由一道物理題引發的對繩子張力的討論

梁依斌

摘 要： 文獻及很多大學物理教材和解題指導書的《剛體的定軸轉動》一章都出現了一道關于繩子張力的習題。這些題中對繩子張力的分析都是錯誤的，有些教材甚至給出滑輪與繩子之間的摩擦力忽略不計的條件，這顯然也是錯誤的，給學生造成誤導。學生對“同一根繩上的張力處處相等”的結論印象深刻，這種知識負遷移影響令學生對繩子張力問題更費解。本文指出了教材和參考書對本題敘述和分析的疏漏，并對繩子張力進行了討論。

關鍵詞： 剛體 繩子張力 知識遷移

1.引言

由西安通信學院朱峰老師主編的《大學物理》[1]及很多其他版本的《大學物理》教材和解題指導書上都有這樣一道或者與之非常相似的題：一繩跨過定滑輪，兩端分別系有質量分別為m和M的物體，且M>m?；喛煽醋鍪琴|量均勻分布的圓盤，其質量為m′，半徑為R，轉軸垂直于盤面通過盤心，如圖1所示。由于軸上有摩擦，滑輪轉動時受到的摩擦阻力矩為M■的作用。設繩不可伸長且與滑輪間無相對滑動。求物體的加速度及繩中的張力。

在該題的分析中有這樣的敘述：“在滑輪繞軸做加速轉動時，它必須受到兩側繩子的拉力所產生的力矩，以便克服轉動慣性與阻力矩的作用?！痹谄渌锢斫滩募傲曨}指導書上對于類似的物理模型幾乎都是這樣敘述的。這樣的表述讓學生非常疑惑，因為滑輪受到的并不是繩子的拉力產生的力矩，而是繩子對滑輪的靜摩擦力產生的力矩；其次，本題中滑輪兩側繩子中的張力不相等，高中階段提到繩子的張力，每位教師都不忘提醒學生“同一根繩子上的張力處處相等”，但沒有給此結論的附加條件，而該結論往往是學生解題時要用到的重要關系之一，因此，學生對此印象深刻?；谝陨蠋c，很多學生對此題的討論與解析有很多疑慮。本文就這幾個問題展開相關討論。

2.對原問題力矩的分析

繩的張力屬于彈性力，其本質是原子間或分子間的電磁力，是由于組成繩的微觀粒子之間的電磁相互作用力而產生的。當繩子的兩端受到沿繩方向的拉力時，構成繩的分子偏離了原來的平衡位置，從而繩子內正負電荷的分布發生畸變，原有的電磁力平衡狀態被破壞，使分子間出現引力或斥力占優的情況，亦即產生張力。從繩子張力的產生機理來看，繩子的張力具有“被動”的特點，即外力作用使繩子發生形變時，才產生張力，而且張力的大小、方向與外力迫使繩子發生的形變有關。設想在張緊的繩子上某位置作一假想的橫截面，在假想的橫截面兩側繩被分開的兩部分之間相互施加的繩內拉力就是繩橫截面的張力，屬繩的內力，張力的方向沿繩的切線并指向繩伸長的方向[2]；此外，繩子的兩端和與之相連接的物體之間也存在相互作用的張力，屬繩所受的外力，物體對繩的拉力方向也是沿著繩子切線并指向繩伸長的方向。因此，繩子的張力是繩上相鄰兩部分之間或繩子與和它相連接的物體之間的相互作用力。

顯然，上述題中繩子的張力并沒有作用在滑輪上，因而不可能對滑輪產生力矩?；喪且驗槭艿嚼K子的靜摩擦力的力矩才加速轉動的。

3.對原問題的解析

滑輪及兩側物體的受力如圖2，設兩側繩子中的拉力分別為T■和T■，兩側繩子在A、B兩點的橫截面分別受張力T■′和T■′，對與滑輪接觸的AB段繩子而言，繩子內部的張力屬內力。如果不計繩的質量，則T■′=T■，T■′=T■。同時，也是由于不計繩子質量，相對于轉軸而言，AB段繩子受到的外力矩之和為零，即T■′、T■′，以及滑輪對繩子的靜摩擦力f的力矩之和為零。而靜摩擦力沿著相對運動趨勢的負方向，即沿著滑輪的切線方向，則T■′、T■′與靜摩擦力的力臂均為R，因此得T■′R-T■′R-fR=0

