數學建模視角下的數學實驗教學研究

張艷 潘琳

摘 要：數學實驗是學生運用有關工具，在內源思維活動的參與下，通過手腦并用，借助觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得體驗“關鍵性事件”的經驗，構建發展學生數學認知結構的素養型活動.通過分析《平行四邊形的性質》中的動手操作環節，探索如何將數學實驗與傳統課堂相結合，在有限的時間內完成觀察，猜想，歸納，證明，簡單應用.

關鍵詞：數學實驗；應用意識；核心素養

眾所周知，進入初中，從一開始接觸物理，化學，生物的學習，就有相應的實驗課，這些在人們傳統認知中屬于理科的科目，通過理論推理演繹和動手實踐觀察的結合，讓學習者對相應知識的理解更加具體形象，學習興趣更加高漲.不僅如此，通過實驗課學生逐步建立實際生活與該學科之間的聯系，利用理論知識解釋許多生活中的疑惑，從而達到培養學生的應用意識的目的.而對于同樣是基礎學科的數學，相應的發展卻落后許多.雖然目前在各個大學陸續開設《數學實驗》這門課程，但主要是計算機技術和數學軟件包的應用，對計算機運用的水平有一定的要求.對于在學生計算機水平有限的基礎教育階段，課程開展難度很大.對于中小學數學教育工作者來說，利用有關工具（如紙張，剪刀等）將數學實驗結合到數學教學中，甚至組建數學實驗室，培養學生的數學應用意識，提高學生的數學核心素養，成為了國內外許多一線工作者探索研究的課題.在中小學數學課程中安排的數學實驗，不僅為了用數學解決問題，“做數學”是其精義和主旨所在 [1 ].本文從一節八年級的幾何課《平行四邊形的性質》入手，闡釋了如何利用相關工具將數學實驗的理念融入到日常的教學當中.

1 回顧知識確定主題，明確觀察的方向

首先通過PPT呈現三角形，長方形，正方形，四邊形，平行四邊形等若干個圖形，讓學生快速識別，通過小學的學習經驗辨識平行四邊形，確定本節課的主題.然后利用“平行四邊形”的圖形名稱介紹平行四邊形的定義，同時介紹平行四邊形的對邊，鄰邊，對角，對角線以及符號表示.將基本概念在課堂伊始直接拋出，一方面是由于課堂45分鐘十分有限，為了給后續的探索留足時間，另一方面是在探索歸納觀察結果時，能用準確規范的名稱.

在明確觀察方向上，可以利用學生們研究較深入的三角形，將三角形有關的定理進行分類歸納，得出它的定理大致描述三個方面：邊、角、三角形中的重要線段.從而引導學生對平行四邊形的觀察，同樣也能從這三個角度入手探索其中的關系.

2 實踐探究感悟新知，歸納觀察的結果

每個4人小組提供若干的木棍和三角形紙片；其中木棍分長短兩種型號，每種4根；特制三角形紙片兩種（不同形狀的兩個三角形紙片能拼成一個大三角形，相同形狀的三角形紙片全等，如圖1），每種2個.以小組為單位，選擇合理的學具，盡可能多的拼出平行四邊形，并記錄在實驗報告中.

學生在課堂上通過一定時間的小組合作探究后，老師指定一個小組的學生，將拼出的平行四邊形結果通過教具呈現在黑板上，有以下幾種情況：

小木棍：

利用四根短木棍可以拼出圖2：利用四根長木棍拼出圖3：

利用兩根長兩根短木棍可以拼出圖4：

三角形紙片：

用兩個圖1中 ①的三角形可以拼出圖5的三種平行四邊形；用兩個圖1中②的三角形可以拼出圖6的三種平行四邊形；在圖1中 ①②三角形各兩個可以拼出圖7.

在展示動手結果后，針對實驗活動提出問題串：①動手實踐是為了探究平行四邊形中存在哪些特殊的數量關系，對于平行四邊形這個圖形，我們能從哪些方面來探究？②用小木棍拼出了三種平行四邊形，根據你最直觀的體會，你覺得平行四邊形哪個量有特殊的數量關系？③若是用兩個三角形拼出平行四邊形，這兩個三角形有什么要求？④它們能拼成功，在擺放上面有什么共同點？不同點？⑤通過圖5這三個平行四邊形，觀察平行四邊形除了邊有特殊數量關系外，什么量還有特殊數量關系？⑥圖7中拼出平行四邊形要求三角形在擺放上有什么特點？⑦從前面的拼圖結果我們已經得到平行四邊形關于邊，關于角方面有一些特殊的數量關系，通過圖7，觀察平行四邊形還有什么量有特殊的數量關系.

