顏世波
學好“證明”應該掌握的幾點知識
顏世波
學習本章知識,讓我們經歷了觀察、實驗、歸納、類比等數學活動,探索了基本圖形的一些性質,在探索性質的同時,我們又學會了推理,下面是本章學習的一些知識點,讓我們來共同認識一下吧!
1.定義
對名稱或術語的含義進行描述或做出規定,就是給出它們的定義.
【注解】定義的規則:(1)應相稱,即定義概念和定義概念外延相等;(2)不循環;(3)一般不是否定判斷;(4)應清楚確切.
例1下列屬于定義的是().
A.兩點之間線段最短
B.兩直線平行,同位角相等
C.三邊相等或三角相等的三角形為等邊三角形
D.等角的余角相等
【分析】A、B、D選項不是在進行描述或做出規定,而是對一件事做出了一個判斷,因此A、B、D錯誤;C選項對等邊三角形做出了明確的規定,是定義,故選C.
【答案】C.
【點評】判斷一句話是不是定義,主要依據定義的含義.
2.命題
(1)對某一件事情做出判斷的句子叫作命題.
【注解】①定義是命題,命題不一定是定義;②判斷一句話是不是命題,要看是否能進行判斷,即是肯定還是否定,命題必須是一個完整的帶有判斷性語句的句子,通常是陳述句,而疑問句和命令性語句都不是命題;③錯誤的判斷也是一個命題.
例2下列語句中,屬于命題的是().
A.這個問題B.這支筆是黑色的
C.一定相等D.畫一條線段
【分析】能夠判斷一件事情的句子就是命題,句子中往往含有“是”“不是”“能”“不能”等表示判斷的詞語.沒有對一件事情做出判斷的句子就不是命題.
【答案】B.
【點評】看這句話是不是命題的關鍵就是:是不是對一件事情做出判斷.
(2)在數學中命題一般由條件和結論兩部分組成.
【注解】①每個命題都是由條件和結論兩部分組成的,命題常寫成“如果……,那么……”的形式,“如果”后面的部分是條件,“那么”后面的部分是結論;②命題的條件部分是已知的事項,結論是由已知事項推出的事項.
例3把命題“對頂角相等”改寫成“如果……,那么……”的形式:______________.
【分析】分清楚這句話中的條件和結論即可.條件是:這兩個角是對頂角,結論是:這兩個角相等.
【答案】如果這兩個角是對頂角,那么這兩個角相等.
【點評】一個命題要改寫成“如果……,那么……”的形式,務必要弄清楚命題中的條件和結論.
3.真命題、假命題
(1)真命題:如果條件成立,那么結論成立,這樣的命題叫真命題.
(2)假命題:如果條件成立,不能保證結論一定成立,這樣的命題叫作假命題.
【注解】(1)如果題設成立,真命題的判斷總是正確的;而假命題的判斷不能保證總是正確的.
(2)要說明一個命題是假命題,只要舉出一個“反例”就可以了;而要說明一個命題是真命題,無論驗證多少個例子,都無法保證這個命題的正確性,要說明它的正確性,就需要說理論證的過程,說理論證過程中的每一步都要有依據,前一步的條件與后一步的結論必須吻合,且推理要嚴密,要有邏輯性.
例4下列命題是假命題的是().
