hart-Smith曾在文獻[18]中介紹的用于描述橡膠類材料力學行為的“Exp-Ln”方程形式為

(11)

式中W為應變能；A、a、b為待求材料參數。

“Exp-Ln”方程能夠較好描述橡膠類材料的變形行為，且具有較少的材料參數。因此，以式(11)作為推進劑應變能的函數表達式。

函數中的待求參數A、a、b僅為試驗數據的擬合系數，不具有任何物理意義。因此，本文所建立應變能函數是對推進劑的力學行為進行唯象描述，不涉及任何有關結構的解釋，這對于工程應用和宏觀力學研究是足夠的。

所建立模型應具有如下特性：(1)能夠準確描述推進劑的變形響應，適用于確定的變形模式；(2)待求參數函數的確定需要盡量少的試驗。以上將在試驗部分進行驗證和討論。

2.2 本構模型

純力學變形條件下，考慮加載開始時刻為時間零點，t<0時的變形歷史的影響可忽略不計。所以，推進劑粘彈應變能函數在同一應變率下的材料參數(A、a、b)將為定值，具有與橡膠等的彈性應變能函數相同的特征。因此，認為此時應變能函數與應力的關系可寫成[17]：

(12)

式中σ為Cauchy應力張量；p為靜水壓力；I為單位張量。

式(12)為不可壓縮材料的真實應力(或Cauchy應力)與主不變量(或主伸長比)之間的關系表達式。其中，真實應力σ與變形狀態有關，靜水壓力p可取任意值，其對應的應力分量是不確定的。

3 試驗與分析

采用不同加載速率下的單軸拉伸試驗數據擬合材料參數，試驗在微機控制五頭電子式萬能試驗機上進行，單軸等速拉伸速率分別為0.5、5、20、100、500 mm/min；同時，進行了2、2 000 mm/min下的單軸等速拉伸試驗，用于驗證所建立的數學模型。

試驗均在環境溫度20 ℃、濕度40%條件下進行，試驗材料為標準啞鈴型試件，標距70 mm，截面10 mm×10 mm。以上試驗各進行5組，結果分別為5組試驗的平均值。

3.1 材料參數擬合

單軸等速拉伸對試件施加一維應力，假設拉伸方向上主伸長比為λ，則由不可壓條件導出：

(13)

Cauchy-Green變形張量的主不變量：

I1=λ2+2λ-1，I2=2λ+λ-2，I3=1

(14)

試件在拉伸方向上σ11=σ，垂直于拉伸方向上σ22=σ33=0。

將式(5)、式(11)、式(13)代入(12)，得：

σ11=-p+2Aλ2{exp[a(I1-3)]-bln(I1-2)}

(15)

σ22=σ33=-p+2Aλ-1{exp[a(I1-3)]-bln(I1-2)}

(16)

又因為σ22=σ33=0

(17)

σ11為真實應力(Cauchy應力)，不可壓條件下，名義(工程)應力f11可表示為

(18)

用非線性回歸分析方法，擬合拉伸應變率為1.19×10-4s-1(0.5 mm/min)、11.9×10-4s-1(5 mm/min)、47.6×10-4s-1(20 mm/min)、0.023 8s-1(100 mm/min)、0.119 s-1(500 mm/min)的單軸拉伸試驗數據，擬合曲線與試驗曲線對比見圖2。

(a)100、500 mm/min

(b)0.5、5、20 mm/min

由圖2可看出，擬合結果與試驗結果基本吻合，說明本文所提模型能夠較好地表征推進劑的拉伸特性。另一方面，圖2(a)、圖2(b)對比表明，模型對于數據的擬合效果與拉伸速率有關，拉伸速率愈低，擬合效果愈好。因此，所提模型更加適用于描述低應變率下推進劑的粘彈性力學行為。不同應變率下模型參數的取值不同，但呈規律性分布，參數擬合結果見表1。不同應變率下模型參數的散點分布如圖3所示。由圖3可看出，參數取值與應變率之間呈現非線性相關關系，可考慮作一元非線性回歸。根據散點分布趨勢線的走勢，選取以下2種函數作為理論回歸方程：

