基于項目學習的數學課堂活動設計及教學
——以“最短距離”為例

☉上海市嘉定區南翔中學 王 欣

☉北京師范大學教育學部 何聲清

基于項目學習的數學課堂活動設計及教學
——以“最短距離”為例

☉上海市嘉定區南翔中學 王 欣

☉北京師范大學教育學部 何聲清

基于項目的學習（Project-based learning，簡稱PBL）關注的是學科的核心概念及原理，要求學生從事問題解決，著眼于現實世界的探究及其他有意義的活動.［1］它是以課程內容相關的真實生活項目為載體，以促進和提供學習經驗的教學策略［2］或方法.［3］在美國，PBL已然是基礎教育階段廣泛推行的教學模式，［4］代表性的項目設計有：基于多媒體的項目學習（PBL+MM）、［5］Sally Berman設計的系列項目學習［6］等.此外，我國香港地區的“知識社區”軟件（KnowledgeCommunity）［7］也是PBL的有益探索.

一、PBL的合理性與必要性

1.學生發展的需要

數學課堂教學的目標之一是積累數學活動經驗.從學生的未來發展而言，他們除了需要掌握學科的基本知識和基本技能以外，還需要發展數學推理、數學建模、問題解決等能力，以及培養良好的數學素養.傳統教學中的活動大多是服務于課堂講解，而專門的數學活動課往往因缺乏設計而目標性不強.基于PBL的活動設計則以項目為載體，以明確的三維目標為導向，關注的是學生的自主學習、合作意識、創新意識及問題解決能力.

2.社會發展的要求

信息時代的知識爆炸和科技革新對新時期人才的培養提出了新的要求.培養成“實踐型能力”、“分析型能力”、“創新型能力”的學生已然是社會發展對基礎教育提出的新目標.［8］PBL是以學生操作、探索、設計等活動為主要方式，突出學生實踐、分析及創新能力的課堂組織形式.“它可以擺脫過去言語—語言智力和邏輯—數理智力所強調的以測驗為本的學習傾向，促使學校和教師去發現、開發每個學生的智力強項.”［9］

3.課程改革的取向

義務教育數學課程標準（2011年版）提出：“數學課程內容既包括數學的結果，也包括結果的形成過程及其蘊含的數學思想.課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索.課程內容的組織要重視過程、直觀及直接經驗.”［10］PBL為學生學習數學提供了互動、合作、交流的活動場所，學生作為項目的直接參與者，在具體的任務背景和問題情境中，能夠參與觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，體會數學知識之間、數學與生活之間的聯系，發展問題解決的能力，積累數學活動經驗.

二、基于項目學習的“最短距離”活動設計

本節有關“最短距離”的活動課是基于兩個項目展開的.在學生已經具備了“兩點之間，線段最短”，平行四邊形的判定及性質，以及對稱性的知識儲備的基礎上，作者設計兩個貫穿“最短距離”的活動項目.項目Ⅰ涉及了“利用對稱性及平移，構造直線”的轉化策略；項目Ⅱ涉及了“化折為直、化曲為直，構造直線”的轉化策略.項目設計旨在讓學生面臨實際的項目設計，在“做數學”中體驗“最短距離”問題中的轉化策略及其思想，積累問題解決的活動經驗，提高邏輯思維能力，拓寬視野及提升數學素養.

1.活動項目Ⅰ：設計最便利的交通路線

某城市預計發展一個新興產業，需要建造一個港口，一座大橋.港口用于存放原材料，已知A鎮為運輸工人所住地，距離河岸垂直距離為5000米，B城為材料加工點，距離河岸垂直距離3000米.每天工人要從公寓趕到港口C（港口位于靠近公寓的一側）取原材料送到加工點，加工好之后運到河對面的銷售點D，銷售點距河岸垂直距離為7000米.已知A、B兩地的水平距離為10000米，B、D兩地的水平距離為12000米（如圖1）.

（Ⅰ）為節省成本，請你在河岸選定合適的一處作為港口，使得工人每天取材料及到加工廠的路線最短.

（Ⅱ）為節省成本，現需要修建一座垂直于河岸的橋，請你選定合適的橋址，使得工人從加工廠到銷售點的路線最短.

