組元厚度結構對層狀聲子晶體導帶的影響

唐啟祥，邱學云，胡家光

（文山學院信息科學學院，云南文山　663099）

組元厚度結構對層狀聲子晶體導帶的影響

唐啟祥，邱學云，胡家光

（文山學院信息科學學院，云南文山663099）

以三組元層狀聲子晶體為例，采用一定的中心頻率確定各組元的中心波長，以各組元中心波長的倍數為該組元的厚度系數，以不同組元與某一組元的厚度系數之比為相應的厚度系數比，采用傳輸矩陣法計算傳輸特性，研究了不同厚度系數、厚度系數比及原胞數對聲子晶體的傳輸特性的影響。結果顯示，導帶分布具有非常完美的對稱性，且每個導帶的頻率中心值、導帶寬度以及相鄰導帶頻率中心的間隔均隨厚度系數及厚度系數比的變化呈現明顯的變化規律，而與原胞數無關。

聲子晶體；導帶；中心波長；厚度系數；厚度系數比

［DOI］10. 3969 / j. issn. 2096-2266. 2016. 06. 006

聲子晶體是密度和彈性常數呈周期性變化的人造帶隙材料。根據材料的形狀和排列方式不同，可分為一維、二維和三維聲子晶體。根據組元的不同，每一維的聲子晶體又可以分成二組元、三組元甚至更多組元的結構材料。已有豐富的研究結果表明，不同的密度和彈性常數，對聲子晶體的帶隙均具有相應的影響〔1-9〕。劉啟能對二組元的情況作了解析研究〔10〕，對三組元的斜入射情況作了模擬計算研究〔11〕。文獻中注重對二組元層狀或桿狀的帶隙的變化進行研究，而本文作者在對三組元層狀結構的聲子晶體進行研究時發現，合理選擇各組元材料的厚度，禁帶的變化特征不顯著，但導帶的分布及其變化則表現出非常強的規律性。

1　模型和理論

設3種不同密度和彈性常數的組元A、B和C均為無限大平面材料，并沿z軸方向依次排列，置于外界均勻彈性介質E（未單獨畫出）中，平面彈性橫波和縱波自E垂直于材料A沿z軸方向傳播，如圖1所示。

圖1　一維三組元聲子晶體的結構模型

當位移波矢Ui通過一個界面后變成新的位移波矢Uj，Ui與Uj之間的轉換關系為：

式中Mij為從介質i到相鄰介質j（j為A、B或C）的轉移矩陣，根據胡克定律及彈性波的位移和應力在界面兩側的z分量和x分量的連續條件可得到。

其中

彈性波通過厚度為di的介質i，波矢的相位發生變化，相應的傳遞矩陣為

彈性波通過置于均勻彈性介質E中具有N個原胞的整個聲子晶體的傳遞矩陣為

由W的矩陣元求得縱波透射率TL和橫波的透射率TT分別為

2　實例計算

以鋼、環氧樹脂和塑料構成晶體材料，置于有機玻璃中。有關材料參數如表1所示。

表1 材料參數

具有N個原胞的聲子晶體的厚度：

為便于討論，設定xA=xB=xC=x。則有

圖2　縱波透射率譜圖

2.1厚度系數對導帶頻率中心及間隔的影響固定原胞數N=4，改變厚度系數x（實際上在改變晶格常數d），分別為0.1，0.2，…，1.0，選擇第二導帶計算它的頻率中心 f20和相鄰導帶頻率中心的間隔Δf0，結果顯示，導帶的頻率中心 f20和相鄰導帶頻率中心間隔Δf0均隨厚度系數增大而減小，如圖3和圖4所示。