表1 不同應變率下的模型參數Table 1 Model parameters at different strain rate

(a)參數A

(b)參數a

(c)參數b 圖3 模型參數回歸曲線Fig.3 Regression curves of model parameters

同時，對多種不同配方HTPB推進劑的參數函數進行了擬合。結果表明，上述方法具有良好的普遍適用性，多種配方的材料參數均可表示為關于應變率的冪函數形式。

(19)

表2 參數函數擬合結果Table 2 Fitting results of parametric functions

代入式(11)，則應變能函數表示為

基于BIM模型，進行空調系統的自動設計。主要由三步組成：（1）空調分區與負荷計算。由BIM模型通過計算導出輕量化模型，進行自動分區與負荷計算，輸出房間負荷計算結果、空調系統分區結果、建筑基本幾何信息；（2）理想系統的生成。輸出理想系統描述文件（包含設備明細，連接關系）；（3）實際系統的生成。修正理想系統描述文件，生成實際空調系統圖。在BIM大力發展的時代，通過空調系統的自動設計，來減輕工程師在設計中的繁重勞動，能將更多精力投入在方案的選擇上。在實際工程中，減少與建筑、結構設計的時間滯后性，促使各部門之間及時地互聯互通。

[1-ln(λ2+2λ-1-2)]-1}

(20)

3.2 模型驗證

為了驗證所建應變能模型和本構模型的準確性，將應變率為4.76×10-4(2 mm/min)、0.476 s-1(2 000 mm/min)的單軸拉伸試驗結果與本文模型預測結果、數值計算結果、Mooney-Rivlin模型預測結果以及BKZ單積分本構模型預測結果進行對比，如圖4所示。

圖4表明，所建模型可較好地預測拉伸速率為2、2 000 mm/min下的名義應力，預測結果優于Mooney-Rivlin模型和數值仿真，與能有效反映應力松弛等粘彈特性的BKZ模型預測結果基本相同，且在2 000 mm/min時，一定程度上優于BKZ模型，驗證了模型的準確性。由于所提模型避免考慮復雜的物理本質和發展過程，因此比以往模型更有利于工程應用。

(a)2 mm/min

(b)2 000 mm/min

在較大變形時，模型誤差較大的原因是從粘彈性應變能函數出發，研究推進劑的本構關系，并未考慮在較大變形下的損傷和破壞效應，單純運用此模型，無法準確描述推進劑較大變形時的力學特性。描述推進劑大變形下的力學行為，需要計及損傷演化和破壞性能的更加普遍的理論模型。

以上同時驗證了所建立應變能函數的有效性，由應變能函數表達式可得應變能密度與變形之間的關系，如圖5所示。從圖5可見，隨變形量增大，推進劑的應變能密度呈非線性單調增長；同一變形條件下，應變率越高，推進劑的應變能密度越大。

圖5 推進劑應變能密度與變形的關系曲線Fig.5 Relationship between strain energy density and deformation of propellant

4 結論

(1)所提出的推進劑粘彈性應變能函數和非線性本構方程的一般形式，可較好反映材料在有限變形條件下的力學特性，選取冪函數作為回歸方程，對不同應變率下的模型參數作一元非線性回歸，得到了材料參數關于應變率的函數，由此建立的本構方程能夠準確描述拉伸變形條件下的應力應變關系，且求解方法和方程形式較為簡單，比以往更有利于工程應用。

(2)推進劑在不同拉伸速率下的材料參數不同，但呈規律性分布，擬合的參數函數反映了材料特性與應變率的關系呈現冪函數形式；推進劑應變能密度隨變形的增大呈非線性單調增長，且在同一變形條件下，應變率越高，推進劑的應變能密度越大。

(3)模型對于復合推進劑應力應變行為的預測結果與試驗結果吻合較好，但仍然存在不足之處，即較大變形時，模型的誤差較大，且低應變率下的預測效果優于較高應變率下的預測效果。因此，所建模型尤其適用于表征低應變率拉伸條件下，材料在有限變形內的粘彈特性。

[1] 張永敬, 趙光輝, 陽建紅, 等. HTPB復合固體推進劑非線性本構研究[J]. 推進技術, 2000, 21(4): 69-72.

[2] Leaderman H. Elastic and creep properties of filamentous materials and other high polymers[M]. Washington D C: Textile Foundation, 1943.

[3] Ward I M. Mechanical properties of solid polymers[M]. New York: Wiley, 2012.

