聚焦教材.思考關聯.重視追問
---以"分式章末復習課"教學為例

江蘇省南通市通州區西亭初中　邵艷

聚焦教材.思考關聯.重視追問
---以"分式章末復習課"教學為例

章末復習課是每章結束時老師們都會開設的,然而比較流行的復習課教學流程常常是涉及本章的相關概念的復習梳理,然后是典型例題的講評,最后是變式練習,很多時候甚至與教材無關,這實在是令人遺憾的.最近有機會執教"分式章末復習課"的公開課,使自己有機會深入思考"復習課到底該怎樣上?""可以怎樣上?",本文整理該課的教學流程,并跟進闡釋教學立意,供研討.

一、教學流程

活動1:再看章前圖的情境問題

章前圖情境問題:一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h,它以最大航速沿江順流航行90km所用時間,與以最大航速逆流航行60km所用時間相等,江水的流速為多少?

引導學生再讀教材上的分析:如果設江水流速為vkm/h,則輪船順流航行90km所用的時間為h,逆流航行60km所用的時間為h,得方程,可以解出v的值.

教學預設:安排學生解這個方程,檢驗,并完整作答.

引導反思:是否還可以列出其他的方程形式?相信學生應該有不同的列方程的形式,但可能一下子想不到很全面,這時老師可以PPT呈現、介紹還有其他同學想到的方程,比如,,2(30+v)= 3(30-v),在這些不同形式的方程呈現之后,引導學生理解這些方程的合理性與可能性,并安排部分學生講解他是如何理解的.

活動2:分式的識別與意義問題

預設追問:在學生選出哪些是分式之后,再問學生:要使這些分式有意義,求未知數v的取值范圍.

過渡:我們在"分式"第1課時,不但學習了分式的意義問題,還研究了分式的值為0的問題,那么就選其中一個分式來研究分式的值為0吧,你們覺得可以選哪一個分式呢?

預設點評:與分式方程類似、關聯,本質上就是解分式方程30+v=0.

30-v

值為0,求v.

預設點評:學生都能舍去一個解,這里由于是復習課,可以引導學生思考、對比這里的取舍策略與分式方程為什么要有檢驗這一必要步驟.

活動3:分式的性質與運算

預設意圖:(1)~(3)是變換字母后繼續訓練對分式的不同理解,比如(1)主要訓練分式性質,將分式進行恰當的改寫與整理;(2)主要訓練約分;(3)訓練分式的加減(兼顧通分);(4)主要是分式加減的變式練習,問題的結構對應著

活動4:反思不同方程形式之間的關聯

過渡語:讓我們回到章前圖的方程問題,我們提到過有同學列出了不同的方程,再仔細看看這些方程的形式吧:

預設評析:這些方程之間本身從等式性質的角度,是否可以互相轉化?可以安排學生將問題簡化為對比例性質的研究.

預設:由學生獨立思考,并集中交流講評如何推證出這些比例式.

活動5:課堂小結

這節課我們從教材章前圖出發,運用分式方程解決了問題,并在這個過程中復習了分式的定義、性質、計算,還思考了不同分式方程之間可以由比例性質互相轉化.這些過程可以構建以下的轉化圖,大家一起參與完善這個轉化圖(來自人教版教材)吧!

附1:課堂檢測:(每題20分,總分100分)

(1)一組式子: ,其中分式的個數是().

A.1B.2C.3D.4

(2)計算:a2b3.(ab2)-2=___________.

(5)體育課上,甲、乙同學參加跳繩比賽.相同時間內甲跳180個,乙跳210個.已知乙每分鐘比甲多跳20個,甲、乙同學每分鐘各跳多少個?

附2:板書設計

二、教學立意的進一步闡釋

1.聚焦教材,引導學生重新閱讀并深刻理解教材如本文開篇所說,有些復習課由于受到一些所謂的復習資料、習題單導學案的牽引,將教材置于一旁,沒有能引導學生對教材的再鉆研和再理解.本課定位在引導學生從重新閱讀教材上本章的章前圖出發,并在完整解決該問題時,沿著全章所學順序,依次復習全章重要知識點、技能方法,然而并不是簡單地再現教材內容、例題、習題,而是基于"高觀點"地重新審視和反思之前的題型或方法.比如,我們在教學活動2中提出問題"分式的值為0,求v",在學生解答之后,引導他們從分式方程"高觀點"的視角思考這個分式值為0的問題與分式方程增根之間的一致性.