從而f=T■′-T■′

而對滑輪受到的繩的靜摩擦力f′與f為作用力和反作用力的關系，因此有

f′R-M■=Jβ=（■m′R■）β

對于上下做平動的兩物體，可以視為質點，由牛頓第二定律得

對m：T■-mg=ma

對M：Mg-T■=Ma

繩子與滑輪之間無相對滑動，因此滑輪邊緣上一點的切向加速度和物體的加速度相等，即

a=a■=Rβ

聯立以上方程，便可得到物體加速度a及繩中張力T■、T■。

對于類似的問題，有的教材[3]給出滑輪與繩子之間的摩擦力忽略不計的條件，這顯然是錯誤的，這也是因為出題者錯誤地理解為是繩子的張力對滑輪施加了力矩，而不是繩子對滑輪的靜摩擦力的力矩。顯而易見的是，如果忽略繩子與滑輪之間的靜摩擦力，滑輪則不可能轉動起來，而繩子也不可能與滑輪之間沒有相對滑動。此外，若能在題中說明不計繩子的質量則更嚴謹。

4.繩子的張力處處相等嗎

顯然，上述題中同一根繩子在滑輪兩側的張力是不相等的。這與中學老師強調的“同一根繩上的張力處處相等”是矛盾的，由于思維定勢的負遷移影響，學生感覺同一根繩上張力不相等很費解。其實，“同一根繩上的張力處處相等”的傳統結論是一種理想情況，是需要有附加條件的。實際的生活與生產中，幾乎不存在繩子的張力處處相等的情況。學生在中學時遇到的相關物理問題，基本都是輕繩（不計繩子的質量）、輕質滑輪（不計滑輪的質量和轉動慣量）、與繩子相連接的物體則可以視為質點等理想化模型的情況。學生不明白這一點，曾經習得的知識負遷移嚴重，才對該問題中兩側繩子的張力不相等非常費解。

根據前面談到的繩子張力的本質，繩子各處的張力是否相等，取決于繩子各部分分子偏離原來的平衡位置的程度的高低，即取決于各部分繩子的“橫截面”兩側正、負電荷的畸變情況，籠統地說“同一根繩上的張力處處相等”顯然是不全面的，下面的例子用于說明這一點。

如圖3所示，質量均勻分布的繩子長為L，質量為M，置于光滑的水平面上，在繩的一端施加拉力F，以繩的左側端點為坐標原點，水平向右為x軸正向，對整段繩子，有F=Ma，則繩中距左側長處的張力大小為T=■M·a=■F，因此繩上的張力并非處處相等。

圖3 圖4

如圖4所示，質量為M的細繩懸掛于天花板上的A、B兩點，A、B兩點處的切線方向與天花板的夾角為θ，對整段繩而言，繩子受重力及A、B兩點處天花板的拉力T，繩子內部的張力屬內力。繩子在三個外力作用下平衡，則豎直方向合力為零，即2Tsinθ=Mg，則T=■。若截取左側半段繩子來研究，則左側半段繩子受到A處天花板的拉力T、重力及O點處繩的張力T′，如圖5所示，繩子受到的水平方向的合力為零，可得到Tcosθ=T′，由此可見，O點處繩的張力T′與A、B兩點處繩的張力也不相等。用同樣的方法，可以得到繩左右兩側對于中心軸線對稱的點的張力大小相等，方向沿各自的切線方向，但左側和右側繩上的不同點的張力大小都不相等。

由此看出，傳統結論“同一根繩上的張力處處相等”是有附加條件的，即在一些理想化模型中，涉及的物體均可視為質點，而繩子為不計質量的理想的輕繩。如果繩子的質量不能忽略，或者問題涉及不能視之為質點的剛體，同一根繩上的張力通常是不相等的。

5.結語

物理教學是螺旋式上升的過程，很多知識點都不可能在一段時間內一次講清楚，而是在教學中逐步加深和拓寬的。于是在教學中存在大量的知識的正遷移和負遷移現象。這就要求我們在教學中盡可能擺脫知識遷移的負面影響，促進知識的正向遷移，對有些暫時不能拓展的問題要留有余地，提醒學生慎用現成的結論，厘清規律的適用條件。同時要求學生在學習中不能死套結論。

參考文獻：

[1]朱峰.大學物理[M].北京：清華大學出版社，2006：65-66.

[2]呼格吉爾，張良峰，邱為鋼.末端懸掛重物轉動繩子的研究[J].大學物理，2011，30（4）：16-18.

[3]李春貴.大學物理（上冊）[M].北京：中國水利水電出版社，2010：78.