“行程問題中的數量關系”教學思考

費建鋒

一、學情分析

1.新舊人教版中行程問題教學內容編排不同。

四上舊版的人教版教材中，行程問題的學習是滲透在三位數乘兩位的“口算”和“筆算”教學中的，比較淡化“行程問題中的數量關系”的教學。

現行的人教版教材中，行程問題的數量關系是專門設立一節單獨的課，而且安排在三位數乘兩位數整個單元教學的末尾。

從以上兩個版本的對比可以說明，現行的人教版教材更加注重數量關系的教學。舊版主要側重乘法的計算與算理，在乘法計算中滲透行程問題的數量關系；而新版中比較側重數量關系的教學，利用數量關系來幫助學生解決問題，加深理解它們之間的關系。

2.學生已有解決此類問題的能力，怎么教學。

發現學生基本能用算式正確表示，全班42名學生，前測了之后，40名學生的列式解答是正確的，正確率95%。在數量關系的表達上學生有些問題，對班級學生的表達情況做了一個統計：

數量關系解答情況沒有答的寫描述性的：每小時70千米，行了4小時。寫：70千米×4小時寫：速度、時間、路程寫：速度×時間=路程人數 12人 13人 8人 3人 6人占比 28.6% 31.0% 19.0% 7.1% 14.3%

教學內容學生早有接觸：類似這樣的行程問題，學生早已比較熟悉了，在二年級學習了時間單位之后，就接觸過這樣的問題，尤其是到了三年級，學習了兩位數乘一位數后，這樣的題目更是遇到的多了。因此，對于行程問題學生并不陌生，生活中也是經常遇見。

知識基礎學生已有學過：在此之前，學生已經學完了整數的乘法計算，除數是一位數的除法，所有的長度單位知識和時間單位知識。

數量關系以往有所滲透：通過訪問學生的形式，我們發現，數量關系的教學，在以往的教學中教師是有所滲透的，一些學生答到“這樣的數學關系，我們老師以前講過的?！币灿幸恍W生講到“我們老師以前沒有講過，所以我不知道什么是數量關系?！?/p>

3.針對實際學情，對教學內容提出新的疑問。

問題1：類似這樣的教學內容，學生早有知曉，我們的課堂教學該如何去組織？難道像練習課或復習課這樣去鞏固一遍嗎？

問題2：學生已有這么高的教學起點，又該如何去拓展，拓展到何方呢？

二、學習路徑

1.理清數量關系的表述層次。

《數學課程標準》中講到，數學是研究數量關系和空間形式的科學。顯然，研究數量關系就是在研究數學，也說明了數量關系在數學學科中的重要地位。數量關系在整個小學階段，就其概括程度，可分為具體、專用、抽象的數量關系，要求學生的表述也是有所側重的，在低中段學生中，要能理解或表述具體情境中的數量關系，而到中高段需要學生概括出不同的數量關系，最后掌握這些數量關系的結構模型。

（1）具體的數量關系。

具體的數量關系就是從具體內容中列出具體數量關系式，學生在理解題意的基礎上能夠表達這樣的數量關系。

如：每件衣服價格×件數＝衣服總價；

每排的人數×一共有幾排＝一共的人數；

汽車每小時行的路程×行的小時數＝一共行的路程

（2）專用的數量關系。

專用的數量關系就是從若干個具體數量關系式中概括出專用數量關系式。

如“單價×數量＝總價”，它是多個相關的數量關系概括得到的，每件衣服價格×件數＝衣服總價，每個籃球的價格×個數＝籃球總價，每張桌子的價格×張數＝桌子總價，等等，從而來概括單價、數量和總價這3個專用名詞，形成一個專用的數量關系。再如，“速度×時間＝路程”，“工作效率×時間＝工作總量”，也是如此。

（3）抽象的數量關系。

抽象的數量關系是指在運用數量關系的過程中高度概括得到的。在小學階段，可以概括成最基本的四個：部分數與總數的關系；兩個數相差關系；每份數、份數與總數的關系；兩個數的倍數關系。

2.理解數量關系的數學本質。

理解數量關系，解決數學問題的過程就是從現實生活中或具體情境中抽象出數學問題，利用數學符號表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果。本課中，行程問題的數量關系教學，不僅要讓學生理解關系的意義，利用數量關系解答相關的題目，還為學生的后續學習，即正反比例的學習，起到了一個滲透的作用。

（1）理解算式關系的價值。

在“課程內容”的第二學段“數的運算”的第7條明確指出：“在具體的情境中，了解常見的數量關系：總價=單價×數量、路程=速度×時間，并能解決簡單的實際問題?！?/p>