[4] Shcapery R A. On the characterization of nonlinear viscoelastic materials[J]. Polymer Engineering and Science, 1969, 9(4): 295-310.

[5] Schapery R A. Correspondence principles and a generalized J intergral for large deformation and fracture analysis of viscoelastic media[J]. International Journal of Fracture, 1984, 25(3): 195-223.

[6] Schapery R A. Nonlinear viscoelastic and viscoplastic constitutive equations with growing damage[J]. International Journal of Solids and Structures,1999, 97(1-4): 33-66.

[7] Findley W N, Lai J S, Onaran K. Creep and relaxation of nonlinear viscoelastic materials[M]. Amsterdam: Noth-holland Publishing Company, 1976.

[8] Bernstein B, Kearsley E A, Zapas L J. A study of stress relaxation with finite strain[J]. Trans. Soc. Rheol.,1963, 7(1): 391-410.

[9] Gyoo D J, Sung K Y, Bong K K. A three-dimentional nonlinear viscoelastic constitutive model of solid propellant[J]. International Journal of Solids and Structures, 2000, 37(34): 4715-4732.

[10] 龔建良, 劉佩進, 李強. 基于能量守恒的HTPB推進劑非線性本構關系[J]. 含能材料, 2013, 21(3): 325-329.

[11] 鄧凱, 陽建紅, 陳飛, 等. HTPB復合固體推進劑本構方程[J]. 宇航學報, 2010, 31(7): 1815-1818.

[12] 彭威, 周建平, 任均國. 復合固體推進劑非線性粘彈本構方程的微觀力學分析[J]. 固體火箭技術, 1999, 22(4): 23-25.

[13] Khajehsaeid H, Arghavani J, Naghdabadi R. A hyperelastic constitutive model for rubber-like materials[J]. European Journal of Mechanics A/Solids, 2013, 38: 144-151.

[14] Singh F, Katiyar V K, Singh B P. A new strain energy function to characterize apple and potato tissues[J]. Journal of Food Engineering, 2013, 118(2): 178-187.

[15] Garikipati K, Ktepe S G, Miehe C. Elastica-based strain energy functions for soft biological tissue[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2008, 56(4): 1693-1713.

[16] Hrapko M, Van Dommelen J A W, Peters G W M, et al. The mechanical behaviour of brain tissue: Large strain response and constitutive modelling[J]. Biorheology, 2006, 43(5): 623-636.

[17] Yang L M, Shim V P W, Lim C T. A visco-hyperelastic approah to modelling the constitutive behaviour of rubber[J]. International Journal of Impact Engineering, 2000, 24(6-7): 545-560.

[18] Hart-smith L J. Elasticity parameters for finite deformations of rubber-like materials[J]. The Journal of Applied Mathematics and Physics, 1966, 17(5): 608-626.

(編輯：劉紅利)

Viscoelastic strain energy and nonlinear constitutive model for HTPB composite solid propellant

ZHANG Xiao，ZHENG Jian，PENG Wei，ZHANG Qian-tu

(Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China)

To characterize the mechanical property of HTPB composite solid propellant under finite deformation condition, viscoelastic strain energy and nonlinear constitutive model were studied in this paper. The general forms of strain energy function(SEF) and nonlinear constitutive model were proposed, and the tensile test data were fitted by unitary nonlinear regression analysis. As a consequence, the material parametric function of strain rate was obtained, and on this basis the uniaxial tensile SEF and constitutive equation were established. The nominal stress curves at different strain rate were predicted, furthermore, they were compared with experimental results and prediction results of existing models. The results show the power function relationship between material parameters and strain rate, and the strain energy density proves to rise nonlinearly with strain, the higher the strain rate is, the larger the strain energy density will be at the same deformation. Moreover, the constitutive equation was demonstrated to be accurate on describing the tensile stress-strain relation of propellant, especially on representing the viscoelastic behavior at finite deformation and low strain rate.

HTPB propellant；strain energy；nonlinear regression；parametric function；constitutive equation；deformation

2014-09-01；

：2014-10-22。

張曉(1990—)，男，碩士，研究方向為固體推進劑力學性能。E-mail:erebuss@outlook.com

V512

A

1006-2793(2015)06-0827-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.06.014