弦切角定理簡化對帶電粒子在磁場中運動的理解

◇　四川　龍　飄

弦切角定理簡化對帶電粒子在磁場中運動的理解

◇四川龍飄

帶電粒子在勻強磁場中的運動分析是近幾年高考的熱點．要分析解決此類問題的關鍵是確定，在洛倫茲力作用下帶電粒子的運動軌跡,一旦軌跡確定許多問題便可迎刃而解．眾所周知,帶電粒子在勻強磁場中的運動有以下2個基本結論:

圖1

結論1若帶電粒子運動方向沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強磁場,則其射出磁場時的速度方向反向延長線必過圓心(如圖1)．

圖2

結論2若帶電粒子運動方向沿勻強磁場的直線邊界射入，又從該邊界射出,則其軌跡入射速度方向和出射速度方向與邊界的夾角相等(如圖2)．

以上2個結論對找出帶電粒子在磁場中運動軌跡,分析解決相關題型非常重要．教材并沒有給出嚴謹的證明,因此很多學生無法完整理解和應用這2條結論．本文從純數學的角度對以上2個結論進行論證．

圖3

1結論1的證明

圖4

如圖3,帶電粒子沿半徑方向從P點射入圓形邊界勻強磁場,并從Q點射出．如圖4,將其運動軌跡圓弧以及圓弧所形成的完整的圓形補全則得到圓O′,連接PO′、QO′可知PO′=QO′,延長P點速度方向交圓心O點且O′P⊥OP．

反向延長Q點速度方向,設交PO所在直線于O″,即O′Q⊥O″Q．連接PQ,在等腰△O′PQ中∠O′PQ=∠O′QP,得∠QPO=∠PQO″,即△PQO″為等腰三角形．若過O″點作O″M⊥PQ交PQ于M,則O″M為PQ中垂線所在直線．因為PQ為圓O的一段弦,則PQ中垂線必過圓心O,即交點O″必與圓心O重合．故結論1成立．同時也可知O′Q、O′P為圓O上弦P、Q兩點的切線,進而得出:在同一圓中一條弦與圓弧兩交點切線分別形成的弦切角相等．

2結論2的證明

根據以上得出的“在同一圓中一條弦與圓弧兩交點切線分別形成的弦切角相等”,便可證明結論2．

圖5

如圖5所示,同樣的將在磁場外與磁場內圓弧軌跡相吻合的圓弧補充完整,則PQ為圓軌跡的一段弦,入射磁場速度方向和射出磁場速度方向所在直線分別與軌跡圓相切于P、Q兩點,則θ1與θ2分別為同一圓中一條弦與圓弧兩交點切線分別形成的弦切角,則有θ1=θ2．結論2成立．

3結論的運用

圖6

Aa、b均帶正電;

Ba在磁場中飛行的時間比b的短;

Ca在磁場中飛行的路程比b的短;

Da在P上的落點與O點的距離比b的近

圖7

分析由左手定則可知，選項A正確.經過同一勻強磁場直線邊界,入射磁場時速度方向與邊界的夾角必定與射出磁場速度方向與邊界夾角相等．由此得a離子射出磁場邊界的點到O的軌跡為運動軌跡圓的一段弧,而垂直入射的離子射出的速度方向也應與邊界垂直,所以射出點到O的距離為圓形軌跡的直徑,因為這2個離子相同且初速度相同，由此可知二者運動軌跡半徑相同．故選項D正確．

在講解以上2條結論時，教師可以啟發學生通過以上證明得到弦切角相關性質，從而鞏固對此結論的理解,使學生將物理與數學知識互相滲透，從而可以更加快速地解答有關帶電粒子在磁場中運動軌跡類的問題．

(作者單位：西華師范大學)