學生在解決以下兩個問題的時候，主要讓學生明白：

算式與數量關系是相對應的；

已知（ ）和（ ），求（ ），可以運用怎樣的數量關系來求。

（2）函數關系的價值。

我們經?？吹?，在六年級學習“正反比例”的時候，學生理解起來比較麻煩，學生很難弄清楚正反比例的關系。其實正反比例關系就是數量之間的變化關系，在這里可以讓學生體會和感受到，路程不變，乘坐不同的交通工具，時間是不一樣的，速度變了，時間也會變；速度不變，行的時間越長，行的路程就越多。

想一想，填一填。

速度（千米/時）時間（小時） 路程（千米） 數量關系①20 2 40②20 4 80③20 8 160

仔細觀察第一張表格，我發現：

3.理順數量關系的教學思路。

縱觀以上的分析與思考，對于這節課有了系統的思考和整體的把握?？梢园堰@節課的教學目標設定為：使學生通過具體的生活事例理解概括“速度、時間、路程”的實際含義；理解“速度、時間、路程”之間的數量關系，滲透函數思想；初步培養學生運用數學語言表達數量關系的能力，并能靈活運用數量關系解決實際問題；提高對數學學習的興趣。

（1）自主抽象數量關系，認識數量關系表述的層次性。

數量關系的表達，在不同的年段有著不同的要求，在低段要求學會用具體的數量關系式來表達，幫助學生理解題目的意思，到了中高段要求學生學會專用的數量關系，建立起題型結構。

①抽象出專用數量關系。

學生通過數量關系的前測作業，可以敘述具體的數量關系表達式，在理解了具體的數量關系后，讓學生抽象出行程問題中專用的數量名詞，速度、時間和路程，可以讓學生感受到專用的數量關系比較簡潔和貼切，體現數學學習的簡潔性。

②突破“速度”這一難點。

這里對學生來說，“速度”的概念比較抽象，不像路程那么明確，不像時間那么常見，并且速度的單位是由兩部分組成的，它的表示形式學生從未見過。因此，教學關鍵是讓學生從大量的生活實例中感知并理解速度的含義。通過計算自行車、飛機、宇宙飛船的平均速度，讓學生比較“千米 /小時”、“千米 /分”、“千米 /秒”三個單位，自主小結出“速度表示每小時、每分鐘、每秒鐘行走的千米數”。再以汽車儀表盤上時速表，發現“km/h”這一速度單位，感受“速度”在我們實際生活中的應用。

（2）創設教學問題情境，理解數量關系內涵的多元性。

解決問題的教學，離不開情境，通過情境，可以幫助學生理解數量關系，解決實際問題，從而體現數量關系的價值。

①體現算式關系。

這是剛才數量關系的一個簡單變式，求速度和求時間的問題。通過前面的學習，學生對行程問題的題目已經有了一個結構化的認識，它有速度、時間、路程三個要素構成。已知“速度×時間＝路程”，根據算式關系，學生可以推導出“速度=路程÷時間，時間=路程÷速度”。教學時，要重視幫助學生分清條件和問題，熟悉數量關系，建立“問題—條件—算法”之間的聯系系統，即要求（ ），必須要知道（ ）和（ ）這兩個條件。

②體現函數關系。

問題情境：小明從家到學校有1500米，采用兩種不同的方式。一種是走著去，一種是騎自行車去。哪種方式會快一些？

這里初步讓學生感受到，路程不變的情況下，速度快了，時間就少了，速度慢了，時間就多了。

再者可以讓學生體驗一下，哪個圖表示的是走路，哪個圖表示的是騎車？滲透統計圖的知識來領悟路程與時間的關系。(如下圖)

再是利用“題組”的訓練形式，領悟數量之間的變化情況，在理解它們之間的變化情況的同時，聯系“積的變化規律”，進一步加強對學生數感的培養。

想一想，填一填。

速度（千米/時）時間（小時） 路程（千米） 數量關系① 20 2② 20 80③20 8 160

仔細觀察這張表格，我發現：

速度（千米/時）時間（小時） 路程（千米） 數量關系①8 160②40 8③80 640

仔細觀察這張表格，我發現：___________

速度（千米/時）時間（小時） 路程（千米） 數量關系① 80 640②40 16③10 640

仔細觀察第一張表格，我發現：___________

（3）創設現實問題情境，感受數量關系應用的靈活性。

數學的價值在于使學生學會運用所學的知識去分析、解決生活中的問題，關鍵在實踐運用。生活中有著豐富的數學資源，它們都是學生實踐運用的最佳素材。

①總結行程問題中的數量關系：

②舉一反三：這種“一乘二除”的形式：

單價×數量=總價

每盤蘋果數×盤數=蘋果總數

每張課桌的價格×課桌的數量=課桌的總價

……

③構建出數學模型：

從行程問題的基本數量關系拓展到“單價×數量=總價”、“每盤蘋果數×盤數=蘋果總數”等，從而歸納出“每份數”、“份數”和“總數”之間的關系，引導學生在實踐應用中構建了數學模型。從具體到抽象，促進了學生思維的發展和知識體系的完善。