等差數列及其通項公式教學設計

翁丹琪　謝陳祎奔

一、學習內容分析

本課選自《普通高中課程標準試驗教科書·數學必修5》（人教A版）。數列是高中數學重要內容之一，主要研究的是等差數列的定義、通項公式的推導。學生已經學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法：通項公式和遞推公式，有了一定的基礎，本節課的內容是學習等差數列求和的基礎，使數列的知識進一步深入和拓廣，同時等差數列也為今后學習等比數列提供了“聯想”，“類比”的思想方法，起到了承上啟下的作用。

本節課借助生活中的典型實例，讓學生通過自己分析、推理、歸納等活動過程，從中了解等差數列的定義和通項公式。通過本節課的學習，要求學生理解等差數列的定義，掌握等差數列的通項公式，并且了解等差數列與一次函數的關系。

二、學習者分析

學生對數列的知識已經有了大概初步的了解和認識，對數學公式的運用也具備一定的技能，已經熟悉由觀察到抽象的數學活動過程。他們的思維正從屬于經驗性的邏輯思維向抽象思維發展，但仍需要依靠一定的具體形象的經驗材料來理解抽象的邏輯關系，同時思維的縝密性還要加強。

三、教學重點難點

重點：1.等差數列的概念；2.等差數列的通項公式的推導過程及應用。

難點：1.理解等差數列“等差”特點及通項公式含義；2.等差數列的通項公式的推導過程。

四、教學目標

1.知識與技能：理解等差數列定義，掌握等差數列的通項公式，了解等差數列與一次函數的關系。

2.過程與方法：培養學生觀察、歸納能力，在學習過程中，體會歸納思想并加深認識；通過概念的引入與通項公式的推導，培養學生分析探索能力，增強運用公式解決實際問題的能力及滲透函數、方程的思想。

3.情感態度與價值觀：通過對等差數列的研究，加強理論聯系實際，激發學生的學習興趣，培養學生將數學學習放眼生活，用生活眼光看數學的思維品質。

五、教學過程

（一）創設情境，引入新課

情境1：把班上學生學號從小到大排成一列。

問題1：這是數列嗎？你能歸納出它的通項公式嗎？

師生活動：教師引導學生結合已學過的知識回答問題。（an=n）

情境2：看書本上的實例

問題2：書上的三個數列又分別有什么規律呢？

師生活動：學生回答它們的規律，教師歸納上面數列的共同特征（d是常數）。

（二）探索新知，突出重點

問題3：滿足上面這種特征的數列很多，我們有必要為這樣的數列取一個名字。

師生活動：學生共同回答：等差數列；教師寫出課題：等差數列。

問題3：如何定義等差數列。

師生活動：教師引導學生思考并嘗試給出定義，再由學生發言給出定義，教師板書定義并加以補充完善，從而得到嚴格的等差數列定義。

教師歸納（板書）：

等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。

對定義進行分析，強調：①同一個常數；②從第二項起。

（三）推進概念，發現性質

問題4：想一想，一個等差數列最少有幾項？它們之間有什么關系？

師生活動：學生思考后回答，至少三項，然后老師引導學生概括等差中項的概念。

教師歸納（板書）：

等差中項：設三個數a，A，b成等差數列，則A叫a與b的等差中項。同時有A-a=b-A。

說明：（1）上面式子反過來也成立。

（2）等差數列中的任意連續三項都構成等差數列，反之也成立。

設計意圖：概括等差中項的概念，總結等差中項公式，用于發現等差數列的性質。

（四）探究通項公式

思考：對于一個數列，我們最關心的是每一項，而這就要求我們能知道它的通項公式。下面我們來研究等差數列的通項公式。

師生活動：教師推導出等差數列的通項公式，學生跟著老師的思路并進行回答。

教師歸納（板書）：

若一等差數列{an}的首項是a1，公差是d，則根據等差數列的定義可得：

a2-a1=d，即a2=a1+d，

a3-a2=d，即a3=a2+d，

a4-a3=d，即a4=a3+d

……

猜想：a40=a1+d，

進而歸納出等差數列的通項公式：

an=a1+（n-1）d

此時指出，這種求通項公式的方法叫不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，為了培養學生嚴謹的學習態度，在這里向學生介紹另外一種求數列通項公式的辦法——累加法。

累加法：

a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，

……

an-an-1=d

將這（n-1）個等式左右兩邊分別相加，就可以得到

an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d（1）

當n=1時，（1）也成立。

所以對一切n∈N*，上面的公式都成立，因此它就是等差數列an的通項公式。

（五）課堂練習，鞏固提高

例1：（1）求等差數列8，5，2…的第20項？

（2）-401是不是等差數列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？

師生活動：學生練習。

教師歸納（板書）：

解：（1）由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得

a20=8+（20-1）*（-3）=-49；

（2）由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數列的通項公式為

an=-5-4（n-1）=-4n-1

成立。解這個關于n的方程，得n=100，即-401是這個數列的第100項。

（六）復習小結，深化內涵

問題6：這節課你學到了什么？

師生活動：教師鼓勵學生積極回答，請學生小結學習了本節課有什么收獲，其他同學進行補充，然后教師根據學生回答進行概括補充。

教師歸納：

主要內容有：（1）等差數列定義和通項公式；（2）等差中項：A叫a與b的等差中項；（3）等差數列的性質。