圖1

活動過程：

（1）明確項目目標：選取合適的港口及橋的位置，設計最便利的交通路線.

（2）現實問題數學化，分析問題的數學意義.

師：對于實際生活中的本例，首要的工作是什么？

生：畫出圖形，把實際問題轉化為數學問題.

師：這里把實際問題用數學語言表達，就是我們以后要用到的建立模型.

師：如圖2所示，A、B兩地位于河的同側，需確定港口，即C點的位置，使得A、B兩地到C點的距離之和最小，如何用數學語言表示？當然，按照題意，C點應位于直線m上.

圖2

生：就是確定點C，使得線段AC+BC的長度最小.

師：兩條線段AC、BC的端點有何特點？

生：有個公共端點C.

師：有公共端點的兩條線段在什么樣的情況下線段和最??？

生：兩條線段在同一條直線上.

師：那么本題中AC、BC能否在同一條直線上？若不能，如何處理？

生：不能.但是可以構造出來.由對稱性，過直線m作點B的對稱點B′.由對稱性可知，BC=B′C.問題就轉化為，求作點C，使得AC+B′C最小.

師：現在，能不能求得C點的位置了？

生：能.連接AB′與直線m交于點C，C就是所要求作的點（如圖3）.

圖3

師：能解釋一下為什么這里的點C就是所求點嗎？

生：由對稱性可知，BC=B′C，則AC+BC=AC+B′C，此時，AC，B′C在同一直線上，它們的和即AB′，一定是最短的.

師：有什么方法可以驗證你的結論呢？

生：可以再找一個點比較一下.

師：具體該如何操作？

生：在直線m上任取C點以外的點C′，連接AC′，BC′.其實，再連接B′C′，由對稱性可知B′C′=BC′.所以，AC′+ BC′=AC′+B′C′.因為“兩點之間線段最短”，所以AC′+B′C′>AC+B′C.也就是說，AC′+BC′>AC+BC（如圖4）.

圖4

師：這樣，我們解決了項目的第一個設計.接下來，如何確定橋的位置？首先，把問題轉化為數學語言.注意，橋是垂直于河岸的.

生：就是確定一個線段EF垂直于直線m、n，分別交m、n于點F、E.使得BF+EF+DE最小.

師：這是一個求最短折線的問題.依據項目第一個任務中轉化的方法，大家對于這個任務有沒有想法？

生：由于河的寬度不變，不論橋修在哪里，橋都是必經之路，且橋長相當于河寬，是一個定值，所以可以預先把這段距離扣除，只要使A、B城和銷售點D到河邊橋頭的距離最短就可以了.

師：有道理，那如何預先扣除橋長呢？

生：就是假設先走完橋長，即先把橋平移到B城，先過了橋，到B′點，找出B′到D的最短路線.

師：把橋平移后，那么如何確定橋的位置呢？

生：連接B′D，與直線n交于點E，過點E作EF⊥m于點F，則EF就是所要選的橋的位置（如圖5）.

圖5

師：大家能否驗證一下，如果這樣選取橋址，從B點過江到D點的路線是最短路線嗎？

生：同第一個問題的驗證方法類似，選取另一處橋址E′F′.在四邊形BB′EF中，BB′與EF平行且相等，根據平行四邊形的判定定理，可知四邊形BB′EF為平行四邊形.則BF=B′E，則路線BF+EF+ED=BB′+B′E+ED=BB′+B′D.若選擇E′F′，則路線為BF′+E′F′+E′D，同理可證，四邊形BF′E′B′為平行四邊形，則BF′=E′B′.所以路線BF′+E′F′+ E′D=BB′+B′E′+E′D.由“兩點之間，線段最短”可知，B′E′+E′D>B′D.即表明：BF′+E′F′+E′D>BF+EF+ED，說明EF為最佳橋址.（如圖6）

圖6

師：同學們，我們通過激烈的討論和合作，共同解決了項目Ⅰ中的兩個任務，選取了建造港口和橋的最佳地址，為材料加工及運輸設計了一條最便利的路線.請大家想一想，我們解決這個問題的思路是什么？

生：明確目標，建立模型，通過對稱性或平移轉化為兩點一線的問題，驗證結論.

