實施教學拓展提升教學效益

☉江蘇省海安縣曲塘中學　徐成武

實施教學拓展提升教學效益

☉江蘇省海安縣曲塘中學徐成武

拓展探究是激發學生問題意識、培養學生創造能力的有效手段，高中數學教學中的拓展探究活動為學生理解問題、拓寬解題思維提供了較大的空間.通過思維活動的延伸與深入逐步培養學生的創新能力和情感能力，以及獲得對于問題更為深入的認識，因此在教學活動中得到廣泛的認可.本文就高中數學教學過程中關于拓展活動的幾個方面略作探討.

一、拓展問題層次，搭建思維橋梁

數學教學的過程，同時也是一種不斷提出問題和解決問題的過程，教師在教學中，針對某個知識點或題型，適時、有效地利用學生分析問題后的資源和思維成果，進行深入的拓展、延伸，往往可以促進學生進一步的深入思考，探究問題的根源、本質，最大程度地將該類問題的價值最大化.

案例1設A、B的坐標分別為（-5，0）、（5，0）.直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

這是人教A版選修2-1中的一道探究題.學生根據題目條件不難求出點M的軌跡是橢圓，其方程為1（x≠±5）.

若教師以此為契機進行拓展追問，?？杉ぐl學生的求知欲，積極性自然也會被調動起來.

學生通過動筆求解，發現曲線方程變成了雙曲線

追問2：你發現曲線方程與斜率之積之間的關系了嗎？

細心的同學就會發現a2、b2與斜率之積的關系，即

十九大領航新嫩江，新時期的工會工作就要體現新作為。嫩江縣森林消防大隊工會緊跟時代步伐，準確把握政治方向，為了實現構建全省縣級撲火專業樣板隊的目標，在縣總工會和大隊黨委的正確領導下，以森防工作為中心，切實改進工會自身建設,把“民主管理”作為加強和發揮工會作用的重要載體和平臺，廣大森防會員依法享有知情權、參與權和監督權，成為職工之家真正的主人,實現了森防工作和工會工作和諧發展的良好格局。

追問3：在追問2的基礎上可得出什么結論？

結論1：設A、B的坐標分別為（-a，0）、（a，0）（或（0，-a）、（0，a）），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是

結論2：設A、B的坐標分別為（-a，0）、（a，0）（或（0，-a）、（0，a））.直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是則點M的軌跡是橢圓，其方程為則點M的軌跡是雙曲線，其方程為

點評：針對這個基本問題的三個追問，利用了學生解題后的靈感，將問題引向縱深，提升了學生的思維品質，使得教師的教學不單單是傳授書本知識，而是在問答之間發展了學生的技能，真正地提高了解題教學的效能.在學生順利解決第一問的基礎上進行開發利用，不斷進行拓展、延伸，形成問題鏈，從而不斷激活和拓展學生的思維，促進他們深入探究，成為提高教學效能的有效手段.

二、問題變式探究，拓展學生思維

在保持問題本質特征不變的情況下，遷移問題的非本質的屬性，設計出一系列的變式問題，形成問題鏈.不同的變式設計可以提升學生的思維層次，培養學生思維的深刻性和創造性.

分析：本題求解的關鍵是將條件“對任意x1∈［0，1］，總存在x2∈［0，1］，使得f（x1）=g（x2）成立”轉化為“y=f（x）（x∈［0，1］）的值域是y=g（x）（x∈［0，1］）的值域的子集”.難點在于對條件中的“任意”和“存在”這些關鍵詞的正確理解，進而將問題轉化為函數最值問題處理.本題難點在于對條件中的“任意”和“存在”這些關鍵詞的準確理解.

解答完此題后，教師可針對該問題作如下的變式，以檢驗學生能否正確地應用這些的含義將問題進行等價轉化

變式1：將問題改為“若對任意的x1∈［0，1］，總存在唯一的x2∈［0，1］，使得f（x1）=g（x2）成立”.

變式2：將問題改為“若對任意的x1∈［0，1］，總存在x2∈［0，1］，使得f（x1）≤g（x2）成立.”

分析：由題意，函數y=g（x）在［0，1］上的函數值不小于函數y=f（x）在x∈［0，1］的任意值即可，可轉化為函數y=g（x）在［0，1］上的最大值大于等于函數y=f（x）在x∈［0，1］上的最大值.

變式3：將問題改為“若對任意的x1∈［0，1］，任意的x2∈［0，1］，都有f（x1）≤g（x2）成立”.

分析：題目變成恒成立問題，可轉化為y=g（x）在［0，1］上的最小值大于等于y=f（x）在x∈［0，1］上的最大值.

點評：本題的三個變式題與原題從表面上看變化不大.但從解題思維上看，確有很大的差別.通過對學生進行形似質異問題訓練，可使得學生能很好地把握問題本質，并提高數學教學的效率與效果.

三、解題思路發散，促進思維靈活

解題思路的拓展就是針對某一問題求解而形成的不同思維層次與水平的不同解法，一題多解是建立在對問題深入思考的結果之上的，也是對知識靈活性的一個檢驗.一題多解的教學對于培養學生的創新思維，構建知識網絡能力有著至關重要的作用，能促進學生數學的思維能力達到最優化.

解法1：（正面求解，利用數量積公式）利用數量積的定義，由三角形為等邊三角形且可知點M為三角形的重心，所以所以

點評：根據題目條件，判斷出點M為三角形的重心，是問題求解的關鍵.利用重心性質定理可直接求出兩向量的模長和夾角，進而問題得解.

點評：未知化已知是解題的常用策略.此類問題常借助向量加法與減法的三角形法則，可實現已知與未知的轉化.

解法3：（幾何問題代數化）坐標法是解答幾何問題的有效手段，也體現了數與形之間的緊密結合.建立以BC的中點為原點，BC所在的直線為x軸的直角坐標系，則所以

點評：數形結合思想應用較多的是以形助數，這只是數形結合的一個層面.另一個層面就是以數解形，而坐標法就是最好的體現.

點評：一題多解反映了對某一問題認知的思維的不同層次與水平，這些解法中除了一般的解法，難免有一些特殊的解法，其中還會產生一些超出傳統思維的解法，甚至出現跨越學科知識的思路，因此解題思路的拓展教學有助于提高學生對知識的綜合應用能力，增強對知識應用的靈活性.

以上對于數學教學中三個方面的拓展有助于提升學生認知的創造性和發散性，提高教學的質量.在教學中，應當進一步地加大對問題的研究力度，設計頗具開放性的問題，一題多解，一題多變，將學生置于探索、發現的思維情景中，激發學生發散性思維，培養其勇于探索的精神.