圖3　第二導帶頻率中心隨厚度系數變化的響應曲線

圖4　相鄰導帶頻率中心間隔隨厚度系數變化的響應曲線

2.2厚度系數對導帶寬度的影響在圖2中，存在兩種寬度的導帶，現在分別計算它們的寬度與材料厚度系數之間的變化關系。見圖5。

圖5　厚度系數對導帶寬度的影響曲線

結果顯示，無論是寬帶還是窄帶的寬度Δf均隨厚度系數x增加而減小。

（1）在e＜1的范圍內，導帶頻率中心間隔保持2.5 kHz不變，但是隨著e的增大，寬帶位置向低頻方向運動，相鄰寬帶之間的窄帶數量隨之減少；

（2）當e=1時，各導帶之間的間隔變成完全一樣，但窄帶變成不完整的缺陷狀；

（3）隨著e＞1，導帶頻率中心間隔與e成反比例減小，相鄰2個導帶之間的窄帶數量逐漸增多，透射率譜線逐漸變得密集。如圖6所示。

圖6　厚度系數比對導帶分布影響的對比圖

2.4原胞數對導帶的影響保持其他參數不變，改變原胞數N，計算導帶的頻率中心值和相鄰導帶的頻率間隔。結果發現：

（1）N不影響導帶的頻率中心值；

（2）導帶間隔隨原胞數N量的增加而減小，導帶寬度變寬，導帶內的透射率譜線變得致密。

由于篇幅原因，在此不再給出其他圖像。

3　結果的理論分析

聲子晶體的導帶或帶隙均是不同頻率彈性波在相鄰組元界面上來回反射疊加出現的結果。當各組元的厚度剛好為波長的整數倍或分數倍時，由該組元引起的相位延遲將會是π的整數倍數或分數倍。根據Bragg散射機理，整數倍中偶數倍的被透射，奇數倍的被反射。在不考慮吸收的情況下，一定頻率的波通過某組元，一般同時伴有反射和透射。當不同頻率的波通過多層這樣的組元材料后，在某些頻段剛好被完全反射，形成帶隙，而剛好能通過的頻段即成為導帶，且導帶寬度不一定會和帶隙寬度一樣。當波的頻率變化范圍足夠寬后，這種帶隙和導帶相間分布的現象又會重復出現，于是便出現了本研究中得到的結果。

4　結論

將各組元的厚度與其中心波長的比值取名為厚度系數x，通過改變厚度系數來改變各組元的厚度，改變厚度系數的比值來改變組元的厚度比e，計算了一維三組元聲子晶體導帶隨厚度系數x和厚度比e變化的一些規律。結果發現：

（1）隨厚度系數x增大，每個導帶的頻率中心和相鄰導帶頻率中心間隔、寬帶和窄帶的頻率寬度均逐漸減小。

（2）厚度系數比在不同范圍內，對導帶產生的影響不一樣。在e＜1的范圍內，導帶頻率中心間隔保持不變，但是隨著e的增大，寬帶位置向低頻方向運動，相鄰寬帶之間的窄帶數量隨之減少；當e=1時，各導帶之間的間隔變成完全一樣，但窄帶變成不完整的缺陷狀；隨著e＞1，導帶頻率中心間隔逐漸減小，相鄰2個導帶之間的窄帶數量逐漸增多，透射率譜線逐漸變得密集。

（3）隨原胞數N的增加，各導帶的頻率中心值不變，但是導帶寬度變寬，導帶內的透射譜線變得致密。

以上結果可以用來指導彈性波波導的設計和制造。

〔1〕楊旭，王立勇，杜曉東，等.一維三組元準周期結構聲子晶體的透射性質〔J〕.內蒙古師范大學學報（自然科學漢文版），2010，39（4）：363-366.

〔2〕曹永軍，董純紅，周培勤.一維準周期結構聲子晶體透射性質的研究〔J〕.物理學報，2006，55（12）：6470-6474.

〔3〕曹永軍，胡曉穎，周培勤.一維準周期結構聲子晶體帶隙特性的研究〔J〕.內蒙古師范大學學報（自然科學漢文版），2008，37（1）：53-57.

〔4〕劉超.一維聲子晶體桿狀結構縱向振動帶隙特性〔J〕.激光雜志，2013，34（5）：47-48.

〔5〕劉啟能.一維聲子晶體中彈性波的全反射貫穿效應〔J〕.振動與沖擊，2012，31（1）：173-176.

〔6〕曹永軍，楊旭，姜自磊.彈性波通過一維復合材料系統的透射性質〔J〕.物理學報，2009，57（11）：7735-7738．

〔7〕邱學云，胡家光.一維三組元桿狀結構聲子晶體帶隙研究〔J〕.重慶師范大學學報（自然科學版），2013，30（2）：102-107.

〔8〕劉啟能.一維聲子晶體的傳輸特性〔J〕.人工晶體學報，2008，37（1）：179-182.

〔9〕宋玉敏，高云，王雪文，等.一維聲子晶體的振動特性研究〔J〕.云南師范大學學報（自然科學版），2010，30（2）：44-48.

〔10〕劉啟能.一維聲子晶體中聲波能帶的解析研究〔J〕.應用力學學報，2011，28（2）：185-188.

〔11〕劉啟能.彈性波斜入射聲子晶體的傳輸特性〔J〕.應用力學學報，2009，26（2）：397-401.

〔Abstract〕Choosing a central frequency to calculate the central wavelength of every component，and determining every component's thickness coefficients with ratios of their central wavelength，and defining each component's ratio of thickness coefficient with a certain component's thickness coefficient，and the transmission characteristics of the three components phononic crystal were calculated with transfer matrix method for different thickness coefficient and ratio of thickness coefficient.The results show that the distribution of the conduction band presents very perfect symmetry.With the changing of the thickness coefficient and the thickness coefficient ratio，all of the frequency center of the conduction band and the conduction band width and the center of the adjacent conduction band frequency interval present obvious regularity，but there is nothing to do with the changing of the original cell number.

〔Key words〕phononic crystal；conduct band；central wavelength；thickness coefficient；ratio of thickness coefficient

（責任編輯袁霞）

Effect of Component Thickness Structure on Layered Phononic Crystal Conduct Band

Tang Qixiang，Qiu Xueyun，Hu Jiaguang
（College of Information Science，Wenshan University，Wenshan，Yunnan 663099，China）

TH113

A

2096-2266（2016）06-0023-04

云南省教育廳科學研究基金資助項目（2014Y474）

2016-03-28

2016-04-08

唐啟祥，副教授，主要從事材料物理研究.