A.若x D.平移不改變圖形的形狀和大小 【答案】B. 【點評】本題涉及很多知識,如果有的知識點記得不是很全面,可以用排除法來進行選擇,但是這四個選項的知識都需要熟練掌握. 1.事件的判斷 觀察、操作、實驗是人們認識事物的重要手段,通過觀察、操作、實驗得到的結論常常是正確的,但是僅憑觀察、操作、實驗得到的結論有時是不深入的、不全面的,甚至是錯誤的. 【注解】(1)通過觀察、操作、實驗探索發現的一些結論不一定正確. (2)數學中探索發現的結論如果是錯誤的,只要舉一個例子說明它是假的即可;如果探索的結論是正確的,那么需要加以證明或用已有的數學工具進行具體的測量. 例5①圖1中,直線AB和直線CD平行嗎?請你先觀察,再用推平行線的方法驗證一下. 圖1 ②如圖2,兩個大小相同的大圓,其中一個大圓內有10個小圓,另一個大圓內有2個小圓,你認為大圓內的10個小圓的周長之和與另一個大圓內的2個小圓的周長之和哪個大些? 圖2 【分析】要完成本題,不能只靠目測,要使用一些測量工具來進行驗證,①中可以利用直尺平移來驗證兩條直線是否平行;②中用直尺和圓規來驗證即可. 【答案】①圖1中通過觀察,直線AB與直線CD不平行,但是通過平推平行線的方法驗證發現:AB∥CD.②如圖2中直覺是大圓內的10個小圓的周長之和小于另一個大圓內的2個小圓的周長之和,但是通過測量發現兩者周長之和一樣大. 【點評】由于視覺上的差異可能會產生偏差,所以做這類試題先不要急于下結論,而是應該先利用直尺等工具進行實際測量,然后再下結論,這樣才能保證答案的正確性. 2.證明與定理 (1)證明:根據已知的真命題,確定某個命題真實性的過程叫作證明. 【注解】證明是說明真命題的說理過程,證明過程必須做到言必有據.證明過程通常包含幾個推理過程,每個推理應包括因、果和由因得果的依據.其中,“因”是已知事項;“果”是推得的結論,“由因得果的依據”是基本事實、定義、已學過的定理以及等式性質、不等式性質等. 例6已知:如圖3,直線AB、CD被直線EF所截,AB∥CD,GM平分∠EGB,HN平分∠EHD. 求證:GM∥HN. 【分析】本題要證明GM∥HN,就要利用證明平行線的方法,即“同位角相等,兩直線平行”來證明. 證明:∵AB∥CD(已知), ∴∠EGB=∠GHD(兩直線平行,同位角相等), 而GM平分∠EGB,HN平分∠EHD(已知), ∴∠EGM=∠GHN(等量代換), ∴GM∥HN(同位角相等,兩直線平行). 【點評】本題通過證明兩條直線平行,充分說明了證明過程中要做到言必有據. (2)定理:經過證明的真命題稱為定理. 【注解】①定理也可以作為推理的依據;②定理是真命題,但真命題不一定是定理,也可能是基本事實,如“兩點確定一條直線”等;③判斷一個命題是否為真命題,往往需要經過推理證明,證明中的每一步推理都要有根據,不能“想當然”,這些根據,可以是已知條件,也可以是學過的定義、基本事實、定理等. 例7下列命題:①三角形的內角和等于180°;②兩點確定一條直線;③兩直線平行,同位角相等;④相等的角是直角.其中是定理的有(). A.0個B.1個C.2個D.3個 【分析】命題①是三角形內角和定理;命題②是基本事實;命題③是平行線的性質定理;命題④是假命題.因此定理有2個:命題①③,故選C. 【答案】C. 【點評】定理必須滿足兩個條件:(1)真命題;(2)是通過證明推理是真的.一些結論雖然也是真的,但是是大家公認的,不需要證明的一些描述則不能算是定理. 3.證明與圖形有關的命題的一般步驟 (1)根據題意,畫出圖形; (2)根據命題的條件、結論,結合圖形,寫出已知、求證; (3)寫出證明過程. 【注解】①證明過程的基本結構是:“∵……(),∴……().”其中“∵”后面寫推理的因,“∴”后面寫推理的果,“()”里面寫出條件的由來或由因到果的依據理由.由此可見,每一步推理應包括“因”“果”“理由”三部分,而且因果關系必須合理.證明過程就是由這一步步 “推理”構成的.②推理的表述形式有三種:一因一果型;一因多果型;多因一果型.特別是多因一果型,必須要多“因”齊全才能得出“果”.證明就是找“果”“因”之間的“邏輯鏈”,一要言必有據,二要書寫規范. 例8如何從基本事實出發,證明“兩條平行線被第三條直線所截,內錯角的平分線互相平行”. 已知:如圖4, 圖4 證明:AB∥CD(已知), ∴∠BMF=∠CHE(), 又∵MN,HG分別平分∠BMF,∠CHE(), ∴∠1=∠2(), ∵∠1=∠2(已證), ∴MN∥HG(). 