對“多邊形內角和”的理論與實踐研究

秦仕祥

[摘 要]“多邊形內角和”是蘇教版數學教材四年級下冊的探索規律的教學內容，這部分內容的教學目標不僅僅是對“多邊形內角和計算公式”的理解、掌握和應用，更重要的是讓學生經歷實實在在的數學探究過程，在探究中感悟多邊形的內角和與邊數之間的內在聯系，進而推導出多邊形內角和計算公式，在此基礎上幫助學生積累數學活動經驗、發展空間觀念，培養學生動手操作能力和邏輯推理能力。

[關鍵詞] 多邊形 內角和 探索規律 提升思維

教育部審定的2013蘇教版數學教材中編排了一些數學探究教學內容，四年級下冊數學教材第96頁的“多邊形內角和”就是其中之一。

一、知識分析

“多邊形內角和”是研究多邊形所有內角度數總和與多邊形邊數之間關系的知識，其表達式是“多邊形內角和=（邊數—2）×1800”，其中（邊數—2）是分割成的三角形的個數，1800是一個三角形的內角和。怎么理解這個計算公式呢？

（一）理解思維一

因為三角形是最簡單的多邊形，任何一個多邊形都可以分割成若干個三角形，所以研究多邊形的內角和就以三角形的內角和為基礎，先把多邊形分割成若干個三角形，再把分割成的三角形的個數與1800相乘，乘積就是這個多邊形的內角和。分割的原則：分成的若干個三角形的內角和要正好等于原來多邊形的內角和。分割的方法：分成的三角形的三個頂點都在原多邊形的頂點，分割線不能相交。一個多邊形可以分成多少個三角形呢？直觀思維：通過分割操作發現四邊形可以分割成2個三角形、五邊形可以分割成3個三角形、六邊形可以分割成4個三角形、七邊形可以分割成5個三角形、八邊形可以分割成6個三角形……發現分割成了“邊數-2）個。理性思維：以多邊形的一個頂點為起點與其它頂點連分割線，除了本身、左右相鄰兩點不好連接外其它點都可以連接，所以可以連接（邊數—3）條分割線，分割線連接完成之后的圖形就是“三角形和分割線一一間隔排列”，兩端都是三角形，所以三角形個數比分割線條數多1，分割成的三角形個數=邊數-3+1=邊數-2。因此多邊形內角和=（邊數-2）×1800。

（二）理解思維二

在多邊形內任選一點，把這點與多邊形所有頂點連接成三角形，是幾邊形就可以連接幾個三角形，用邊數乘1800就是這些三角形的內角和，但是這些三角形的內角和比原來多邊形的內角和多了以這點為頂點的若干個角的和，這些角的和正好是一個周角3600，所以多邊形的內角和=邊數×1800-3600=邊數×1800-2×1800=（邊數-2）×1800。

二、教材分析

教材的編寫可以分為五個板塊。

（一）回顧舊知、引出新知

教材第96頁的第一節及下面的三幅圖形，先引導學生回顧喚醒三角形內角和1800的舊知，在此基礎上拋出“四邊形、五邊形、六邊形等多邊形的內角和是多少呢？”的問題，引入本節課要探究的數學問題，激發學生探究的積極性。

（二）初步探究，得出方法

教材第96頁第二節及下面圖解，先讓學生自主探究直角梯形的內角和，教材預設了兩種方案。方案一：直角梯形中有兩個角是直角（900），另外兩個角的度數不知道，學生可能會想到“先測量直角外的兩個內角的度數”，再求出四個角的度數和900+900+1400+400=3600。方案二：因為三角形的內角和是1800，所以學生可能會想到“先把直角梯形分成兩個三角形”，再算出直角梯形的內角和是1800×2=3600。分割計算的方法要比測量求和的方法高級，而且是探索多邊形內角和的必須的方法，所以教學時務必幫助學生理解和掌握分割計算的方法。

（三）自主探究，積累素材

教材第96頁第三節、第四節及中間的分割圖，先讓學生用分割的方法自主探究五邊形、六邊形的內角和，接著再讓學生研究七邊形、八邊形……的內角和，一方面幫助學生在操作中理解和掌握分割三角形的方法，另一方面為研究多邊形邊數與分成的三角形的個數之間的關系提供素材。

（四）探索規律，抽象概括

教材97頁的表格到多邊形內角和的表達式。先讓學生把前面研究的多邊形的名稱、邊數、分成的三角形個數、內角和的算式填在表格內，再讓學生仔細觀察這個表格，通過觀察、比較發現規律：可以把多邊形分割成若干個三角形計算多邊形的內角和；分割成的三角形的個數都是“邊數-2”個；分成幾個三角形，多邊形的內角和就是“幾×1800”。從而推導出“多邊形的內角和=（邊數—2）×1800”。

（五）回顧反思，提煉思想

引導學生回顧研究多邊形內角和的過程，反思探索多邊形內角和的方法，使學生體驗轉化對探索多邊形內角和的作用，掌握探索規律的方法，積累數學活動經驗，感悟轉化、內比、歸納等數學思想方法的價值，培養和發展學生的問題意識、探索意識和創新意識。

