優選精練重變式，示拙讓學促生成
——中考復習課中例習題教學設計的思考

☉江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校 王小林

優選精練重變式，示拙讓學促生成
——中考復習課中例習題教學設計的思考

☉江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校 王小林

對于初三數學復習，我們一般會選一種以復習資料為藍本，采取“一輪——知識的總復習、二輪——模塊內容及數學思想方法的專題復習、三輪——模擬訓練”的模式.然而，筆者發現在日常的初三復習教學中，部分教師在例習題教學時具有太多的隨意性，學生往往會覺得枯燥無味，缺乏新鮮感，提不起精神，這樣無疑會大大降低復習效果，難以實現預定的復習目標.出現這樣的現象，除了教學壓力大、任務重、問題難、人手緊等客觀因素，最主要的原因還在于教師的教學觀出了問題.不少同行似乎有一種教學習慣：復習課就是習題課，無需像新課那樣精心設計.那么，如何讓初三復習課中的例習題教學也能生動活潑、精彩有效呢？特別是，讓復習課這首老歌新唱呢？以下談一些個人的實踐與反思.

一、初三數學例習題教學設計的對策：從“體力活”轉到“腦力活”

復習課中例習題教學設計怎么寫？對于例習題，教師應該先獨立思考，一般情況下可以順利解決；如果遇到困難，可以與同事交流討論或參考答案，反思自己的解題思路卡在哪里、為什么會卡、如何突破，并把自己的解法、同事的解法、答案的解法相互比較，從學生的最近發展區充分預設，從而抓住其要，悟出其道.只有在充分預設的基礎上，寫清設計的思路、題目分析、難點的突破、數學思想方法的總結與提煉等，以評注的形式或多或少地寫在講義上.這樣的設計充分才是遵循了學生的認知規律，尊重了學生的思維，從而使得課堂上學生的思維“水到渠成”，而不再是教師的“個人獨唱”.

1.力求精選、精練

所謂“精”，其含義有二：一是質量高，二是數量少.實踐反復證明，題海戰術行不通：填鴨式地講10道題，很多情況下還不如講清、講透1道題的效果好；練習的關鍵問題在于學生理解了多少、思維有沒有獲得提升.我們應追求以“一題應萬題”、“萬變不離其宗”的教學境界.比如，在二輪復習中，筆者在教學“一類圖形的最值問題”時設計這樣一道題：

例1如圖1，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為A（N的中點，點P是直徑MN上一動點，則PA＋PB的最小值為_________．

事實上，A、B為兩定點，P為直徑MN上的動點，屬于“兩定一動，和最小”.只需作出A或者B關于MN的對稱點即可，事實上由于∠AMN＝30°，B為A（N的中點，若作出B的對稱點C，連接AO，則∠AOC＝90°，利用勾股定理求出弦AC的長即可.如果把“兩定一動”改成“兩動一定”，那該如何解決呢？

圖1

變式1：如圖2，E是⊙B上一動點，你能在直線l上找一點P，使得PA＋PE的值最小嗎？

由于圖中B是定點，那么能否將問題PA＋PE轉化呢？連接PB、BE，在△BEP中，利用兩邊之差小于第三邊PE≥PB-BE，所以PA＋PE≥PA+PB-BE，由于BE為定值R（半徑長），所以最終轉化為求PA+PB最小，從而與例題本質一致.

圖2

變式2：如圖3，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A為圓心，1為半徑畫圓，E是⊙A上一動點，P是BC上一動點，則PE+PD的最小值是多少？

圖3

這道題背景中增加了矩形ABCD，求PE+PD的最小值，作為矩形ABCD的頂點，點D是定點，E是⊙A上一動點，P是BC上一動點，屬于“兩動一定求最小”.同理，點A作為圓心為定點，將PE+PD轉化為PA+PD-AE，由于AE為定值R（半徑長），所以最終轉化為求PA+PD最小，與例題本質一致.

變式3：如圖4，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6．經過點C且與邊AB相切的動圓與CA、BC分別相交于點P、Q，則線段PQ長度的最小值是多少？

圖4

由于P、Q均為動點，直接求相對有點麻煩，屬于“兩動問題”，通過對圖形研究，由于∠BCA＝90°，可以確認PQ的身份為所作圓的直徑，所以問題就可以轉化為經過點C且與邊AB相切的動圓何時最小，問題迎刃而解.如果有三個動點呢？

圖5

變式4：如圖5，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE＋PF的最小值是_________．

由于P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，根據我們解決問題的經驗，將PE、PF分別構造△PBF、△PEA，利用PE≥PA-AE，PF≥PB-BF，從而PE+PF≥PA+PBAE-BF，問題得以解決.