2.思考關聯,引導學生感受不同問題之間的聯系

世界是廣泛聯系的,數學更是充滿關聯.按照旅美獨立數學教育研究者馬立平博士在名著《小學數學的掌握與教學》中所指出的,追求數學知識的關聯度、貫通度,并注重數學知識之間的深度與廣度的理解.本課的教學設計做出一些探索與努力,比如,基于教材分式章前圖串通全課教學流程,使得本課中不同教學環節之間的分式從形式、本質上都是相近的,讓學生在整節課中都能感受到問題在形式上的關聯.此外,問題在解法、變式等角度上的本質相通,比如在教學活動4中,我們引導學生思考開課階段為什么會有不同形式的方程,這些不同形式的方程之間有怎樣的關系,提出問題"殊途何以同歸",并在此基礎上,促進學生感受不同問題之間的聯系.

3.重視追問,引導學生在變式與對話中加深理解

有人說,數學課堂的一個重要追求是"盡可能多地把學生的數學思維卷入到課堂上的問題中來",那么從上面的課例來看,我們設計了大量的變式和追問,目的是促進學生課堂參與、思維"卷入".這就需要我們精心預設,選中一個問題情境、例題、習題之后,不僅滿足于這道習題的演練,而且要注意對這道題展開必要的變式與追問,同時還要注意提供的變式與追問的角度多樣化,而不是低層次的改數字、改字母的簡單變式取向.以教學活動3中提供的"變式問題:若正整數a、b滿足,試求a、b的值"為例,在這個活動中,我們是以運算為訓練重點,然而卻把問題呈現的形式變式為一個形式新穎的習題,讓學生通過分析題意,運用上面剛剛復習的分式加減的方法來實現問題思路的貫通.

三、寫在最后

復習課是一首老歌,老歌如何新唱,特別是唱出新意,一直是很多教師"心向往之"的.然而,教材沒有提供完整的復習課完整的素材結構,只是提供一個本章結構圖、一組復習題,我們如何開發、利用,如何引導學生再閱讀全章內容,并能基于全章認識的"高觀點"來再讀呢?我們的努力還是初步的,歡迎老師們批評指正,更歡迎提供課例研討,將復習課教學的研究推向深入.

1.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J].數學通報,2013(6).

2.張恭慶.數學的有機統一是數學科學固有的特點[J].高等數學研究,2011(9).

3.馬立平,著.小學數學的掌握和教學[M].李士锜,吳穎康,等譯.上海:華東師范大學出版社,2011.

4.劉東升.關聯性:一個值得重視的研究領域[J].中學數學(下),2013(12).

5.鄭毓信."開放的數學教學"新探[J].中學數學月刊,2007(7).

6.鄭毓信.多元表征理論與概念教學[J].中學數學教學參考(上),2011(5).

7.鄭毓信.多元表征理論與概念教學(續)[J].中學數學教學參考(上),2011(6).近幾年的命題沒有太大的起伏;從內容上看,幾何題中的面積、弧長、側面積或圓中線段、角度計算或者與代數、相似三角形、勾股定理、三角函數的聯系等,二次函數與幾何綜合題仍是多數省市壓軸題的首選內容,圓的內容也有所側重,并且考試內容與考查方式的結合新穎.對這些知識點的考查并不是機械地記憶概念,而是考查對概念、性質的理解與靈活運用,通過現實生活來體驗數學的妙趣.

(2)從能力上看,著重考查學生對數學思想的理解及運用.數學能力是學好數學的根本,主要表現為數學中的思想方法,其中數形結合、方程與函數、分類討論、轉化與化歸、猜想與歸納等思想方法是近幾年中考試卷考查的重點之一.

2.運用知識解決實際問題的考查

數學來源于生活,同時也必將應用于生活,學數學就是為了解決生活中所碰到的實際問題.近幾年的全國各地的中考數學試題非常重視運用數學知識解決實際問題的考查,側重于加強與社會實踐和學生生活的聯系,注重考查學生在具體情境中運用所學知識分析和解決問題的能力,注重考查學生的動手操作與實踐能力.強調"知識的形成、應用過程與問題方法的解決"、"情感態度與價值觀"等在教學過程中的滲透,體現"以人為本"的原則.體現人人學有價值的數學;人人都能獲得必需的數學.

二、命題趨勢分析

近幾年中考數學總的方向和趨勢:試卷的結構和內容都相對保持穩定,近幾年的試題,體現出的基礎性、靈活性、實踐性、綜合性、應用性、開放性、探究性,是近幾年全國中考數學試題的重要特征,也將是今后幾年中考數學命題的趨勢.多數試題取材于教科書,試題的構成是在教科書中的例題、練習題、習題的基礎上通過類比、加工改造、加強條件或減弱條件、延伸或擴展而成的.試題重點考查初中數學的核心內容:數與式、方程與不等式、函數、三角形、圓、概率統計等.

