一道高考數學題的引申與拓展

☉湖北大學數學與統計學學院　張素婷

一道高考數學題的引申與拓展

☉湖北大學數學與統計學學院張素婷

湖北省自2004年自主命題以來，高考數學湖北卷的部分試題常具有深厚的高等數學的背景，如2013年湖北卷理科第22題中出現的伯努利不等式，2014年湖北卷理科第14題中出現的關于函數f（x）的平均數概念，這類試題往往立意深遠，背景豐富，遠離復習資料，避免了“題海戰術”的干擾，充分體現了高考數學試卷的選拔功能，同時也為數學教育工作者提供了廣闊的試題研究的空間.2015年湖北卷文科第21題也具有深刻的高等數學背景，現談談這道高考題的引申與拓展，旨在拋磚引玉.

一、試題呈現

2015年湖北卷文科第21題：設函數f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，f（x）+g（x）=ex，其中e為自然對數的底數.

（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式，并證明：當x>0時，f（x）> 0，g（x）>1；

（Ⅱ）設a≤0，b≥1，證明：當x>0時，ag（x）+（1-a）<

二、解法與評析

解：（Ⅰ）由f（x），g（x）的奇偶性及f（x）+g（x）=ex，①

得-f（x）+g（x）=e-x.②

設函數h（x）=f（x）-txg（x）-（1-t）x.

由⑤⑥，有h′（x）=g（x）-tg（x）-txf（x）-（1-t）

=（1-t）［g（x）-1］-txf（x）.

當x>0時，

（1）若t≤0，由③④，得h′（x）>0，故h（x）在［0，+∞）上為增函數，則h（x）>h（0）=0，

即f（x）>txg（x）+（1-t）x，故⑦成立.

（2）若t≥1，由③④，得h′（x）<0，故h（x）在［0，+∞）上為減函數，則h（x）

即f（x）

（1）［g（x）］2-［f（x）］2=1；

（2）f（2x）=2f（x）·g（x）；

（3）g（2x）=［g（x）］2+［f（x）］2.”

本題選材于課本，銜接于高等數學，立足于考查函數的奇偶性、單調性、函數導數、不等式的證明，考查運算求解能力、推理論證能力.試題雖然要求證明一個雙曲函數不等式，但并不難，符合文科考生的實際情況，是一道好題.

三、變式與引申

解答方法同以上（Ⅱ）的解法，到h′（x）=（1-t）［g（x）-1］-txf（x），設l（x）=（1-t）［g（x）-1］-txf（x）.

則由⑤⑥，得

l′（x）=（1-t）f（x）-tf（x）-txg（x）=（1-2t）f（x）-txg（x）.

再令s（x）=（1-2t）f（x）-txg（x），則

s′（x）=（1-3t）g（x）-txf（x），

s（x）

故l（x）

以上變式1的結論比試題（Ⅱ）的結論更強，那么還能再改進嗎？不能，事實上有如下命題［2］：

變式1的證明實際上證明了上述命題條件的充分性，條件的必要性即為如下變式2.

下面給出證明，為了方便，不妨用shx、chx分別表示試題中的函數f（x），g（x）.

構造函數F（t）=shx-txchx-x（1-t），t∈R.

則⑨等價于：若F（t）>0對?x>0成立，則t≤0；若F（t） <0對?x>0成立，則

1.假設?t0>0，使得F（t0）>0對?x>0都能成立，則

?t0>0，使得對?x>0都能成立.

綜上，變式2得證.

以上結論是經過了嚴格的數學演繹推理過程，還可以結合圖像來驗證和理解，筆者借助幾何畫板作出了F（t）的函數圖像，由于F（t）=x（1-chx）t+shx-x是關于t的一次函數（其中t是自變量，x是參數），而且x在變化，于是F（t）表現為一簇單調遞減的直線簇.由圖像可觀察到，當x從0慢慢增大時，F（t）的橫截距從0.33（由于幾何畫板上無法顯示無限小數，故不是慢慢減小至無限接近0處，通過數形結合，直觀地說明了上述結論的正確性.因為畢竟涉及極限，故數字上不甚精確，但也能輔助我們理解和驗證.至此，筆者先后采用了演繹推理和合情推理論證了變式2的結論.

這道高考題的變式1，雖結論較試題結論要好，但證明變式1要反復多次求導，若作為考題有重復考查之嫌；而變式2的證明超出了目前的中學內容范圍，故試題采用了目前的形式是恰到好處的.但是作為解題研究，這道高考題給我們提供了很好的范例.波利亞說過，沒有任何一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做.一個成熟教師應該能夠挖掘問題的方方面面，通過拓展和延伸、類比和遷移、分解或重組、加強或減弱條件，互換題設條件和結論等等，設計出問題變式，而更有意義的是，把這種問題變式應用在解題教學中能夠自然生成許多教學資源，學生會發現一道數學題目會如同一個縱橫字謎游戲一樣有趣，這種充滿活力的思維練習能夠有效刺激學生的求知欲，并且對提高學生的解題能力、推理論證能力、邏輯思維能力也是大有裨益的.

1.同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）上冊［M］.北京：高等教育出版社，2002.

2.匡繼昌.常用不等式（第四版）［M］.濟南：山東科學技術出版社，2010.