三、學情分析

皮亞杰的認知發展理論把思維發展分成四個階段：感知運動階段（0-2歲）、前運算階段（2-7歲）、具體運算思維階段（7-12歲）和形式運算階段（12-15歲）。小學四年級學生正處于具體運算階段，皮亞杰認為：此時兒童從表象性思維中解脫出來，認知結構中已經具有了抽象概念，因而能夠進行邏輯推理，但運算仍離不開具體事物的支持。因此學生研究多邊形內角和的探索起點是測量計算的方法，需要在教師暗示、啟發才能把研究的方法轉移到抽象的分割推算方法上來，更需要教師的引導和攙扶才能理解和掌握分割推算的方法，其中如何分割成若干個三角形是學生研究的難點，分割后的邏輯推理需過程離不開教師的啟發和引導。

四、目標分析

本探索規律的教學內容屬數學教育的范疇，教學目標不僅僅在于對“多邊形內角和計算公式”的理解、掌握和應用，而在于對“多邊形內角和計算公式的推導過程”的理解，在于經歷數學探索的過程，感悟科學探究的方法，使學生在探索規律的實踐活動中積累數學活動經驗，掌握科學探究的方法，發展學生的探究能力、邏輯推理能力。所以教材的教學目標這樣定位是：1.使學生通過觀察、操作、推理等數學活動，探索并發現多邊形內角和與其邊數之間的關系，并用式子表示探索發現的規律。2.使學生在探索多邊形內角和的過程中積累探索和發現數學規律的數學活動經驗，發展學生的空間觀念，培養學生動手操作能力和邏輯推理能力。3.使學生在參與探索規律的過程中，體驗探索的樂趣，并對數學產生濃厚的興趣，感受數學的神奇和魅力，增強學好數學的自信心。

五、教學預設

由于本教學內容屬于規律探究的教學內容，因此教學重點應當放在幫助掌握科學探索方法上，探索規律的一般方法是：首先由最簡單到復雜研究幾個實例，其次對研究的幾個實例加以觀察、比較、分析尋找它們的相同點；再次提出某一猜想并驗證，最后總結規律。探索多邊形內角和的規律分這幾步逐步展開：首先研究最簡單的三角形內角和，逐步增加難度研究四邊形、五邊形、六邊形、七邊形……的內角和，其次對前面研究的幾個多邊形的內角和進行觀察、比較尋找共性的東西，提出數學猜想，再次從理性的角度驗證猜想，最后得出多邊形的內角和=（邊數—2）×1800。因此教學時要按照這樣幾個步驟組織教學活動。

（一）喚醒舊知、導入新課

1.出示一個三角形

問：這是什么圖形？我們已經學習了三角形的什么知識？

設計意圖：通過學生交流喚醒學生有關三角形的知識，明確三角形內角和1800，為研究多邊形內角和奠定知識基礎。

2.出示一個長方形、正方形、梯形、五邊形、六邊形

（1）這些又什么什么圖形？

（2）這些圖形有內角和嗎？請你指出這些圖形的內角和是哪些角的度數和？

（3）仔細觀察一下，這些圖形內角和與三角形的內角和大小怎樣？為什么？

（4）在這些圖形中誰的內角和最大？誰的最??？你是怎么想的？

設計意圖：通過讓學生指一指每個圖形的內角和是哪幾個角的度數總和，幫助學生理解內角和的含義，再讓學生比較這些圖形的內角和的大小，并思考為什么？幫助學生明白：邊數越多，內角的個數也就越多，而且每個內角度數也越大。從而感悟多邊形邊數越多其內角和也就越大。