另外,數學思想方法也是中考數學的命題趨勢之一.為了讓學生更好地掌握數學思想的精髓,充分運用數學思想去分析、解決具體的問題,需明確數形結合、分類討論、轉化與化歸、函數與方程、數學建模等數學思想的內涵.

中考試題的知識覆蓋面廣,但起點低,大部分題目能直接運用有關知識進行解答.這些植根于教材的題目雖然背景新穎,但考查內容不變,運算量不大.考生如果做好充分的思想準備,前面1~23題是能夠拿到滿分的.因此,應該抓住數學知識的主干部分,在此基礎上通過尋求不同解題途徑與思維方式,培養思維的廣闊性、靈活型和敏捷性.具體分析如下:

(一)代數

1.數與式

綜觀近年來全國各省市中考數學試卷"數與式"部分的試題,已不再繁、偏、難,主要考查基礎知識與基本技能,取而代之的是點多面廣.伴隨著近年來試題不斷推陳出新,以"數與式"內容為依托,加強數學理解能力的考查也越發凸顯,試題大多與數學概念、與實際生活緊密聯系,以及在圖形變化或實際問題的背景中觀察、概括出一般規律,運用數學模型解決實際問題等.例如: 2014年上海市第17題(一組數:2,1,3,x,7,y,23,…,滿足"從第三個數起,前兩個數依次為a、b,緊隨其后的數就是2a-b",若這組數中的第三個數"3"是由"2X2-1"得到的,那么這組數中y表示的數為_____.答案:-9)是以新定義概念為載體的開放題,著重考查數學理解能力.另外,依托于"數與式"的有關知識,考查探索規律的能力,即合情推理、歸納概括能力,已經成為一種趨勢,例如:2015年安徽省第13題(按一定規律排列的一列數: 21,22,23,25,28,213,…,若x、y、z表示這列數中的連續三個數,猜想x、y、z滿足的關系式是______.答案:xy=z).此外,以幾何圖形為載體,結合"數與式"的基礎知識、考查圖形觀察能力和邏輯推理能力.這種試題的呈現形式是把"數與式"部分內容與圖形結合,增大了思考量,具有一定的難度.例如:2015年湖南省益陽市第13題,2015年四川省內江市第16題,2015年廣東省深圳市第15題等.

2.方程(組)與不等式(組)

綜觀近幾年方程(組)與不等式(組)部分的試題,首先都是針對解方程(組)與不等式(組)這一基本技能編制的試題,其解法是課程標準中要求掌握的.因此,在2015年的中考中,解方程(組)與不等式(組)的試題依然出現.例如:2015年廣東省梅州市第7題(使不等式x-1≥2與3x-7<8同時成立的x的整數值是______.答案:3,4),又如:2015年山東省淄博市第5題,2015年廣東省廣州市第10題,2015年山東省日照市第15題,2015年湖北省孝感市第22題等.

其次,關注數學模型思想,考查學生的數學應用意識和能力,因此,以當地熱點話題為背景,體現"問題情境-建立模型-求解-(1)最佳購物方案;(2)最佳運輸調配方案等方案設計"型試題在2016年的中考試題中依然會出現,應引起讀者的關注.例如:2015年山東省萊蕪市第22題,2015年山東省淄博市第20題,2015年四川省綿陽市第23題,2015年四川省瀘州市第21題,2015年廣西省南寧市第24題等這類題考查列一元二次方程、二元一次方程組,一元一次不等式和一次函數解析式,利用一次函數的性質解決實際問題,找出題目蘊含的數量關系與不等關系,以及建立函數關系式是解決問題的關鍵.

給出一定條件(可以是有規律的算式、圖形或圖表),讓學生認真分析,仔細觀察,歸納總結,大膽猜想,得出結論,進而加以驗證的數學探索題在2015年的中考試題中依然出現.由于這類題能培養學生的發現思維能力與解決問題的能力,因而備受命題專家的青睞,逐步成為中考命題的又一熱點.例如:2015年黑龍江省綏化市第26題(自學下面材料后,解答問題.分母中含有未知數的不等式叫分式不等式.如:等.那么如何求出它們的解集呢?根據我們學過的有理數除法法則可知:兩數相除,同號得正,異號得負.其字母表達式為:(1)若a>0,b>0,則>0;若a<0,b<0,則>0;(搖2)若a>0,b<0,則<0;若a<0,b>0,則<0.反之:(1)若>0,則則______或______.根據上述規律,求不等式的解集.答案:x>2或x<-1).