上述過程，從“母題”出發，一題多變，層層深入，步步為營，促使學生的思維如“芝麻開花節節高”，所以例題設計顯得尤為重要.筆者認為，例題并不在于有多難，關鍵在于典型.通過解剖一個“麻雀”，積累經驗，從而實現一類問題的解決.比如本課的問題，這個問題并不難，但是它的解答蘊含著解決“一類圖形的最值問題”的一般方法.而一旦有了這個方法，今后只要遇到問題，都可以用它來解決.

2.期待和促進“精彩生成”

葉瀾教授說：“課堂應該是向未知方向挺進的旅程，隨時都有發現意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定的線路且沒有激情的行程.”在教學實踐中，不應該機械地執行預設方案，而要適時洞察“意外通道”，捕捉“美麗圖景”.

比如，二輪復習時，筆者在一次試卷講評課上給學生出示了這樣一道題：

例2如圖6，已知點D是Rt△ABC的斜邊BC上的一點（用含k的代數式表示）．

圖6

圖7

波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”作為教師可以通過“示拙”、“讓學”等教學藝術，引導和激發學生積極思維、互動交流，探索“借題發揮”，再引導學生進行比較分析，將獲得的結論與頭腦中原有的知識相融合，使學過的知識和方法有機地統一起來，不僅可以鞏固、深化所學知識，而且可以促使學生開闊思路、啟發思維、激發興趣、培養能力.

二、初三數學例習題設計有效性的反思

1.例習題設計貴在主題明確，學生積極參與

例習題教學功能如何發揮？關鍵在于例習題設計主題的確定，將教學的起點基于學生的認知起點和能力起點，設計相應的教學內容和教學活動，使各個層次的學生都能獲得相應的發展.例如，在“一類圖形的最值問題”教學設計中，以“和最小、差最大”為主題，以轉化思想的應用為主線，開門見山，以題組形式，分類呈現.例1屬于最基本的“兩定一動，和最小”，變式1、變式2通過轉化，本質上與例1一致.變式3、4分別是“兩動、三動”，通過對問題解法的探究、歸納、總結、拓展，讓學生歸納出了“一類圖形的最值問題”的常見類型，掌握了相應類型問題的解決策略.有效地把學過的知識綜合起來，抓住知識之間的“銜接點”，從而實現學生數學知識、解題方法的整合、貫通.例1、變式1、變式2……巧設“臺階”，以“變式”形式，層層深入，使各個層次的學生都能參與課堂，有效地達成教學目標.

2.例習題設計貴在對學生進行數學思想方法的滲透

數學解題教學的經驗告訴我們，有效的解題方法，能體現很重要的數學思想，它對解決同類問題、拓展思路、提高解題決策能力是十分重要.例習題的教學設計，要能基于這樣的認識，開展數學，可以達到事半功倍的效果.在本文例習題設計中，探究完的比值后，教師請同學們從解題思路中總結方法：遇到三角函數tanB構造直角三角形，因為BC=（k+1）BD，所以CD=kBD，線段成比例構造相似.然后趁熱打鐵讓學生思考有沒有新方法？兩位同學的回答，有異曲同工之妙.雖然輔助線有所不同，但都是基于對tanB和CD=kBD的理解，讓我們驚喜地看到了學生自身數學思維能力的形成.

三、寫在最后

初三年級的數學教學與初一、初二年級并沒有什么本質的區別，只是新授課與復習課的課型不同而已.孔子說過：“吾日三省吾身.”作為教師，應“日省”自己的例習題設計，要讓大部分學生學有所獲，學有發展，使模糊的清晰起來，使缺憾的填補起來，使雜亂的條理起來，使孤立的聯系起來，從而讓學生形成系統化、條理化的知識框架，使學生擁有良好的思維品質與學習習慣.

1.中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012（1）．

2.李庾南．自學·議論·引導教學論［M］．北京：人民教育出版社，2013（7）．

3.章建躍．構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］．數學通報，2013（6）．

4.李庾南，陳育彬．中學數學新課程教學設計30例——學力是這樣發展的［M］.北京：人民教育出版社，2007（10）．Z