關于水星近日點進動計算的方法

莫子杰 陳 浩

（華南師范大學物理與電信工程學院，廣東廣州 510006）

水星近日點進動問題是廣義相對論的幾個實驗例子中最具有代表性的.在牛頓理論中，如果不考慮其他行星等因素對水星的影響，它繞日運行的是一個閉合橢圓軌道；在考慮了其他行星的攝動等因素影響后，水星近日點存在約5557秒／百年的進動，但得出的進動角仍與天文觀測值相差約43秒／百年，這在牛頓理論中難以解釋.而愛因斯坦的廣義相對論理論則給出了合理的解釋，它認為在僅考慮水星繞日運轉時，其近日點依然會有進動，其值剛好約43秒／百年，與天文觀察值高度吻合.這也成為了廣義相對論正確合理的有力證據.

行星近日點的進動角可以由其軌道運行的角頻率和周期推出.下面用兩種計算方法求解出行星運行的角頻率和周期，一種是改進一般文獻［1-3］所用的近似求解方法，采用奇異攝動法——PLK方法求解；另一種則通過求解一個特定軌道的橢圓函數解得出，最后也都自然得出進動角.

根據廣義相對論，設太陽的引力場為真空靜態球對稱場并由史瓦西度規描述，則行星的繞日運動滿足自由粒子的測地線運動方程，再結合行星運行的守恒定律，可推導得行星運行軌道所依據的微分方程為

1 運用PLK方法近似求解

因為方程非線性項的量級很小，可以用攝動法求出非線性方程的解.一般文獻［1-3］用逐次逼近法近似求解，在求解過程中經過多次近似后，求得軌道近似解為其中e為偏心率，軌道角頻率為1-3C.然而，這種解法在求解軌道函數u的過程中忽略了里面的一個正比于φ·sinφ的久期項.根據攝動法的要求，由于u對所有的φ在（-∞，＋∞）應該是有界的，所以求出來的近似解也應該有界.但久期項的出現使得u不再對所有的φ有界，于是就必然要求φ的取值范圍在零的附近時才可略去久期項.但由于行星運行軌道具有的周期性，這里對φ的取值并不必然要限定在某一區間內，因此這里所采用的方法在數學上有局限.關于這一點文獻［4］中也有提及，它提出直接找另一個有界的函數來代替這一久期項.

下面，我們提出采用PLK方法來求解式（1），它是一種有效的奇異攝動法，適合用于弱非線性問題.根據PLK方法［5］，可把軌道函數和角頻率都作漸進展開，這樣不僅可避免久期項的出現，使u對所有的φ都有界，而且求解過程不需要再作其他近似便可得出軌道函數的逐級近似解，最后也給出了軌道角頻率和周期的表達式.

這里由于C的量級很小，設ε＝3C，則可把ε看成是方程中的小參數.再設一新變量為φ＝ωφ，把ε和φ代入方程（2）中，有

ω表示運動軌道的角頻率.將U和ω分別作攝動展開，精確到一級近似

把展開后的U和ω，即式（4）和式（5）代回到方程（3）中，得到關于ε的零級近似和一級近似方程分別為

由此可首先求解零級近似方程（6），它的解為

其中，a和φ0為由初始條件確定的常數.把零級近似的解（8）式代入一級近似方程（7）中，可得

式（9）右邊第二項會誘發久期項.為消除久期項，令它前面的系數為零（非久期條件），即

由式（10）解得ω1＝-ω0，進而一級近似方程化為

求解方程（11），可得其解為

于是微分方程的解U和軌道角頻率ω經PLK方法的攝動展開后為

式（16）即為式（15）中余弦函數的角頻率，所以得出ω0＝1.最后也可以得到軌道周期為

用PLK方法求出來的解不但與一般文獻中用逐次逼近法求得的結果一致，而且還可以給出更高階的軌道修正函數和角頻率，清晰地看到軌道函數和角頻率經過一級一級的修正展開，加強了研究的精確性和規律探究.加之沒有久期項帶來的問題，φ在（-∞，＋∞）都是有界的，不必作范圍限定，更符合數學物理要求.

特別的，這里解到的軌道函數式（15），在略去C2及更高階項并代入水星運行軌道的參數后，可解得待定常數a即對應為經典橢圓軌道的偏心率e，初相位φ0＝0.顯然此時軌道函數u（φ）就退化到一般文獻［1-3］給出的近似解.