這類題目主要考查一元一次不等式組的應用,要求考生讀懂題目信息,理解不等式轉化為不等式組的方法是解題的關鍵.

3.函數

近幾年函數部分的試題,首先,函數概念及表達方式,此類問題仍在考試中有所體現.

其次,函數與方程(組)、不等式(組)之間的關系.利用函數思想建立函數模型解決相關實際問題仍是考查重點.

一次函數、反比例函數與幾何的綜合問題在多年的考題中頻繁出現,一般涉及以下幾個考點:(1)反比例函數與一次函數的交點;(2)y的比較;(3)夾雜其他幾何(如三角形面積等)問題;(4)一次函數圖像、反比例函數圖像與幾何變換;(5)方程(組)與不等式的有關知識; (6)考查考生對數形結合、分類討論等思想方法的掌握程度.例如:2015年山東省濰坊市第18題(正比例函數y1= mx(m>0)的圖像與反比例函數y=(k≠0)的圖像交于2點A(n,4)和點B,AM⊥y軸,垂足為M.若△AMB的面積為8,則滿足y1>y2的實數x的取值范圍是_____.答案:-2< x<0或x>2),又如:2015年內蒙古呼和浩特市第23題, 2015年安徽省第21題,2015年山東省威海市第24題等.

二次函數在中考數學中占有重要地位,一直是中考命題的"重頭戲",根據對近幾年中考試卷的分析,對二次函數的考查題型有低檔的填空題、選擇題,中高檔的解答題.除考查定義、識圖、性質、求解析式等常規題外,還會出現與二次函數有關的貼近生活實際的應用題,閱讀理解題和探究題,二次函數與其他函數、方程、不等式、幾何知識的綜合在壓軸題中出現的可能性很大.涉及主要考點有:

(1)借助平面直角坐標系,以數形結合的方式研究二次函數的圖像和性質.

(2)用待定系數法求二次函數解析式,并能根據二次函數解析式畫出相應的函數圖像,結合圖像研究二次函數相關性質.

(3)構建二次函數模型,解實際問題.例如:2015年山東省青島市第22題,2015年湖北省鄂州市第23題, 2015年福建省泉州市第24題,用二次函數知識解決實際問題,特別是與實際生活相關的經濟型問題是中考命題的熱點,通常體現在與極值問題、幾何問題相結合,找到最優化解決方案,最佳位置等.

(4)以二次函數為背景的綜合題常作為中考命題的壓軸題.例如:2015年湖北省荊州市第25題,2015年福建省泉州市第26題,2015年山東省臨沂市第26題,題型豐富,難度大,考查知識點多,條件錯綜復雜,解這類題型的關鍵是善于利用有關性質、定理,以及函數的圖像、性質并挖掘題中的隱含條件,尋求簡捷的解題方案.

(二)空間與圖形

綜觀近幾年空間與圖形部分的試題,難度有所降低,不會出現特別繁難的幾何論證題目,在填空題和選擇題中將重點考查視圖、幾何體及其平面展開圖之間的關系,以及初步的空間觀念,幾何論證題將以常見的幾何圖形為主,貼近教材,變形題源于課本,注重格式的規范性及論證的嚴密性.

"空間與圖形"的中考試題,有以下特色:

(1)試題更加關注了對基礎知識和基本技能的考查,特別強調在復雜的幾何圖形中分解出簡單、基本的圖形,以及由基本的圖形中尋找出基本元素及其關系的能力.

(2)試題更加注重考查考生經歷觀察實驗、操作探究、推理論證等過程,并借助于圖形的運動和變化,考查學生對已有的基本數學活動經驗的合理選擇及運用的能力.

(3)試題更加突出"圖形變化時研究幾何問題的工具和方法"的重要意義,而且將幾何圖形放置于平面直角坐標系中,考查了學生對"數學是研究數量關系和空間形式的科學"思想內涵的領悟及綜合應用水平.

(三)統計、概率與現實生活相聯系的問題

新課標指出,發展統計觀念是新課程的重要目標.與統計有關的試題要求學生有較強的閱讀能力和圖表信息處理能力,另外,統計題中有些問題沒有統一的結論,由于答案具有開放性,所以不可用唯一的標準作為規范解答.

與現實生活相聯系的問題是命題的一個熱點,而解決實際問題要建立數學模型,將實際問題轉化為數學模型是命題的方向,從數學的角度提出問題,理解問題,并綜合運用數學知識解決問題,題型有函數型、統計型、概率型.

1.統計

(1)考查統計基本知識,注重考查統計知識之間的聯系性和統計活動的完整性.

(2)關注應用,對統計思想的考查蘊含在統計活動中,注重考查利用統計數據作出決策的能力.