【分析】已知事項就是條件部分,而求證就是結論部分.分清楚后再完成證明過程. 【答案】已知:如圖,AB∥CD,直線AB、 CD被直線EF所截,交點分別為M、H,MN、HG分別為∠BMF、∠CHE的角平分線.求證:MN∥HG. 證明:AB∥CD(已知), ∴∠BMF=∠CHE(兩直線平行,內錯角相等), 又∵MN,HG分別平分∠BMF,∠CHE(已知), ∴∠1=∠2(等量代換), ∵∠1=∠2(已證), ∴MN∥HG(內錯角相等,兩直線平行). 【點評】要完成本題就應該:(1)根據題意,畫出圖形;(2)根據命題的條件、結論,結合圖形,寫出已知、求證;(3)寫出證明過程. 4.三角形外角的性質 三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和. 【注解】“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”是三角形內角和定理的推論. 它為證明一角等于兩角的和提供了重要依據. 例9如圖5,點D在△ABC邊BC上,且∠ADC=75°,∠1=∠B,求∠BAC的度數. 圖5 【分析】本題是利用“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”來計算的. 解:∵∠ADC=∠B+∠BAD(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和), ∠1=∠B(已知), ∴∠ADC=∠1+∠BAD(等量代換),即∠ADC=∠BAC. ∵∠ADC=75°(已知), ∴∠BAC=75°(等量代換). 【點評】解決此類問題的關鍵是正確判斷出角之間的位置關系,從而運用推論來做. 1.互逆命題:在兩個命題中,如果第一個命題的條件是第二個命題的結論,而第一個命題的結論又是第二個命題的條件,那么這兩個命題叫作互逆命題.其中一個命題是另一個命題的逆命題. 【注解】(1)任何命題都有逆命題,互逆命題是成對出現的,是相互的.(2)寫逆命題前必須找準原命題的條件和結論,然后互換條件和結論.(3)原命題的真假性與逆命題的真假性之間沒有必然聯系,它們的真假性是孤立的. 例10寫出下列命題的逆命題. (1)如果兩個角相等,那么它們是對頂角; (2)如果ab=0,那么a=0,b=0; (3)一個角的補角一定大于這個角. 【分析】第(1)(2)兩個命題的條件和結論比較容易找出,互換一下條件和結論就得到原命題的逆命題;第(3)個命題條件是:一個角的補角,結論是:這個角的補角一定大于這個角,互換條件和結論時,注意語句的通順. 【答案】(1)逆命題是:如果兩個角是對頂角,那么它們相等. (2)逆命題是:如果a=0,b=0,那么ab=0. (3)逆命題是:如果一個角大于另一個角,那么它一定是這個角的補角. 【點評】在寫一個命題的逆命題時,可以先把這個命題用 “如果……那么……”的形式表示出來,然后把“那么……”放到前面,把“那么”變成“如果”,把“如果……”變成“那么……”放到后面. 2.互逆命題的真假性 數學中,判斷一個命題是假命題,只需要舉出一個反例即可.要說明一個命題是真命題,就必須用推理論證的方法,而不能只憑一個例子. 【注解】(1)反例的特點:它具備命題的條件,而不具備命題的結論; (2)要說明一個命題是真命題,根據命題的條件、結論,結合圖形,寫出已知、求證,并完成證明過程. 例11寫出下列命題的逆命題,并判斷每對命題的真假: (1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形; (2)三角形的外角和是360°; (3)含有一個未知數的整式方程是一元一次方程. 【分析】三個命題中,命題(3)是假命題,因未強調未知數的次數是1;命題(2)的逆命題是假命題,因多邊形的外角和都是360°. 【答案】命題(1)的逆命題是:等腰三角形有兩條邊相等.原命題與逆命題均是真命題. 命題(2)的逆命題是:外角和是360°的是三角形.原命題是真命題,而逆命題是假命題. 命題(3)的逆命題是:一元一次方程是含有一個未知數的整式方程.原命題是假命題,而逆命題是真命題. 【點評】一個原命題的真假性與逆命題的真假性不存在必然聯系. (作者單位:江蘇省連云港市贛榆外國語學校)二、證明
三、互逆命題