2 求出方程的橢圓函數解

對微分方程（1）式整理后，有

微分方程式（18）可以找到橢圓函數形式的解.但常數P需要由方程（1）的初始條件確定，它與行星的守恒量有關.然而我們注意到，一般在近似求解微分方程（1）得到運動角頻率到一級近似值時，并不需要確切給定P的值.我們選一個特殊情況，即令P＝0，使得方程（18）可以得出具體的橢圓函數解，進而得出運動角頻率和周期.后面可以證明，這樣解出來的結果與以往的方法得到的行星進動結論是一致的.

由于此時P＝0，故設滿足P＝0的軌道函數為u′，于是得

式（19）是滿足一種特別形式的橢圓方程［5］，可以嘗試找到它的具體橢圓函數解.整理式（19）有

由于C很小，故在m2、A、k2的表達式中，根號內均為正數且小于1.要注意的是，根據橢圓函數的性質，若方程（20）要有橢圓函數解，m2的取值范圍應在0到1之間.但現在由于C的量級很小，必然有m2＞1，故不能直接得出橢圓函數解，需要先做變量變換.

式（21）右邊的m′2的取值范圍在0到1之間，故可以得到方程的橢圓函數解為

即有

其中，φ′為常數，式（23）表述的是一種非線性運行軌道.進而可以根據橢圓函數的實周期求出行星運行軌道的周期.在式（23）中，對應橢圓函數的角頻率ωe＝2mk，橢圓余弦函數和第三類Jacobi橢圓函數的共同實周期為4 K（m′），可得軌道周期為K（m′）為第一類完全橢圓積分，式（24）是行星運行的周期，它是一個非線性運行軌道的周期.

模數m′是一個很小的量，特別的，若模數m′不斷減小直至趨于零，則C的值趨于零，橢圓函數趨于極端線性的情況，從式（24）可知此時軌道周期會變為2π，這就等于要求太陽的質量趨于零或行星運動的角動量為無窮大.顯然這樣的極端線性情況實際是不可能發生的，所以行星運行的進動在自然界中本質上說是一種非線性現象.

3 兩種方法求得的角頻率聯系

運用PLK方法求解得出的結果體現的是一種線性運動解；而在計算u′得到橢圓函數解時，得到的是非線性運動的解.我們知道，行星運行軌道方程為非線性微分方程，PLK方法將非線性方程等效地線性化求解，所以它求解出來的角頻率應該理解為是在相同周期的非線性運動下的一個等效線性角頻率［5］.下面通過定義非線性運動的等效線性角頻率，證明在一級近似下，它就是PLK方法求出的角頻率ω.

橢圓函數解對應的行星運行周期為式（24）.定義等效的線性角頻率為ωl，則

因為C和m′都非常小，故將式（25）中的分子、分母的表達式分別做小量展開，略去三階及以上的項，可得

最后略去式（27）展開后C2及更高階的項，可得

把式（28）與式（16）作比較后易知，這個等效的線性角頻率ωl正是用PLK方法求解出來的軌道角頻率ω，這也說明了兩種計算方法本質上是等效的.

4 水星進動角的結果驗證

PLK方法求得的一級近似的軌道角頻率表達式（16）與文獻［1-3］給出的一致，其計算結果必然也與其得到的結論一致.定義進動角（如圖1所示）為Δφ，即有

圖1 定義進動角

把水星對應的物理量代入式（29）中，結果就是通常文獻給出的水星進動角表達式.

下面來計算由橢圓函數解得的軌道周期表達式得出的水星進動角結果，并可通過天文觀測的數值作檢驗.定義通過橢圓函數解得出來的進動角為Δ′φ，則有

式（30）是進動角的表達式，Δ′φ的單位為弧度／周.對于水星近日點的進動，一般給出的是每百年進動的角度Δφcentury，單位是秒／百年.水星每一百年繞日轉過約415周，所以經過代數換算有

從式（30）可知Δ′φ是與C有關的表達式.略去表達式分子中m′4及以上的高階項，再將C＝中各個對應的物理參數值［6，7］代入式（30）及式（31）后，最后算得具體數值為

根據天文觀測的結果，水星近日點每百年的進動角度值應為43.11″±0.45″.而上面計算得到的進動值顯然是在觀測范圍內的，所以說明橢圓函數解的運行周期和進動角表達式是符合事實的.

5 結語

以上的兩種求解方法進一步分析了行星的進動問題，并且計算出的相應結果與文獻的一致，也符合天文觀察事實.有的文獻［7-9］通過其他方法，不具體求解軌道角頻率和周期也得到近日點的進動角.總之，行星近日點進動的這個問題，由于條件的限制，在計算過程中難免需要通過某些近似或通過調整方程中的參數來求解.當然，基于實驗觀察數據的精確性，這里的計算結論已為廣義相對論提供了有力的證據！

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