3 回歸書面推理演繹，直觀與抽象相結合

利用問題串引導學生挖掘出平行四邊形的三個性質后，實驗活動結束，重新回歸到幾何定理的演繹推理上來，指導學生利用因果說理的形式對其中的對邊相等、對角相等兩個性質進行證明.從實際物體抽象到平面幾何圖形，將具體化為抽象，將感性的直觀認知和理性的推導證明結合起來，使學生更透徹的理解平行四邊形的性質.最終讓學生將性質的文字語言歸納為數學符號語言，落實到解題應用中.

4 幾點說明

第一，本節實驗課在學具種類上提供了小木棍和三角形紙片兩種教具，事實上只用三角形紙片也能完成，提供小木棍的原因一方面是因為在觀察對邊相等這個性質時，小木棍比三角形紙片更為直觀，另一方面是培養學生合理選擇學具的能力，在實際生活中，探究都不會限制一種單一材料，如何選擇恰當的材料，使探究過程更加直觀，這也應該成為一種能力.

第二，對于學具的準備數量上有一定的限制也是十分必要的.因為在課堂有限的時間內，要盡可能進行有效探究.筆者曾在實際操作中，提供了4對三角形紙片①②，結果學生在拼平行四邊形時出現了圖8的情況，該情況滿足老師說的要求，但較難觀察出平行四邊形性質.為了減少無效探究，一定要控制好學具的數量.而小木棍在實際操作中學生會將所有的木棍接上，拼成一個巨大的平行四邊形，而該結果同樣也屬于無效探究.這可以在拼之前提出要求：“小木棍的長度即為完整的一條邊的長度”.保證學生探究不至于過于發散造成課堂拖沓.

第三，問題串的回答中，第4個問題難度較大，對觀察能力和語言組織能力要求較高，老師需要進行一定的提煉。事實上共同點是等長的邊拼接在一起；不同點是拼接在一起的邊不同，三角形的每條邊都有機會成為拼接后平行四邊形的對角線，因此會產生三種結果.

第四，通過7個問題串，歸納得出平行四邊形的三個性質，而三角形紙片的選取和擺放也暗示了證明該性質的思路與輔助線做法，但從具體的實物到抽象的圖形，還有一些學生達不到該能力水平，因此設計了回歸書面推理演繹的環節，利用小組合作的力量，書寫出性質定理的證明.

第五，在學具的準備中，給的是三角形紙片，最后卻研究的是平行四邊形的性質.一方面，在動手操作環節，通過選取恰當的三角形，能拼成平行四邊形；另一方面，在探索有關平行四邊形類型的題目時，可以通過連接對角線，將它分割成三角形來研究，這也是平行四邊形問題中最常見的輔助線做法.

5 小結

數學實驗始于基本活動經驗的積累，終得數學核心素養的發展.一方面，數學實驗的應用意識是人的數學素質的重要部分；另一方面，數學實驗的應用意識又廣泛地支配人的數學行為及數學知識的應用 [2 ].目前國內外對數學實驗日趨重視，有些學校還開設數學實驗室或實驗角，準備各種各樣的操作用具，許多用發現法教學的課就在數學實驗室中進行。同時各地關于數學實驗的課題研究也在如火如荼地進行。在大多數學?，F行的初中數學課程安排中，沒有單獨開設數學實驗課，在課時量沒有增加的情況下安排數學實驗，就很難像理化等學科利用一整節課進行探究。數學實驗在初始階段，可以先在課堂中將動手實驗與講授教學結合起來，既達到了提高學習興趣的目的，又不影響教學進度。另外還可以將這45分鐘課堂延伸到更多的課外充足時空去，將需要探究的問題提前告知學生，由課外的小組合作，提前寫好實驗報告，在課堂上進行交流學習。

參考文獻：

[1]孫朝仁，馬敏.基于數學核心素養發展的應用型數學實驗[J].中國數學教育：初中版，2015（21）：36-40.

[2]章建躍.數學實驗的育人價值 [J].中國數學教育：初中版， 2016 （4）：16-19.