2.活動項目Ⅱ：為螞蟻過關出主意

如圖7，游戲中，螞蟻需要經過重重關卡，依次吃掉位于城堡上A、C、E處的糖.第一關：起點為O點，爬過樓梯，吃到A點的糖；第二關：到達B點，進入城堡，城堡為圓柱形，爬到城堡上C點（B、C兩點對應），吃糖過關；第三關：沿線段CD爬到點D（C、D在同一條母線上）處后，吃到E點處的糖過關.三關一次性通過，游戲過關，你能幫螞蟻設計出過關的最短路線嗎？

圖7

活動過程：

師：同學們，遇到實際問題，第一步做什么？

生：根據題意，畫出圖形.

師：首先解決第一關，如圖7所示，螞蟻從O點爬過樓梯吃到點A處的糖.螞蟻從O點爬到A點所走的路線是什么圖形？

生：折線.

師：那么第一關的最短路線的問題轉化成數學語言如何表示？

生：找到一條路線，使得折線之和最短.

師：大家先來動手操作，用一張長方形紙片，能不能折疊出樓梯？

生：演示折疊樓梯.

師：請同學們在第一層樓梯的長方形的一個頂點標上O點，在最后一層樓梯與O點相對的頂點標上點A.

師：現在我們的目標是什么？

生：就是設計路線，使得O點到A點的路線最短.

師：大家思考：用紙片可折疊出樓梯，那么反過來呢？生：可以把樓梯鋪成紙片.

師：樓梯鋪成紙片后把O點和A點找出來，大家思考，如何設計O點和A點的最短路線呢？

生：樓梯鋪開就成為了一個長方形.那么O點和A點之間的最短路線就是線段OA.（如圖8）

師：依據是什么？

生：兩點之間，線段最短.

圖8

師：這樣做的簡便之處，就是“化折為直”，把折線問題轉化成直線問題.

師：那么，第二關之前，螞蟻要從A點到達B點，應該如何設定路線？

生：沿線段AB爬行.兩點之間，線段最短.

師：現在來看第二關.城堡是一個什么圖形？

生：圓柱.

師：螞蟻爬行的路線是什么圖形？

生：曲線.

圖9

師：那么能不能把曲線問題再次轉化為直線問題呢？

生：如前一個問題所示，把這個圓柱沿豎直方向剪開，鋪成長方形，那么最短路線就是B點與C點之間的線段.（如圖9）

師：第三關之前，螞蟻從C點到達D點的路線應該如何設計呢？

生：線段CD.

師：第三關是“如何求從D點爬到E點的最短路線問題”.大家先來說，房頂是個什么圖形？

生：圓錐形.

師：如果圓錐沿線剪開，又是什么圖形？

生：扇形.

師：那么D、E之間的路線應該如何設計才最短呢？

生：把圓錐剪開，連接DE，則線段DE就是最短路線.（如圖10）

師：大家再來總結一下，這個問題的解決思路是什么？

生：把折線和曲線問題轉化為直線問題.

圖10

師：對了，“化折為直”和“化曲為直”的思想就是數學中的轉化思想.

反思：通過本節課的項目活動設計，讓學生主動參與問題解決的全過程，在“做項目”中內化舊知，通過建立模型實現“數學化”和“情境化”的有效對接，有效培養了學生的數學應用意識及問題解決的能力.

1.http：//wwwbie.org/pbl/reso.html.

2.http：//pblmm.kl2.ca.us/pblguide/pbl&pbl.htm.

3.http：//www.jearpcanada.org/guideontheside.html.

4.巴克教育研究所.項目學習教師指南［M］.任偉，譯.北京：教育科學出版社，2008.

5.http：//PBLchecklist.4teachers.org.

6.Berman，S.多元智能與項目學習：活動設計指導［M］.夏惠賢，等，譯.北京：中國輕工業出版社，2004.

7.http：//www.bnude.com.cn/education/message/yjbg_04. html.

8.黃榮懷，鄭蘭琴.解讀“多元”智力：多元智力理論與三元論述評［J］.中國電化教育，2004.

9.夏惠賢.多元智力理論與個性化教學［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2003.

10.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.Z