（5）這些圖形的所有內角和是多少度呢？（不要求學生回答）

教師談話導入新課：今天我們就來研究多邊形的內角和。

（二）引導探究、制造沖突

談話：我們在研究一個數學知識時，一般都是從簡單到復雜進行研究，那么我們應當先研究哪個圖形的內角和呢？

1.研究長方形的內角和

（1）這個長方形有幾個內角？

（2）這個長方形的內角的和是多少？你是怎么想的？（900×4=3600）

（3）如果老師換一個比它大的長方形，你知道它的內角和是多少？為什么？

（4）如果再換一個比它小的長方形呢？為什么？

（5）由此可以得出什么結論？

2.研究正方形的內角和

（1）這個正方形的四個內角和是多少？你又是怎么知道的？（900×4=3600）

（2）比它大的正方形內角和是多少？比它小的正方形內角和是多少？為什么都用900×4=3600計算？

3.研究直角梯形的內角和

（1）這個一個什么圖形？

（2）這個圖形的四個內角與長方形和正方形用什么不同？

（3）你打算怎么求這個圖形的四個內角的和？

學生在印發的直角梯形中操作得出：900+900+1400+400=3600

（4）剛才我們是先測量出右邊兩個內角的度數，再用加法算出這個直角梯形的內角和，如果不測量右邊兩個角的度數，你能想辦法求出這個直角梯形的內角和嗎？

先讓每個學生獨立思考，再同桌交流，最后全班匯報。

設計意圖：此時教師要求學生不測量未知角的度數求直角梯形的內角和，“逼”學生轉換思路、另辟蹊徑尋找“分割推算”的方法。

（三）另辟蹊徑，提升思維

1.匯報交流，理解道理

（1）你是怎么想的？

（2）為什么把這個梯形分成兩個三角形？

（3）怎么分割的？分割之后怎么計算內角和的？

（4）老師有一個問題：分割以后用1800×2=3600是兩個三角形的六個內角的和，為什么也是這個梯形的四個內角的和的呢？

設計意圖：借助上圖引導學生推理：兩個三角形的六個內角的和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，因為∠1=∠A，∠2+∠6=∠B，∠5=∠C，∠3+∠4=∠D，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠A+∠B+∠C+∠D=直角梯形的內角和，幫助學生理解分割推算多邊形內角和的科學道理。

2.反例研究，掌握方法

（1）我們來看這種分法，把這個梯形分成了四個三角形，1800×4=7200，這樣分割計算可以嗎？

（2）為什么不可以？

設計意圖：借助上圖引導學生觀察思考：分成四個三角形，這四個三角形的12個內角和比原來的梯形的內角和多了中間四個角（對角線交叉形成的四個角），也就是分成四三角形的內角和比這個梯形的內角和多了3600，所以這樣分割不可以。

（3）從這里可以看出，分三角形時有什么要求？

教師小結：用分割成三角形求梯形內角和時，要保證分成的兩個三角形的內角和正好等于梯形的內角和，分割成的三角形的頂點要在原來梯形的四個內角上，也就是分割線不要相交。

設計意圖：分割是學生研究多邊形內角和的難點，自然是教學的重點，通過反例的研究，讓學生感悟分割線不能相交的道理，掌握分割成兩個三角形的方法，為研究其它多邊形的內角和奠定思維基礎和方法基礎。

（四）深入研究，積累素材

1.研究一個任意四邊形的內角和

（1）剛才我們研究了長方形、正方形和直角梯形這樣的四邊形的內角和是3600，那么其它的四邊形的內角和是不是也是3600呢？請同學們自己舉一個四邊形研究研究。

學生自己獨立研究，再同桌交流，最后全班匯報

（2）誰來說說你是怎么研究的？

設計意圖：通過長方形、正方形和直角梯形內角和的研究，還不能得出所有四邊形的內角和是3600結論，所以此時放手讓學生自主研究，使學生感悟到：不管是什么樣的四邊形都可以分割成兩個三角形，這兩個三角形的內角和正好是原四邊形的內角和，所以四邊形的內角和是1800×2=3600。

2.研究五邊形的內角和

（1）剛才我們應用分割成三角形的方法研究出了四邊形內角和是3600，你們能用這樣的方法研究五邊形的內角和嗎？

（2）學生拿出課前準備的五邊形先分割操作，再推算內角和。

（3）你們是怎么分割成三角形的？下面的分法你贊成哪個？為什么？

（4）你有什么經驗與同學們分享？

（5）分成了幾個三角形？怎么推算五邊形的內角和？

設計意圖：多邊形的邊數增加了，分割也變復雜了，通過觀察、比較幫助學生感悟和掌握分割的方法：從其中一個頂點起向其它頂點連分割線，連完為止。

3.研究六邊形、七邊形、八邊形的內角和（略）。

（五）理性思考，探尋規律

剛才我們研究了四邊形、五邊形、六邊形……的內角和的，還有哪些多邊形的內角和需要研究？

接下來你打算怎么研究九邊形、十邊形……的內角和？

分割成三角形的個數有沒有規律呢？先把剛才的研究的情況填在表格里，再仔細觀察這個表格，你們有什么發現？

三角形的個數=（邊數-2）是規律嗎？怎么驗證？

現在用字母n表示多邊形的邊數，一共可以分成多少個三角形？n邊形的內角和怎么算呢？

設計意圖：幫助學生感悟：多邊形有無數種，如果用分割操作的方法研究永遠研究不完，必須轉換研究的思維，從而激發學生探索規律的欲望，并在觀察、思考、交流活動中感悟多邊形邊數與分割成的三角形個數之間的關系。并借助操作的分割圖的觀察與思考，幫助學生發現：以其中一個點向其它點畫分割線，除了自己和左右兩點不好連接，其他的點都可以連接分割線，一共可以連接（邊數-3）條分割線，這時就是三角形和分割線一一間隔排列，兩端都是三角形，三角形的個數比分割線的條數多1，所以三角形的個數就是（邊數-3+1=邊數-2）個。并總結出：多邊形內角和=（邊數-2）×1800。

（六）回顧反思，提升素養

今天我們研究了什么知識？

我們是怎么研究多邊形的內角和的？

通過這節課的學習你有哪些收獲？

設計意圖：通過讓學生對探索多邊形內角和計算公式的過程的回顧個反思，幫助學生積累數學活動經驗、發展空間觀念，培養學生動手操作能力和邏輯推理能力。