2.概率

(1)對列舉法和樹狀圖法的考查是概率的主旋律,并注重利用所得的數據作出決策.

(2)在實際應用中,考查學生對概率知識的掌握程度.不但可以和現實生活中的問題緊密相連,還可以和其他領域的知識緊密結合.

(四)中考數學中常見的特色熱點題型

1.探索規律型

這類題目在近幾年中考數學的考試中頻繁出現,所占分值不高,但難度偏大.主要類型有:數的運算規律、圖形規律、代數式的規律、點的坐標規律等問題.這類題目一般是給出一定條件(可以是有規律的算式、圖形或圖表),讓學生認真分析,仔細觀察,歸納總結,大膽猜想,得出結論,進而加以驗證的數學探索題.由于這類題能培養學生的發現思維能力與解決問題的能力,因而備受命題專家的青睞,逐步成為中考命題的又一熱點.例如:2015年湖北省荊州市第10題,2015年浙江省寧波市第10題,2015年山東省青島市第23題等.

2.開放型

(1)存在型開放題是相對于有明確條件和明確結論的封閉型問題而言的,它是條件或結論給定不完全、答案不唯一的一類問題.即根據命題中的條件探究結論是否存在,或根據結論探究條件存在的題型.這類試題是近年中考的熱點,重在考查學生分析、探究能力及發散思維能力.大致可分為:條件存在開放型、結論存在開放型、解題策略方法存在開放型,例如:2015年廣東省梅州市第12題,2015年浙江省杭州市第20題等.

(2)探究型開放題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結論,需要經過推斷,補充并加以證明的一類問題.根據其特征大致可分為:操作探究型、條件探究型、結論探究型、規律探究型和存在性探究型等五類.

3.操作探究型

這類題目包括裁剪、折疊、拼圖,它既考查學生的動手能力,又考查學生的想象能力,它要求從數學角度對某些日常生活出現的問題進行設計性研究,有利于學生對數學知識的實踐應用能力和動手操作能力的提高,是學為己用的課改精神的具體體現,是數學課改中的一大熱點.例如:2015年浙江省紹興市第10題,2015年浙江省杭州市第16題,2015年遼寧省大連市第26題等.

4.方案設計型

方案設計型試題是指通過閱讀、觀察、探究等方法,從題目提供的相關材料中發現有用的解題信息并綜合運用所學知識加以分析、計算、比較和判斷,有時需要學生通過閱讀、觀察、歸納、探索和比較等手段尋找解決實際問題的方法,得出最佳方案;有時還通過建立數學模型,把實際問題轉化為數學問題,選擇最優方案.常見的方案設計型試題主要有:(1)最佳購物方案;(2)最佳運輸調配方案;(3)工作人員的招聘方案;(4)最佳生產配料方案;(5)設計測量方案;(6)圖形拼接方案等.例如: 2015年黑龍江省綏化市第27題,2015年廣東省梅州市第14題等.

5.動態問題

縱觀歷年中考數學試卷,動態問題經常作為壓軸題目出現,得分率也是最低的.動態問題一般分兩類:一類是代數綜合題,在坐標系中有動點、動直線,一般是利用多種函數交叉求解:另一類就是幾何綜合題,在矩形,三角形中設立動點、線及整體平移翻轉,對考生的綜合分析能力進行考查.所以說,對于動態問題只有掌握解題要領,才有機會拼高分.例如:2015年山東省聊城市第25題,2015年山東省日照市第22題,2015年四川省自貢市第23題等.

(五)創新思維能力與實踐能力的綜合應用

近幾年中考命題對觀察、實驗、類比、歸納、猜想、判斷、探究等能力的綜合考查特別突出,試題通過給定材料讓學生運用所學知識"再發現",通過一種新穎獨立的創新思維活動,解答所提出的若干問題.特別是探究型和應用類試題,探索數式規律和圖形變化規律題,以及閱讀理解、實驗操作題,這種考查思維能力和動手能力的題目非?；钴S,多年以來已形成傳統壓軸題,這類題也將是今后幾年中考數學命題的趨勢.

(六)復習建議

根據近幾年中考數學命題規律,遵循考試大綱和教學目標,并體現"基礎知識全面考,主干內容重點考,熱點知識反復考,冷點知識有時考"的命題原則,應復習好基礎知識,抓好重點知識,適當練習熱點題型,精選一些教材中的重點題型,補充一些教材之外的中考新題型,訓練一下"開放題"、"探索題"、"閱讀理解題"、"方案設計"、"動手操作"、"數學的實際應用",以便學生熟悉、適應這類題型,達到提高學生解題的靈活性、可變性、發散性的目的.